（2）若a＝c时，则集合P为两条射线；
（3）若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：
坐标轴；对称中心：
原点
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞）
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（ ）
（2）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.（ ）
（3）方程－＝1（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线.（ ）
（4）双曲线－＝λ（m>0，n>0，λ≠0）的渐近线方程是±＝0.（ ）
（5）若双曲线－＝1（a>0，b>0）与－＝1（a>0，b>0）的离心率分别是e1，e2，则＋＝1（此条件中两条双曲线称为共轭双曲线）.（ ）
解析
（1）因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
（2）由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
（3）当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）√ （5）√
2.（选修2－1P62A6改编）经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为：
x2－y2＝λ（λ≠0），把点A（3，－1）代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
3.（选修2－1P61A1改编）已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
答案 6
4.（2018·浙江卷）双曲线－y2＝1的焦点坐标是（ ）
A.（－，0），（，0）B.（－2，0），（2，0）
C.（0，－），（0，）D.（0，－2），（0，2）
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为（－2，0），（2，0）.
答案 B
5.（2017·全国Ⅲ卷）双曲线－＝1（a>0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析 由题意可得＝，所以a＝5.
答案 5
6.（2018·北京卷）若双曲线－＝1（a>0）的离心率为，则a＝________.
解析 由题意可得，＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案 4
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
（1）已知F1，F2为双曲线C：
x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝（ ）
A.B.C.D.
（2）（2019·济南调研）已知圆C1：
（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：
（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析
（1）由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝.
（2）如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小），
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）.
答案
（1）C
（2）x2－＝1（x≤－1）
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】
（1）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为（ ）
A.2a2B.a2
C.30a2D.15a2
（2）（2019·杭州质检）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，－），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为（ ）
A.8B.10C.4＋3D.3＋3
解析
（1）由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cos∠F1AF2＝
＝＝.
又0<∠F1AF<π，∴sin∠F1AF2＝，
∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.
（2）由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案
（1）B
（2）B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】
（1）（2017·全国Ⅲ卷）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
（2）（2018·天津卷）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析
（1）由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
（2）由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
答案
（1）B
（2）C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）.
【训练2】
（1）（2019·海南二模）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）过点（，），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是（ ）
A.－y2＝1B.－＝1
C.x2－＝1D.－＝1
（2）已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P（，2），则双曲线的方程为________________.
解析
（1）由双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）过点（，），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得
∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.
（2）由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）.
因为双曲线过点P（，2），所以－＝λ，λ＝－，
故所求双曲线方程为－＝1.
答案
（1）C
（2）－＝1
考点三 双曲线的性质
多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】（一题多解）（2018·全国Ⅱ卷）双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A.y＝±xB.y＝±x
C.y＝±xD.y＝±x
解析 法一 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二 由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】
（1）（2018·全国Ⅲ卷）设F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A.B.2C.D.
（2）（2018·泰安联考）已知双曲线C1：
－＝1（a>0，b>0），圆C2：
x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C.（1，2）D.（2，＋∞）
解析
（1）不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－（a）2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
（2）由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：
x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为（x－a）2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为（a，0），半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4（c2－a2），即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案
（1）C
（2）A
角度3 与双曲线有关的范围（最值）问题
【例3－3】已知M（x0，y0）是双曲线C：
－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析 因为F1（－，0），F2（，0），－y＝1，所以·＝（－－x0，－y0）·（－x0，－y0）＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】
（1）（2019·上海崇明区调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－1）2＝1相切，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
（2）已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析
（1）双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为（2，1），则＝1，得3a＝4b，
所以9a2＝16b2＝16（c2－a2），则e2＝，
又e>1，故e＝.
（2）对于焦点在x轴上的双曲线－＝1（a>0，b>0），它的一个焦点（c，0）到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4答案
（1）B
（2）（0，2）
[思维升华]
1.与双曲线－＝1（a>0，b>0）有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t（t≠0）.
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是（1，
＋∞）这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x，－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.（2019·郑州模拟）设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±xB.y＝±x
C.y＝±xD.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 B
2.双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.2D.
解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率e＝＝.
答案 A
3.（2018·全国Ⅲ卷）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A.B.2C.D.2
解析 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点（4，0）到C的渐近线的距离为＝2.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点（4，0）到C的渐近线的距离为＝2.
答案 D
4.（2019·天津和平区一模）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为（ ）
A.x2－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析 由题意可知e＝＝，可得＝，
取一条渐近线为y＝x，
可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，由题意可得ab＝，
联立解得
所以双曲线的方程为－＝1.
答案 C
5.已知F2，F1是双曲线－＝1（a>0，b>0）的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±xB.y＝±x
C.y＝±xD.y＝±x
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2为等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，亦即c2＝7a2，则b＝＝＝a，由此可得双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案 D
二、填空题
6.直线l：
y＝2x＋10过双曲线－＝1（a>0，b>0）一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.
解析 由题意得一个焦点为F（－5，0），c＝5，＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，
所以双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
7.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A（3，0），F（5，0），不妨设直线BF的方程为y＝（x－5），代入双曲线方程解得B.∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·2·＝.
答案
8.（2019·梅州质检）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝a，所以e＝＝.
答案
三、解答题
9.（2019·安徽江南十校联考）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，－）.
（1）求双曲线的方程；
（2）（一题多解）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
·＝0.
（1）解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0）.
∵双曲线过点（4，－），∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
（2）证明 法一 由
（1）可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1（－2，0），F2（2，0），
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M（3，m）在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二 由
（1）可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1（－2，0），F2（2，0），
＝（－2－3，－m），＝（2－3，－m），
∴·＝（3＋2）×（3－2）＋m2＝－3＋m2，
∵点M（3，m）在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10.设A，B分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标.
解
（1）由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），其中x0≥2.
又＋＝t，即（x1，y1）＋（x2，y2）＝t（x0，y0），
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，其中Δ＝（16）2－4×84>0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝（x1＋x2）－4＝12.
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为（4，3）.
能力提升题组
（建议用时：
20分钟）
11.（2019·河南适应测试）已知F1，F2分别是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±2xB.y＝±x
C.y＝±xD.y＝±x
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.
由余弦定理，可得＝，即（a－c）2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案 D
12.已知点F为双曲线E：
－＝1（a>0，b>0）的右焦点，直线y＝kx（k>0）与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.[，＋]B.[2，＋1]
C.[2，＋]D.[，＋1]
解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，
由①②得r1r2＝2（c2－a2），又知S△MNF＝2S△MOF，
∴r1r2＝2·c2·sin2β，∴c2－a2＝c2·sin2β，
∴e2＝，又∵β∈，∴sin2β∈，
∴e2＝∈[2，（＋1）2].
又e>1，∴e∈[，＋1].
答案 D
13.（2018·北京卷）已知椭圆M：
＋＝1（a>b>0），双曲线N：
－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F（c，0），双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴（a2－c2）c2＋3a2c2＝4a2（a2－c2），∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1（舍去）或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1.∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
答案 －1 2
14.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：
y＝kx＋与双曲线C2
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