相交线与平行线资料.docx

相交线与平行线资料.docx

《相交线与平行线资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相交线与平行线资料.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

相交线与平行线资料

第二章相交线与平行线

Ⅰ总体设计

一．课程学习目标

1．结合具体情境，了解邻补角、对顶角的概念，知道对顶角相等；了解垂线、垂线段等概念，知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离．

2．了解平行线的概念，知道平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；会识别同位角、内错角、同旁内角，探索平行线的性质和判定方法；体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．

3．通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求做出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．

4．了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论；理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句，会用这些语句描述简单的图形，会根据描述的语句画出图形；能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯．

5．能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、相像、说理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习空间与图形的兴趣，

二．本章知识结构框图

三．内容安排

本章包括4节内容,前三节主要讨论平面内两条直线的位置关系,重点是垂直和平行关系，第4节是有关平移变换的内容.

平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了相交的情形，探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角概念，得出了“对顶角相等”的结论；垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础．

对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入一个基本事实（平行公理），即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线的距离的概念．由于学生已经接触了一些命题，如“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”“对顶角相等”，教科书对命题以及命题的构成作了简单介绍，使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语．

本章在最后一节安排了有关平移变换的内容．从《课程标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具．本套教材在不同阶段安排了这些图形变换的内容．平移是一种基本的图形变换，也是本套教材中引进得第一个图形变换．教科书将“平移”安排在本章最后一节，一方面是考虑将其作为平行线的一个应用，另一方面考虑引入平移变换，可以尽早渗透图形变换的思想，使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法．在“平移”一节中，教科书首先给出几个美丽图案，分析这些图案的共同特点，由此引出图形的平移；接着通过设置一个“探究”栏目，让学生在一张半透明的纸上画出一排大小形状完全相同得雪人，体会动手平移的过程；接下去观察两个相邻的雪人，分析它们之间对应点连线的位置和长短关系，发现平移前后“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，给出了平移变换的概念；并对平移变换进行拓展，即由各个方向的平移．最后学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题．

本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质，因为这些知识是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习．学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的．

对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“推理”“用符号表示推理”等不同层次、分阶段逐步加深地安排的．在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理”，把它作为探究结论的自然延续．本章这样的地方还是很多的，例如“对顶角相等”性质的得出，由判定两直线平行的方法1，得出方法2、3，由平行线的性质1，得出性质2、3，以及一些例、习题中，等等．对于说理，由于学生还比较陌生，不知道应由什么，根据什么，得出什么，对于说理所用的三段论的形式——由小前提得到结论，以大前提作为理由，一下子也很难适应．因此，逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点．

解决以上难点的关键是要按照教科书的安排，一步一步地，循序渐进地引入推理论证的内容．在本章，结合正文的相关内容，进行初步的说理训练；在本章最后，学习了命题及命题的构成后，学生也能对说理的理由，三段论的表达形式有进一步的认识，用这样前一步为后一步作准备，逐步提高，慢慢教会的办法克服难点．

四．课时安排

本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：

2.1相交线3课时

2.2平行线3课时

2.3平行线的性质3课时

2.4平移2课时

数学活动

小结2课时

五．学法教法建议

1．内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间

强调学生通过“做数学”来学习数学是章教科书的一个突出特点．在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合．论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用．对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫，在教学时应充分注意这一点．

对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．例如，对于“对顶角相等”，教科书首先设置一个“讨论”栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，通过学生的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结论，然后再对这个结论进行了说理，这样就将实验几何与论证几何项结合．再如，平行线性质的处理也是采用的这种处理方式．在本章最后的活动1“你有多少种画平行线的方法？

”中，学生通过讨论书中提供的三位同学画平行线的方法，结合本章所学内容和生活经验，不同的学生会得到不同的画平行线的方法．通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识．

2．注意加强直观性

密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题．几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难．为了减少学生学习的困难，在编写这一章时，我们注意根据七年级学生认知特点，加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活．许多概念、性质、定理的引入都是从解决实际问题的需要来出发的（如从剪刀剪开布片的过程引入研究两条相交直线所成角的问题，从灌溉挖渠的问题引入垂线段最短的性质，等等）；在教材编写时，也注意为利用实物、模型、计算机等多种教学手段提供材料，让学生在运动变化中寻找图形的不变的位置关系和数量关系，从而有利于发现图形的性质（如对顶角的性质，垂线、平行线的概念的引入等等）．在研究有关数学概念、性质后，再注意把所学知识应用到实际生活中（例如画交通路口示意图、检验一些平行问题、绘制住房平面图等等）．在教学时，也应注意从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合适合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容，通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，提高学生学习数学的兴趣，培养他们应用所学知识解决问题的能力．

3．注意突出重点内容

这一章的内容比较丰富，除了要研究平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移变换的内容以及一些命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点．例如，研究两条直线的位置关系时，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，不要作严格的形式化的要求．教科书中中邻补角、对顶角的概念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念．再如，对于命题、定理、证明等概念，教科书是分阶段、分散安排的．在本章，是要求学生在学过一些命题（包括数与代数的以及空间与图形的）的基础上，了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式），知道一个命题可能是正确的，也可能是错误的，不要在这里过多要求．

由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行．例如，讲5.1.1相交线这一小节时，要抓住“对顶角相等”这个重点．实际上，教科书“讨论”栏目设计的表格在教学时可以逐步呈现，由两条直线相交的图形，让学生寻找其中所成的角，对它们进行分类，根据位置关系对它们“命名”，然后寻找它们的大小关系，最后再进行说理．在课堂上识图、画图、语言训练、作练习都可以主要围绕找“对顶角”或应用“对顶角相等”进行．

    4．有意识地培养学生有条例的思考和表达

对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排．本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”．例如，在推导“对顶角相等”这个结论时，采用了用语言叙述的方式进行“说理”，在推导平行线的性质（由性质1得出性质2）时，教科书展示了一个简单推理的过程．各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续．因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等．总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急．

另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练．由于学生的认知能力有差别，基础也不同，所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学，另一方面要注意因材施教．对于学习有困难的学生，一定要一步一步地使每阶段的训练到位，不要急于求成；对接受能力强的学生，要及时调整教学要求，保护他们学习的积极性，满足他们的求知欲，对于教科书中的一些要求说明理由的习题，也可以要求他们把推理的过程用相对符号化的语言表示出来．

5．循序渐进地安排技能训练

这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务．这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的．这些内容，都是进一步学习空间与图形知识基础．教科书在这方面也是作了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂，由模仿到独立操作的顺序，逐步提高要求．

例如，由于这一章开始，要求学生进行说理，处于为今后进行推理论证的准备阶段．因此，也就要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质，学会一些简单的、基本的推理语言（如“因为……所以……”“由……锝……”等），要能区分命题的条件和结论等，为能用文字语言准确表达说理过程，也为今后进行推理论证打下一个良好的基础．

    再如，承接“图形认识初步”，本章仍旧要重视文字语言、符号语言、图象语言等不同几何语言的相互转化，注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程，使抽象和直观结合起来，在图形的基础上发展其他语言．在教科书中也注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，安排了这样一些练习、习题，教学时也要注意这方面的训练．本章也要求学生能用各种绘图工具画出垂线、平行线，平移一个简单的图形等，教科书还安排了“你有多少画平行线的方法”的数学活动，通过这些内容，让学生较快适应，把几何图形与语句表示、符号表示联系起来，使学生能从多角度表示图形、认识图形、把握图形．

6．处理好平移内容

从《标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等．通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具．平移是一种基本的图形变换，在本章第4节安排了平移变换的内容．

在平移一节中，教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的．通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题．

对于平移的内容，本章只是一个初步认识，本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移变换，将平移变换从数和形两方面统一起来，使学生对平移变换有更深刻的了解，为今后使用平移变换发现几何结论，研究几何问题打下基础；另外，在八年级下册“四边形”一章，还结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质作了理论的推导；在九年级上册“旋转”中，还要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用．这样处理平移内容，能使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解，有助于他逐步掌握平移的内容．在教学时要注意教科书的安排，完成好这部分内容的教学．

Ⅱ教材分析

教科书第44页

教科书第45页

教科书第46页

教科书第47页

教科书第48页

教科书第49页

教科书第50页

教科书第52页

教科书第53页

教科书第54页

教科书第55页

教科书第56页

教科书第57页

教科书第58页

教科书第59页

教科书第60页

教科书第61页

教科书第62页

教科书第63页

教科书第64页

教科书第65页

教科书第66页

教科书第67页

教科书第68页

教科书第69页

教科书第70页

教科书第71页

教科书第72页

教科书第73页

教科书第74页

教科书第75页

教科书第76页

教科书第77页

教科书第78页

教科书第79页

教科书第80页

教科书第81页

教科书第82页

教科书第83页

Ⅲ习题解答

习题2.1

1．

（2）是，（3）、（4）、（5）不是．

2．

（1）∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，

∠BOE的邻补角是∠AOE和∠BOF；

（2）∠DOA的对顶角是∠BOC，∠EOC的对顶角是∠DOF；

（3）∠BOD＝50°，∠COB＝130°．

3．AO⊥CO，BO⊥DO．

4．过点P与l垂直的直线只能折出一条，过点Q与直线l垂直的直线也只能折出一条，这是因为过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．

5．图略，用三角尺或量角器来画．

6．图略，可以用量角器、三角尺、刻度尺．

7．因为OA平分∠EOC，所以∠AOC＝

∠EOC＝35°，从而∠BOD＝∠AOC＝35°．

8．根据“对顶角相等”，活动指针的读数，就是两直线相交成的一个角的度数．

9．略．

10．跳远成绩应是落在沙坑中的脚印上点P到起跳线l的距离，也就是垂线段PA的长．用刻度尺量得图中PA≈2.35（cm），2.35×150＝352.5（cm），因此小明同学的跳远成绩大约是3.53米．

11．A、B、C三点在同一条直线上．这是因为如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么过点B就有两条直线和直线l垂直了，而这是不可能的．

12．

（1）如图；

（第12题）

（2）由AB、CD相交于O，于是∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC互为对顶角，而OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，所以∠AOE＋∠AOD＋∠DOF＝

×360°＝180°，从而射线OE、OF在同一条直线上；

（3）因为OG平分∠AOD，所以∠AOE＋∠AOG＝

（∠AOC＋∠AOD）＝

×180°＝90°，所以OE⊥OG．

习题2.2

1．由DE∥BC，可知∠ADE＝∠ABC＝31°．

2．根据“同旁内角互补，两直线平行”，可知AB∥CD．

3．略．

4．

（1）由∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b；

（2）由∠1＝∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可得a∥c；

（3）由a∥b，a∥c，根据“平行于同一直线的两直线互相平行”，可得b∥c，从而

a、b、c互相平行．

5．可以根据“同旁内角互补，两直线平行”，分别量出一对同旁内角，看它们是否互补就可以了．也可以在它上面画截线，利用平行线的判定方法．

6．a∥b，c∥d，e⊥b，e⊥a．

7．如图．

（1）

（2）

（第7题）

8．略．

9．a∥b，d∥e，f∥g，a⊥d，b⊥d，a⊥e，b⊥e，g⊥h，f⊥h．

（第12题）

10．通过度量图中的∠2、∠3、∠4、∠5等于90°，都可以说明平安大道与长安街是互相平行的．其中∠3、∠5、∠2分别是∠1的同位角、内错角和同旁内角，可以直接利用平行线的判定方法；∠4与∠2互为对顶角，与∠3、∠5互补，也可以与∠1建立联系，从而应用平行线的判定方法．

11．A1B1∥AB，AA!

⊥AB，A1D1⊥C1D1，AD∥BC．

12．如图，∠2和∠3是内错角，∠2＝∠3．而根据∠1和∠3互为对顶角，它们相等，从而同位角∠1＝∠2．这样，我们就由内错角相等，等到了同位角相等．

类似地，∠3和∠4互为邻补角，它们互补，从而同旁内角∠2与∠4互补．这样，我们就由内错角相等得到了同旁内角互补．

习题2.3

1．据“两直线平行，内错角相等”，可知第二次拐的角也是36°．

2．由AD∥BC，∠A＝60°，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知∠B＝180°－60°＝120°；不用度量的方法，仅根据平行线的性质，不能求得∠D的度数．

3．

（1）由∠1＝110°，根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠2＝110°；、

（2）由∠1＝110°，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠3＝110°；、

（3）由∠1＝110°，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知∠4＝70°．

4．因为a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠2＝∠1＝80°；根据“两直线平行同旁内角互补”，可得∠3＝180°－∠5＝110°；∠4与∠5互为邻补角，因此∠4＝180°－∠5＝110°．

5．根据“同旁内角互补，两直线平行”，为了使管道对接，另一册应以180°－120°＝60°的角度铺设．

6．

（1）C；

（2）C．

7．利用平行线的性质，可得∠3＝∠1＝45°，∠4＝∠2＝122°，∠5＝180°－∠2＝58°，∠6＝∠5＝58°，∠7＝180°－∠1＝135°，∠8＝∠7＝135°．

8．

（1）因为∠1＝∠2，

所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）；

（2）因为DE∥BC，

所以∠1＝∠B，∠3＝∠C，（两直线平行，同位角相等）．

9．略．

10．略．

11．因为DE∥BC，根据“两直线平行内错角相等”，可得∠DAB＝∠B＝44°，∠EAC＝∠C＝57°，而∠DAE是平角，从而∠BAC＝180°－∠DAB－∠EAC＝180°－44°－57°=79°．利用这种方法，也就说明了三角形的内角和等于180°．

12．由于两面镜子是平行放置的，因此∠2和∠3是内错角，∠2＝∠3．而∠5＝180°－∠1－∠2，∠6＝180°－∠3－∠4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠5＝∠6．再根据“内错角相等，两直线平行”，可以得到进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．

习题2.4

1．它们可以分别由

、

、

平移而成．

2．略．

3．两次平移后的三角形如图所示；如果直接平移三角形ABC，使点A移到点N，所得的三角形和前面得到的三角形的位置相同．

教科书33页图，在点M和N处画两个和ABC相同的三角形．

（第3题）

4．由于光线是平行的，这时这个影子可以看做是由这个图案平移得到，因此它们的形状与大小是完全相同的．

5．如图，平行四边形可以看做由Ⅰ、Ⅱ两部分组成的，将Ⅰ平移到Ⅲ，这时Ⅱ与Ⅲ构成一个长方形，这个长方形的面积与原来的平行四边形面积相等，都等于ah．

（第5题）

6．略．

7．如图，由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的．我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A′，那么，为了使AMNB最短，只需A′B最短．根据“两点之间线段最短”，连接A′B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短的．

（第7题）

复习题2

1．

（1）；

（2）×．

2．

（1）∠2和∠3都是∠1的邻补角，因此∠2＝∠3＝180°－∠1＝120°；∠4是∠1的对顶角，因此∠4＝∠1＝60°；

（2）如果2∠3＝3∠1，则有2∠3＝3（180°－∠1），解锝∠1＝72°，从而∠2＝∠3＝180°－∠1＝108°，∠4＝∠1＝72°．

3．∠2＝90°－∠1＝64°，∠3＝∠1＝26°，∠4＝90°＋64°＝154°．

4．图略．

5．过点C画AB的平行线，图略．

6．

（1）由∠1＝30°，AB⊥AC，可知∠DAB＝∠1＋∠