数学教案三角函数第一课时高一数学教案模板.docx

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数学教案三角函数第一课时高一数学教案模板

数学教案－三角函数第一课时_高一数学教案_模板

第四章  三角函数

第一教时      

教材：

角的概念的推广

目的：

要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：

一、提出课题：

“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1．回忆：

初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：

“旋转”形成角（P4）

突出“旋转” 注意：

“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴 

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：

角或 可以简记成

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分   如：

a=210°    b=-150°   g=-660°

2°角可以任意大

   实例：

体操动作：

旋转2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）

3°还有零角       一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

        为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

           角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：

30°  390° -330°是第Ⅰ象限角      300°    -60°是第Ⅳ象限角

               585°  1180°是第Ⅲ象限角    -2000°是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角 

      1．观察：

390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和

 390°=30°+360°             

 -330°=30°-360°                          30°=30°+0×360°  

 1470°=30°+4×360°      

 -1770°=30°-5×360°  

3．所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

   即：

任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4．例一  （P5略）

五、小结：

1°角的概念的推广

                          用“旋转”定义角    角的范围的扩大

                    2°“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：

 P7  练习1、2、3、4

                           习题1.4    1                             

同角三角函数的基本关系式

教学目标：

　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．

　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

教学重点：

　　理解并掌握同角三角函数关系式．

教学难点：

　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

教学用具：

　　直尺、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

2．探索研究

（1）复习任意角三角函数定义

　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角的六个三角函数是如何定义的呢？

　　在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的六个三角函数的值是：

　　；   ；    

　　；   ；    

（2）推导同角三角函数关系式

　　观察及，当时，有何关系？

　　当且时、及有没有商数关系？

　　通过计算发现与互为倒数：

∵．

　　由于，

　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算的值．

　　由三角函数定义我们可以看到：

．

　　∴，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

　　①平方关系：

　　②商数关系：

　　③倒数关系：

　　即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中，在第三个式中，的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

（3）同角三角函数关系式的应用

　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

【例1】已知，且是第二象限角，求，，的值．

解：

∵，且，∴是第二或第三象限角．

　　如果是第二象限角，那么

　　如果是第三象限角，那么，

说明：

本题没有具体指出是第几象限的角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例2】已知，求的值．

　　解：

，且，是第二或第三象限角．

　　如果是第二象限角，那么

　　如果是第三象限角，那么．

　　说明：

本题没有具体指出是第几象限角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例3】已知为非零实数，用表示，．

　　解：

因为，所以

　　又因为，所以

　　于是   ∴

　　由为非零实数，可知角的终边不在坐标轴上，考虑的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

　　【例4】化简下列各式：

（1）；

（2）．

　　解：

（1）             

（2）

3．演练反馈（投影）

（1）已知：

，求的其他各三角函数值．

（2）已知，求，．

（3）化简：

解答：

（1）解：

∵，所以是第二、第三象限的角．

　　如果是第二象限的角，则：

　　又    

　　如果是第三象限的角，那么

（2）解：

∵  ∴是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知当是第二象限时

　　当是第四象限时

（3）解：

原式

4．本课小结

（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此，……．

（2）诸如，，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

课时作业：

1．已知，，则等于（     ）

　　A．      B．     C．        D．

2．若，则的值是（     ）

　　A．－2       B．2        C．±2           D．

3．化简

4．化简，其中为第二象限角．

5．已知，求的值．

6．已知是三角形的内角，，求值．

参考答案：

1．D；2．B；3．1；4．；5．3；6．

注：

4．略解：

原式

　　∵在第二象限

　　∴

　　∴．

6．略解：

　　由，平方得，，

　　∴　

　　∵是三角形内角

　　∴只有

　　∴，

由

　　及，联立，得：

，，

　　∴

教学目标

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

　　（3）了解简单的分式不等式的解法；

　　（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

　　（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

　　（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

　　（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

教学重点：

一元二次不等式的解法；

教学难点：

弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ．设置情境

问题：

①解方程

②作函数的图像

③解不等式

　　【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？

　　【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。

能。

　　通过多媒体或其他载体给出下列表格。

扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。

注意色彩或彩色粉笔的运用

　　在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。

利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！

）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索与研究

　　我们现在就结合不等式的求解来试一试。

（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。

）

【答】方程的解集为

　　　不等式的解集为

【置疑】哪位同学还能写出的解法？

（请一程度差的同学回答）

【答】不等式的解集为

　　我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

　　下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。

为简便起见，暂只考虑的情形。

请同学们思考下列问题：

　　如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？

（提问程度较好的学生）

【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

　　现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。

（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

【答】的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。

应尽快将表中的结果记住。

其关键就是抓住相应二次函数的图像。

　　课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。

其解答过程虽很简练，却不太直观。

现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

　　（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。

）

　　Ⅲ．演练反馈

　　1．解下列不等式：

（1）   

（2）

　　（3）   （4）

　　2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是           。

　　3．解不等式

（1）   

（2）

参考答案：

　　1．

（1）；

（2）；（3）；（4）R

　　2．

　　3．

（1）

（2）当或时，，当时，

　　　　　　当或时，。

Ⅳ．总结提炼

　　这节课我们学习了二次项系数的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

　　（五）、课时作业

　　（P20．练习等3、4两题）

　　（六）、板书设计

第二课时

　　Ⅰ．设置情境

　　（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。

）

　　上节课我们只讨论了二次项系数的一元二次不等式的求解问题。

肯定有同学会问，那么二次项系数的一元二次不等式如何来求解？

咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

　　Ⅱ．探索研究

　　（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）

　　生甲：

只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数的一元二次不等式的解集．

　　生乙：

我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．

　　师：

首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．

　　（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）

[知识运用与解题研究]

　　由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。

我们就能求

　　解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）

（1）   

（2）

　　（分别为课本P21习题1．5中1大题

（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）

　　训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式．

　　目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如（或）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式求解的内容并思考：

原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？

（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）

　　【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

　　这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．

（1）   ［P20练习中第1大题］

（2）   ［P20练习中第1大题］

　　（3）   ［P20练习中第2大题］

　　（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．

　　例5 解不等式

　　　因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解（或）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。

具体解答过程如下。

　　解：

（略）

　　现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

　　（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。

）

　　[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

　　（通过多媒体或其他载体给出下列各题）

　　1．不等式与的解集相同此说法对吗？

为什么[补充]

　　2．解下列不等式：

（1）             ［课本P22第8大题

（2）小题］

（2）　           ［补充］

　　（3）   ［课本P43第4大题

（1）小题］

　　（4）       ［课本P43第5大题

（1）小题］

　　（5）         ［补充］

（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）

参考答案：

　　1．不对。

同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

　　2．

（1）

（2）原不等式可化为：

，即

　　　　　　解集为。

　　　　（3）原不等式可化为

　　　　　解集为

　　　　　（4）原不等式可化为或

　　　　解集为

　　　　（5）原不等式可化为：

或解集为

　　Ⅲ．总结提炼

　　这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。

值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

（五）布置作业

　　（P22．2

（2）、（4）；4；5；6。

）

（六）板书设计

教学目标

　　1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；

　　（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　　2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.

　　3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

关于等差数列的教学建议

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

　　①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

　　②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

（3）教法建议

　　①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．

　　②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：

“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

　　③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．

　　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．

　　⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．

　　⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

　　⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

等差数列通项公式的教学设计示例

教学目标

　　1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

　　2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

　　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点，难点

　　教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．

教学用具

　　实物投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

　　研探式.

教学过程

一.复习提问

　　前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

　　等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

二.主体设计

　　通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：

“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

1.方程思想的运用

（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.

（2）已知等差数列中，首项，则公差

　　（3）已知等差数列中，公差，则首项

　　这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差数列中，，求的值.

（2）已知等差数列中，，求.

　　若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：

因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.

　　教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？

学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？

举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

　　如：

已知等差数列中，…

　　由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？

若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？

能否与两项有关？

多项有关？

由学生发现规律，完善问题

　　（3）已知等差数列中，求；；；；….

类似的还有

　　（4）已知等差数列中，求的值.