全国数学建模大赛C题潘宏万姚明佐李清华.docx
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全国数学建模大赛C题潘宏万姚明佐李清华
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其它公开的数据（包括网上查到的数据），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
海南软件职业技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.姚明佐
2.潘宏万
3.李清华
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模组
日期：
2010年9月10日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
输油管道的布置
摘要
本文对输油管线的布置方案和铺设费用的问题进行了研究探讨，运用了图论、几何分析法、层次分析法和线性规划等方法建立了相应的模型并求解，提出了解决问题的最佳方案。
针对问题
（1），分析问题确定已知变量，根据建立最短路线的模型，假设共用管道的长度为变量x，分析图3中的几何关系，从而得到输油管线总长度的表达式，根据输油管线每千米建设的费用，从而得出输油管线建设总费用W用变量x和已知变量表示的表达式⑦。
针对问题
（2），根据题目要求，假设输油管线与城区和郊区的边界线交与K点，设K点到铁路线的距离设为变量y，根据问题一中所建立的模型和图4的几何关系，用变量x、y表达出各段路线的长度，根据每段输油管线的铺设费用，从而得出管线铺设的总费用为用变量x、y表示的表达式。
查阅相关数据得出甲级工程咨询公司与乙级工程咨询公司的区别，根据层次分析法得出每家公司对附加费用评估的权值，得到附加费用合理的估价。
利用lingo软件求解出当x=1.85,y=7.37时管线铺设的总费用最少为282.19万元，从而得出铺设输油管线的最佳方案如图6。
针对问题（3），我们根据题目要求以及问题
（2）中求得的关系建立平面直角坐标系，根据炼油厂、车站等已知坐标，并假设出非共用管线的交点P，输油管线与边界线交点K的坐标，根据两点之间的坐标公式表示出路线中各段输油管线的长度，通过题目中给出每段输油线每千米铺设的费用，得到管线铺设总费用的表达式，使用lingo软件进行求解得到管线铺设的总费用最少为199.59万元。
关键词：
输油管道最短距离共用管线层次分析法lingo软件
1背景分析
随着世界各国经济的快速发展，天燃气、油为我们所必需的资源。
我们会在不同的时刻不同的领域用到它们。
它们已经是我们生活中必不缺少的一部分。
例如，在天然气方面我国在2000—2001年内先后动工于2007年全部建成西气东输这又一利国利民的项目，促进我国能源结构和产业结构调整，带动东、西部地区经济共同发展，改善长江三角洲及管线沿线地区人民的生活质量，并有效的治理了大气污染。
这一项目的实施，为西部大开发、将西部地区的资源优势变为经济优势创造了条件，对推动和加快新疆及西部地区的经济发展具有重大的战略意义。
现在油已经是21世纪最为重要的一个问题。
世界上许多不同的地方都有油田。
因此，油田开发和炼油厂建址及输油管线路线成为我们所必需要解决的问题。
在最近的几年中我国的许多地方发生了输油管爆炸情况，在前不久我国大连发生了一起这样的事故，造成了很严重的损失。
因此建立安全、经济的输油管线是必不可少的。
在建立管线路线时，我们应该注意涉及的因素很多，目前选线工作尚较多地依靠经验。
常规的选择方法是根据规定的管线起点和终点位置，首先在适当比例的地形图上选出多条可能的线路走向方案，再经初步分析对比，选出几个较优的方案,并绘制出线路纵断面图，同时在图上初步布站,然后进行现场踏勘。
对线路中大型穿跨越工程也要提出细致的施工方案，从工程量和投资两方面进行对比，选定最终方案。
较好的输油管线方案既能为我们节约经济成本，又能带来可观的经济效益。
2问题的重述与分析
2.1问题重述：
21世纪的三大问题之一就是油问题它让世界上许多的国家因它而发生战争。
但是它也给我们带来了很大的利益，让我们的生活更加的美好.成品油的提炼成为一个很重要的关键。
已知：
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路在线增建一个车站，方便成品油的运送。
因模式具有一定的普遍性，所以要求我们建立一个管线建设最省的数学模型，求解以下3个问题。
问题
（1）：
针对两炼油厂到铁路线距离及两炼油厂间距离的各个不同情形制定出设计方案，若由共享管线，则应考虑共享管线与非共享管线费用相同的情况和不同的情况。
问题
（2）：
我们要设计一个更为复杂的情形进行具体的设计。
两个炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：
千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，那么铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
问题（3）：
在该实际问题中，为进一步节省费用，我们可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共享管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
要求我们给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2.2问题分析:
根据题目对输油管线布置的要求以及各段输油管线每千米管线铺设的费用，要求我们制定出管线最省的方案，并且算出管线建设的总费用。
针对问题
（1）：
根据题目的已知条件，要求我们针对两炼油厂到铁路线距离及两炼油厂间距离的各个不同情形，设出非共用管线的交点到铁路线的距离为x,可以通过几何关系表示出路线长度，从而求出管线建设的费用。
针对问题
（2）：
根据题目要求，首先在问题1的基础上，可以再设出一个未知变量，用来表示出各段输油管线的长度，并且通过各段管线建设的费用表示出管线建设的总费用，可以建立平面直角坐标系描述出管线建设的最优方案。
针对问题3：
我们根据题目要求以及问题
（2）中求得的关系建立平面直角坐标系，首先根据已知条件标注炼油厂、车站等坐标，根据两点之间的坐标公式表示出路线中各段输油管线的长度，然后通过题目中给出每段输油管线每千米铺设的费用，最后可以算出管线铺设总费用。
3名词解释和符号说明
3.1名词解释：
1.专业资质:
指具有专业的技术人才、专业的工程测量和估价等资质。
2.工程咨询公司:
有完善的质量保证体系且具有优异的资历和极好的信誉的公司。
3.权重：
指该指标在整体评价中的相对重要程度。
3.2符号说明：
:
炼油厂
:
炼油厂
:
炼油厂到铁路线的距离
:
炼油厂到铁路线的距离
炼油厂、之间的距离
X:
共用管线的长度
：
连接两个炼油厂的交点
：
建设输油管道的总费用
：
每千米共享管道的建造费用
：
每千米非公用管道的建造费用
：
通过比较后得到的最优的附加费用
4模型假设
（1）假设车站与铁路线的距离可以忽略。
（2）假设两家炼油厂和车站都可以看作质点。
（3）假设公司二和公司三的各方面工作质量相同，并且甲级公司比乙级的工作质量好。
（4）假设工作质量较好的工程咨询公司将有利于工程建设。
（5）建设管线的总费用为管道的长度乘以每千米建设，其它费用不作考虑。
（6）假设在郊区输油管道每平方千米的建设费用都相同，在城区输油管道每平方千米的建设费都相同，不受土壤、地质等其它因素影响。
（7）假设不考虑因为拒绝拆迁等突发情况影响输油管道路线。
5模型建立与求解
5.1：
针对问题
（1）模型的建立及求解：
通过对问题的分析，建立如图1所示的管线设计方案,其中点、为两个炼油厂，点为车站，点P为两非公用管道的交点。
图1管线设计路线分析
（1）图中两个炼油厂的距离L为，设炼油厂A到铁路线的垂直距离为a，炼油厂B的铁路线的垂直距离为b。
（2）PH为共用管线，长度为x，AP、BP分别为A、B两炼油厂的非共用管线，当车站位于P点的正下方的铁路线上时，P点到车站的距离最短。
5.11两点到直线中任意点的最小距离之和：
图2最小距离之和
求在直线ｌ中任意一点到A、B两点的最小距离之和。
作A关于直线ｌ的对称点，即作AA′垂直于直线ｌ，与直线ｌ交于点C，且使，连接交ｌ于一点P，连接AP，BP，因为两点之间线段最短，所以为点与点B的最短距离．又因为AP＝ ，所以AP+BP为直线ｌ任意一点到A、B两点的最小距离之和。
5.12求出最短路线：
根据题目要求，分析管道设计路线可以得出图3。
图3题一最短路线方案
（1）过点作铁路线的平行线，并作点A关于的对称点A＇，再作垂直ＡＡ于点EF，连接A＇B，其中PH垂直于铁路线，H为垂足。
（2）假设非公用管道的交点P到铁路线的距离为变量x,在图3中，
①
（3）AP+BP为非共用管线的总长度，通过5.12得出的推论，AP+BP最小等于为AA＇，在Δ中，根据勾股定理
②
通过②式得到非共用管线的总长度的表达式。
5.13铺设管道最优方案：
当输油管线如图3所示铺设时，所花费的总建设费用最少。
当炼油厂A到铁路线的距离a、炼油厂到铁路线的距离b、以及A、B两厂的距离L均为定值时，将管道建设的总费用W用变量x可表示为
③
图3为管道建设的最优方案，那么通过对是否使用共用管和共用管、非公用管道的的价格是否相同，分析得到以下三种情况
⑤
④
⑥
（1）：
公式④为当不用共用管的情况下，将共用管长度x=0代入公式③，得到管道建设的总费用的值；
（2）：
公式⑤为当共用管与非共用管单位长度建设费用相同时，即P1=P2时，得到的管道铺设总费用的值；
（3）：
公式⑥为当使用共用管，且共用管的建设费用为P1，非共用管的建设费用为P2时所得出的建设管线费用的值。
针对炼油厂A到铁路线的距离a、炼油厂B到铁路线的距离b的各种情况下，求出当管线铺设的总费用W为最小值时，所对应的共用管长度x值。
从而可以得到不同情况下管道铺设的最佳方案。
这个模型具有普遍的适用性，可以适用于两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形。
5.2针对问题
（2）的模型建立和求解：
图4题二管线设计分析图
（1）根据题目要求，将输油管道路线分成AP、PH、KP、BK四段，分别为输送A厂成品油的路线、共用管的路线、输送B厂成品油在郊区的路线、输送B厂成品油在城区的路线。
石油管
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