一元二次方程及其应用.docx
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一元二次方程及其应用
九年级教学教案（人教版）
一元二次方程及其应用
♦课前热身
1如果2是一元二次方程x2+bx+2二0的一个根，那么常数2.方程b的值为
X2-4x=0的解
3.方程冷-4=0的根是（
A.X=2B.x=—C.为=2,X2=—2D.x=4
4.由于甲型H1N1流倉（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原
来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？
设平•均每次下调的百分率为X，则根据题意可列方程为
【参考答案】1.-32.Xi=0,X2=43.C4.16（1-X）2=9
♦考点聚焦
知识帚
元二次方程、解一元二次方程及其应用大纲要求：
1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。
2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、
3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。
考查重点与常见题型：
考查一元二次方程、有尖习题常岀现在填空题和解答题。
♦备考兵法
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，
注意一元二次方程一般形式中aHO.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式
（3J用配方法时二次项系数要化1•
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负
♦考点链接
1.一元二次方程：
在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程
叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的
系数，叫做一次项的系数.
2.一元二次方程的常用解法：
22
（1）直接开平方法：
形如x=a（a>0）或（x・b）=a（a>0）的一元二次方程，就可用
直接开平方的方法.
2
（2）配方法：
用配方法解一元二次方程ax+bx+c=o（a工0）的一般步骤是：
①化二
次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化
原方程为（X+m）$=n的形式，⑤如果是非负数，即n>0,就可以用直接开平方求出方程的解•如果nV0,则原方程无解.
（3）公式法：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的求根公式是
Xi,2j±7bA（b2-4ac7.
:
②将方程
（4）因式分解法：
因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,
例（（湖南长沙）已知尖于X的方程X2♦典例精析
-kx・6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A.1B.—1C.2D.・2
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的根。
因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程,
原方程成立，即32-3k-6=0成立，解得k=1。
故选A。
例2（湖北仙桃）解方程：
X2+4X+2=0
【分析】根据方程的特点，灵活选用方法解方程•观察本题特点，可用配方法求解
【答案】X2+4x=-2
2
x+4x+4=—2+4
（x+2）2=2
x+2=±72
x=±72-2n,,.X1=5/2-2,X2=--2
例3（广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81
台电脑被感染•请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
若病毒
得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【答案】解.：
设每轮感染中平均每一台电脑会感染X台电脑，依题意得：
1+X+（1+x）x=81‘
2
（1+x）=81,
x+1=9或x+1=-9，
Xi=8或X2=—10（舍去），
33
（1+x）=（1+8）=729>700.
答：
每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
【点评】解应用题的矢键是把握题意，找准等量尖系，列出方程•?
最后还要注意求出的未知数
的值，是否符合实际意义•凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去.
♦迎考精炼
一、选择题
1.（湖北武汉）已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（
A.・3BD.0或3
4.（湖南衡阳）
两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程X—4X+3=0的两个根，则两
圆的位置尖系是
A.相交
B.外离C.内含D.外切
5.（湖北黄石）
2
二角形两边的长是3和4,第二边的长是方程x2X+35=0的根，则该
三角形的周长为
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
6.（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面
积由现在的人均约为10時提高到12.1m2,若每年的年增长率相同，则年增长率为
A.9%B.10%C.11%D.12%
二、填空题
1•（内蒙古赤峰）已知尖于x的方程x2-3x+2k=0的一个根是1,贝yk=
2.（山东威海）若尖于X的一元二次方程x+（k+3）x+k=0的一个根是・2，则另一个根
3.（浙江温州）方程（x-1）2=4的解是4..（广西崇左）分解因式：
2X2-4X+2=
5.（山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：
6.（江苏省）某县农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100
元・设人均年收入的平均增长率为X，则可列方程
三、解答题
1•（lLi西省）解方程：
X2—2x—3=0
2.（广西梧州）解方程:
（X-3）2+2x（X-3）=0
3.（甘肃庆阳）某企业2006年盈利1500万元，克服全球金融危机的不利影响'仍实现盈利2160万元.从2006年到，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求:
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？
4.（山东潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.
（1）设计方案如图①所示，矩形，p、Q为两块绿地,
的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形周围的硬化路面的宽.
（2）某同学有如下设想：
设计绿化区域为相外切的
两等圆，圆心分别为O,和02,且O到
ABBC、AD的距离与02至ijCD、BC、AD的
距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个
设想是否成立？
若成立，求出圆的半径；若不成立，
说明理由.
其余为硬化路面，p、Q两块绿地周围
【参考答
案】
八、选择题
1.A2.D3.C4.A5.B
X‘可列方程10（1+X）=12.1‘解
6.B解析：
本题考查方程解决增长率问题，设年增长率得Xi=o,1=10%,x2=-2.1（舍去），所以年增长率10%故选B。
二、填空题
1.12.13.xi=3,X2=-14.2（X—1）25.答案不唯一，如X2=1
6.7800（X+1尸=9100
三•、解答题
1.解・：
移项，得X2-2x=3,
2
配方，得（X-1）=4,
…X-1=±2,
二Xi=~1,X2=3.
2.解：
（x-3）（x-3+2X）=0
（x-3）（3x-3）=0
X—3=0或3x-3=0
即Xj=3或X2=1
3.解：
（1）设每年盈利的年增长率为X,
根据题意，得1500（1+X）2=2160.
解得Xi=0.2,xA-2.2（不合题意，舍去）.
/.1500（1+X）=1500（1+0.2）=1800.
答：
2007年该企业盈利1800万元.
（2）2160（1+0.2）=2592.
答：
预计该企业盈利2592万元.
解：
（1）设P、Q两块绿地周围的硬
X米，根据题意，得：
4.
化路面的宽都为
1
（60—3x）040—2x）=60A40咒一
4
解之，得：
捲=10,x2=30
经检验，X2=30不符合题意，舍去.
所以/两块绿地周围的硬化路面宽都为10米.
（2）设想成立.设圆的半径为r米,
Oi到AB的距离为y米，根据题意‘得:
*2y=40
咕+2r=60
解得：
y=20,r=10•符合实际.
所以，设想成立，此时，圆的半径是10
米•
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