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高等代数第7章习题参考答案

第七章线性变换

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；

2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；

3）在P中，A；

4）在P中，A；

5）在P[]中，A；

6）在P[]中，A其中P是一固定的数；

7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

8）在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.

解1）当0时,是;当0时,不是。

2）当0时,是;当0时,不是。

3）不是.例如当（1,0,0）,k2时,kA（）（2,0,0）,A（k）（4,0,0）,

A（k）kA（）。

4）是.因取（x1,x2,x3）,（y1,y2,y3）,有

A（）=A（x1y1,x2y2,x3y3）

=（2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1）

=（2x1x2,x2x3,x1）（2y1y2,y2y3,y1）

=A+A，

A（k）A（kx1,kx2,kx3）

（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）

=kA（），

故A是P上的线性变换。

5）是.因任取f（x）P[x],g（x）P[x],并令

u（x）f（x）g（x）则

A（f（x）g（x））=Au（x）=u（x1）=f（x1）g（x1）=Af（x）+A（g（x）），再令v（x）kf（x）则A（kf（x））A（v（x））v（x1）kf（x1）kA（f（x）），故A为P[x]上的线性变换。

6）是.因任取f（x）P[x],g（x）P[x]则.

A（f（x）g（x））=f（x0）g（x0）A（f（x））A（g（x）），

A（kf（x））

kf（x0）

kA（f（x））。

7）不是，例如取

a=1,k=I，

则A（ka）=-i,k（

Aa）=i,

A（ka）kA（a）。

8）是，因任取二矩阵X,Y

Pnn，则A（X

Y）

B（XY）CBXCBYCAX+AY，

A（kX）=B（kX）k（BXC）kAX，故A是Pnn上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：

A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验（AB）2=A2B2是否成立。

解任取一向量a=（x,y,z），则有

1）因为

Aa=（x,-z,y）,

A2a=（x,-y,-z）

，Aa=（x,z,-y）,

A4a=（x,y,z）

Ba=（z,y,-x）,

B2a=（-x,y,-z）

，B3a=（-z,y,x）,

B4a=（x,y,z）

Ca=（-y,x,z）,

C2a=（-x,-y,z）

，C3a=（y,-x,z）,

C4a=（x,y,z）

所以A4=B4=C4=E。

2）因为AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y），BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x），

所以ABBA。

3）因为A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z），B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z）

所以A2B2=B2A2。

3）因为（AB）2（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x），A2B2（a）=（-x,-y,z），

所以（AB）2A2B2。

3.在P[x]中，Af（x）f'（x）,Bf（x）xf（x），证明:

AB-BA=E。

证任取f（x）P[x]，则有

（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）xf;（x）-xf'（x）=f（x）所以AB-BA=E。

4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：

AkB-BAk=kAk1（k>1）。

证采用数学归纳法。

当k=2时

A2B-BA2=（A2B-ABA）+（ABA-BA2）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA2=a，结论成立。

归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。

则当km1时，有

Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mAm1A=（m1）Am。

即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。

5.证明：

可逆变换是双射。

证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。

若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。

因此,A是一个双射。

6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。

证明：

A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关。

证因A（1,2,,n）=（A1,A2,,An）=（1,2,,n）A，

故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1）第1题4）中变换A在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

2）[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；

3）在空间P[x]n中，设变换A为f（x）f（x1）f（x），

试求A在基i=x（x1）（xi1）（I=1,2,,n-1）下的矩阵A；

4）六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，1=1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性

空间，求微分变换D在基i（i=1,2,,6）下的矩阵；

5）已知P3中线性变换A在基1=（-1,1,1）,2=（1,0,-1）,3=（0,1,1）下的矩阵是101

110，求A在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

121

6）在P3中，A定义如下：

A1（5,0,3）

A2（0,1,6），

A3（5,1,9）

其中

（1,0,2）

2（0,1,1）

（3,

1,0）

求在基1=（1,0,0）,

2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

7）同上，求A在

1,2,3下的矩阵。

解1）

A1=（2,0,1）=21+3，A

2=（-1,1,0）=-1+2，A3=（0,1,0）=

故在基

2）取

1=（1，

故A在基

1，

又因为B

=A2=1

3下的矩阵为0

0），2=（0，1），则

2下的矩阵为A=

1=0，B

所以AB在基

1，

1。

1+2

3）因为

2=2，所以B在基

2，

2下的矩阵为AB=

1x,

x（x1）

2下的矩阵为

，另外，

AB）2=A（B2）

所以A0

0，

（x

1）x

（x

1）x[x

（n3）]（n1）!

x（x

（n1）!

x（x

1）

（n1）!

1）

（n1）!

（n2）]

[x（n2）]

1）[x（n2）]}

所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=

4）因为D1=a1-b2

D2=b1-a2,6，

D3=1+a3-b4,

D4=2+b3+a4,

D5=3+a5-b6,

D6=4+b5+a6，

ab100

ba010

所以D在给定基下的矩阵为

ab1

ba0

0。

01，所以

0000ab

0000ba

5）因为（1,2,3）=（1,2，3）1

3）=（1,2,3）0

1=（1,2,3）X，

101

故A在基1,2，3下的矩阵为

B=X1AX=1

6）因为（1,

2,3）=（

1,2，

3）

1，

37171

A（

以

所

（A

故

767

7272

7）因为（

1,2，3）=（1,2

3）0

所以A（

1,2,3）=（1,2,

3）0

=（1,2,3）

1。

aba

8．在P22

中定义线性变换A1（X）

X,A2

（X）=X

A2（X）=

cdc

求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。

0故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1=

。

又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,

故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A2=b

。

21112212220

又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22，

A3E21=abE11+bE12+adE21+bdE22，

A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+dE22，

a2ab

acad

bcbd

故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A3

9.设三维线性空间

V上的线性变换A在基

1,2,3下的矩阵为

a11a12

a13

a21a22

a23

a31a32

a33

1）

求A在基

3,2

1下的矩阵；

2）

求A在基

1,k

2,3下的矩阵，其中且；

3）

求A在基

2,2,3下的矩阵。

解

1）因A3

=a33

3+a232a131，

A2=

a32

3a222a121，

a33

a32

a31

故A在基3,2,1下的矩阵为B3

a23

a22

a21

a13

a12a11

a21

2）因A1=a111+21（k2）a313，

3=a131+a23（k

2）+a33

3，

a11

ka12

a13

故A在

1,k

2,3下的矩阵为

a21

a22

a23

。

a31

ka32

a33

3）

因

A（1

2）=（

a11a12）（1

3）+（

a21

a22a11

a12）

2+（a31a32）3，

A2=

a12（

12）+（a22

a12）

2+a323，

A3=

a13（

12）+（a23

a13）

2+a333，

a11a12

a12a13

故A基1

2,2

3下的矩阵为

a21

a22a11

a12

a22a12a23a13。

a31a32

a32a33

设A是线性空间

V上的线性变换，

如果

Ak1

0,但Ak=0，

求证：

kA,,A

1（k>0）线性无关。

证设有线性关系

l1l2A

lkA

0，

10.

a12

1+a22（k

2）+ka32

用Ak1作用于上式,得

l1Ak1=0（因An0对一切nk均成立），

又因为Ak10,所以l10,于是有

l2lk0,

即证

A,,Ak1（k>0）线性无关。

11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得An10，求证A在某组下的矩阵

是

。

证由上题知,

A2,

1线性无关，故,A,A2,

An1为线性空

间V的一组基。

又因为

0A2+0An1，

A（A）=0+0

+1A2

0An1，

A（An1）=0+0A+0A2+0An1，

故A在这组基下的矩阵为

101。

12．设V是数域P上的维线性空间，证明：

与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。

13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

证设A在基1,2,,n下的矩阵为A=（aij），只要证明A为数量矩阵即可。

设X为任一非退化方阵，且

（1,2,n）=（1,2,,n）X，

则1,2,L,n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X1AX，从而有AX=XA，这说

明A与一切非退化矩阵可交换。

若取

X1，

则由AX1=X1A知aij=0（ij），即得

a11

a22

ann

再取

X2=

由AX

X2A，

可得

a11a22ann。

故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。

14.设1,2,

3,4是四维线性空间

V的一组基，已知线性变换

A在这组基下的矩阵为

3，

1）

求A在基

224,2

323

4,33

4,424下的矩阵；

2）求A的核与值域；

3）在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵；

4）在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。

解1）由题设,知

（

1,2,3,4）=（1,2,3,4）

123412340

故A在基1,2,3,4下的矩阵为

B=X

AX=

3。

2）先求A1

（0）.设

1（0），

它在

在1,

2,3

4下的坐标为

（0,0,0,0,）

因rank（A）=2，

故由

2x3

，则

x12x2

x33x4

可求得基础解系为

X1=（2,

4下的坐标为

32,1,0）,X2=（

1,2,0,1）。

4），且A

若令1=（1,2,

4）X1，

2=（1,2,3,

4）X2，

则1,

2即为A1

（0）

的一组基，

所以

A1（0）=

L（1,2）。

再求A的值域

AV。

因为

A1=1

A2=2

A3=21

4，

rank（A）=2

，故A

1,A

3,A4的秩也为

2，且A1,A

2线性无关，故A1,A2

可组成AV的基，从而AV=L（A1,A2）。

4）

由2）知1,2是A1（0）的一组基，且知1,2,1,2是V的一组基，又

故A在基1,2,1,2下的矩阵为

易知A1,A2,3,4是V的一组基，且

1000

1200（A1,A2,3,4）=（1,2,3,4）

1210

1201

故A在基A1,A

2,3,

4下的矩阵为

221

。

000

（1,0,1）

1（1,2,

1）

（2,1,0）

2（2,2,

1），

（1,1,1）

3（2,1,

1）

定义线性变换

1）写出由基

Ai=i（i=1,2,3），

2）写出在基1,2,3下的矩阵；

3）写出在基1,2,3下的矩阵。

e3=（0,0,1），则

3）=（

e1,e2,e3）0

=（e1,

e2,e3）A，

21=

。

2,3）1

2,3的过度矩阵为

所以

（

1,2,3）=（e1,e2,e3）2

21=（e1,e2,e3）B=（e1,e2,e3）AB，

故由基1,2,3到基1,

1211

X=A1B=011

101

2）因

A（1,2,3）=（1,2,3）=（

故A在基1,2,3下的矩阵为

A=1

4）因A（

3）=A（

3）X=（

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