高等代数第7章习题参考答案.docx

1、高等代数第7章习题参考答案第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1)在线性空间 V中， A,其中 V是一固定的向量；2)在线性空间 V中， A其中 V是一固定的向量；3)在 P中， A；4)在 P中， A；5)在 P 中， A；6)在 P 中， A其中 P是一固定的数；7)把复数域上看作复数域上的线性空间， A。8)在 P中， AX=BXC其中 B,CP 是两个固定的矩阵 .解 1) 当 0时, 是;当 0时, 不是。2)当 0时, 是;当 0时,不是。3)不是.例如当 (1,0,0), k 2时, kA( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0) ,A(

2、k ) kA( ) 。4)是.因取 (x1,x2,x3), (y1,y2,y3), 有A( ) = A(x1 y1,x2 y2,x3 y3)= (2x1 2y1 x2 y2,x2 y2 x3 y3,x1 y1)= (2x1 x2,x2 x3,x1) (2y1 y2,y2 y3,y1)= A + A ，A(k ) A(kx1,kx2 ,kx3)(2kx1 kx2 ,kx2 kx3,kx1)(2kx1 kx2 ,kx2 kx3,kx1)= kA( ) ，故 A是 P 上的线性变换。5) 是.因任取 f(x) Px, g(x) Px,并令u(x) f (x) g(x) 则A(f (x) g(x)=

3、Au(x)=u(x 1)= f(x 1) g(x 1)=Af(x)+ A(g(x)， 再令 v(x) kf (x)则 A(kf (x) A(v(x) v(x 1) kf(x 1) kA(f(x)， 故 A为 Px 上的线性变换。6)是.因任取 f(x) Px, g(x) Px则.A(f(x) g(x)=f(x0) g(x0 ) A(f(x) A(g(x)，A(kf (x)kf (x0 )k A(f (x) 。7)不是，例如取a=1,k=I ，则 A(ka)=-i , k(Aa)=i,A( ka) kA(a) 。8)是，因任取二矩阵 X,YPn n，则A( XY)B(X Y)C BXC BYC

4、AX +AY ，A(k X )=B(kX) k(BXC) kAX，故 A是Pn n上的线性变换。2.在几何空间中 , 取直角坐标系 oxy, 以 A表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变 换,以B表示绕 oy轴向 ox方向旋转 90度的变换 ,以 C表示绕 oz轴由 ox向oy方向旋转 90 度的变换，证明： A4 =B4 =C4 =E,AB BA,A2 B2 =B2 A2 ，并检验 ( AB) 2 =A2 B2是否成立。 解 任取一向量 a=(x,y,z) ，则有1)因为Aa=(x,-z,y),2A2 a=(x,-y,-z)3， A a=(x,z,-y),A4 a=

5、(x,y,z)Ba=(z,y,-x),B2 a=(-x,y,-z)，B3 a=(-z,y,x),B4 a=(x,y,z)Ca=(-y,x,z),C2 a=(-x,-y,z)，C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z)所以 A4=B4=C4 =E。2)因为 AB(a)= A(z,y,-x)=(z,x,y) ， BA(a)= B(x,-z,y)=(y,-z,-x) ，所以 AB BA。3)因为 A2 B2 (a)= A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z) ，B2 A2 (a)= B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以 A2B2 =B2 A2。3)因为(AB) 2 (a)=

6、( AB)( AB(a)_= AB(z,x,y)=(y,z,x) ，A2B2(a)=(-x,-y,z) ，所以( AB) 2 A2B2。3.在 Px 中，Af(x) f (x),Bf(x) xf (x) ，证明: AB-BA=E。证 任取 f(x) Px ， 则有( AB-BA) f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A( xf (x) - B( f (x)=f(x) xf ;(x)- xf(x)=f(x) 所以 AB-BA=E。4.设 A,B是线性变换，如果 AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk 1 (k1) 。证 采用数学归纳法。当 k=2 时A2 B-BA2 =(A 2 B-AB

7、A)+(ABA-BA2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a，结论成立。归纳假设 k m时结论成立，即 AmB-BAm=mAm1。则当 k m 1时，有Am 1 B-BAm 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BAm 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BAm )A=A m E+m A m 1A= (m 1)Am 。即 k m 1 时结论成立 . 故对一切 k 1 结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证 设 A是可逆变换，它的逆变换为 A 1 。若 a b ，则必有 Aa Ab，不然设 Aa=Ab，两边左乘 A 1 ，有 a=b，这与条件矛盾。

8、其次，对任一向量 b，必有 a 使 Aa=b，事实上 , 令 A 1 b=a 即可。因此 ,A 是一个双射。6.设 1, 2, , n是线性空间 V的一组基， A是 V上的线性变换。证明： A是可逆变换当 且仅当 A 1,A 2 , ,A n 线性无关。证 因 A( 1, 2 , , n )=( A 1,A 2 , ,A n )=( 1, 2 , , n )A，故 A可逆的充要条件是矩阵 A可逆，而矩阵 A可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n 线性无 关，故 A可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n线性无关 .。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵 :1) 第 1 题 4)中变换

9、 A在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵；2) o; 1, 2 是平面上一直角坐标系 , A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的 垂直投影 , B是平面上的向量对 2 的垂直投影，求 A,B,AB 在基 1, 2 下的矩阵；3) 在空间 Px n中，设变换 A为 f(x) f (x 1) f (x)，1试求 A在基 i=x(x 1) (x i 1) (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵 A；i!4)六个函数 1=eax cos bx, 2 =eax sin bx， 3=xeax cos bx , 4=xeax sin bx， 1=1x2eax

10、cosbx, 1=1 eax x2sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性22空间，求微分变换 D在基 i (i=1,2, ,6) 下的矩阵；5)已知 P3中线性 变换 A 在基 1 =(-1,1,1), 2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1) 下的矩 阵是 1 0 11 1 0 ， 求 A在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵；12136)在 P3 中， A定义如下：A 1 ( 5,0,3)A 2 (0, 1,6) ，A 3 ( 5, 1,9)其中( 1,0,2)2 (0,1,1)(3,1,0)求在基 1=(1,0,0),

11、2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵；7） 同上，求 A 在1, 2, 3 下的矩阵。解 1)A 1 =(2,0,1)=2 1+ 3 ，A2 =(-1,1,0)=- 1 + 2 ， A 3 =(0,1,0)=故在基2）取1=（1，故 A 在基1，又因为 B=A 2= 123 下的矩阵为 00）， 2 =（0，1），则2 下的矩阵为 A=1=0，B所以 AB在基1，1。11+2A111+23）因为1,2= 2 ，所以 B在基2，2 下的矩阵为 AB=1 x,x(x 1)2!2 下的矩阵为B=，另外，AB) 2 =A( B 2 )所以 A 00，(x1) xLL(x1)x xn1

12、(n 3) (n 1)!x(x(n 1)!1212x(xx1)(n 1)!1)(n 1)!(n 2)x (n 2)1) x (n 2)0101所以 A在基 0, 1, , n 1下的矩阵为 A=4)因为 D 1 =a 1 - b 2D 2 =b 1- a 2 , 6 ，D 3 = 1 +a 3 - b 4 ,D 4 = 2 +b 3 +a 4 ,D 5= 3+a 5-b 6 ,D 6 = 4 +b 5 +a 6 ，ab100b a 0 1 0所以 D 在给定基下的矩阵为0D=0ab1b a 000。1100 1 ，所以110000ab0 0 0 0 b a15)因为 ( 1 , 2 , 3 )

13、=( 1 , 2 ， 3 ) 113 )=( 1 , 2 , 3 ) 01 =( 1 , 2 , 3 ) X，101故 A在基 1, 2 ， 3下的矩阵为1101011111121B=X 1 AX= 101110011=2201111211013021036)因为 ( 1 ,2 , 3 )=(1 , 2 ，3)011，21037171A(A(以所(A故76772721037)因为 (1, 2， 3)=( 1 , 2, 3) 0111210103505所以 A(1, 2, 3 )=( 1, 2 ,3 ) 0111011210369235=( 1 , 2 , 3 )101。110ababa b a

14、b8在 P2 2中定义线性变换 A1( X)X, A2(X)=XA2( X)=Xcdcdc d cd求 A1 , A 2 , A 3 在基 E11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵。a0b00 故 A1在基 E11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为 A1=a0b。c0d00c0d又因 A2 E11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E12 = c E11 +dE12 ,ac00b故 A2在基 E11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为 A2 = bd00。2 11 12 21 22 2 00ac00bd又因 A3E11= a 2E11 +abE

15、12+acE21 +bcE22，2A3E21 = abE11 +b E12+adE21+bdE22，2A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21 +d E22，a2 abac adabb2bc bd故 A3在基 E11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为 A32accadcdbccdbdd29. 设三维线性空间V上的线性变换 A 在基1, 2 , 3下的矩阵为a11 a12a13A=a21 a22a23a31 a32a331)求 A 在基3, 2, 1 下的矩阵；2)求 A 在基1,k2, 3 下的矩阵，其中且；3)求 A 在基12, 2, 3 下的矩阵。解1) 因 A 3=

16、a333 +a23 2 a13 1 ，A 2 =a323 a22 2 a12 1 ，a33a32a31故 A 在基 3, 2, 1下的矩阵为 B3a23a22a21a13a12 a11a212)因 A 1=a11 1+ 21 (k 2) a31 3 ，kA3 =a13 1+ a23 ( k1k2 )+ a333，a11ka12a13故A在1,k2, 3 下的矩阵为B2a21a22a23。kka31ka32a333)因A( 12)=(a11 a12 )( 13 )+(a21a22 a11a12 )2 +( a31 a32 ) 3 ，A 2 =a12 (1 2 )+( a22a12 )2 +a32

17、 3 ，A 3 =a13 (1 2 )+( a23a13 )2 +a33 3 ，a11 a12a12 a13故 A 基 12, 2, 3 下的矩阵为B3a21a22 a11a12a22 a12 a23 a13 。a31 a32a32 a33设 A 是线性空间V上的线性变换，如果Ak 10,但 Ak =0，求证：k A , , A1 ( k 0) 线性无关。证 设有线性关系l1 l2 AlkAk10，10.a121 +a22 (k2) +ka323用 Ak 1作用于上式 , 得l1 Ak 1 =0(因 An 0对一切 n k均成立 )，又因为 Ak 1 0,所以 l1 0,于是有l1l2 lk

18、0 ,即证,A , , Ak 1 ( k 0)线性无关。11.在 n维线性空间中，设有线性变换 A与向量 使得 An 1 0，求证 A在某组下的矩阵010是1。010证 由上题知 ,A, A2 ,An1 线性无关， 故 , A , A2 , An 1 为线性空间 V 的一组基。又因为A01A0 A2 + 0 An 1 ，A(A )= 0 +0A+1 A 2+0 An 1 ，A(An 1 )=0 +0 A +0 A 2 + 0 An 1 ，故 A 在这组基下的矩阵为010 1。01012 设 V是数域 P上的维线性空间，证明：与 V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数 乘变换。证 因为在某组确

19、定的基下， 线性变换与 n 级方阵的对应是双射， 而与一切 n 级方阵可交换 的方阵必为数量矩阵 kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换 K。13. A是数域 P上 n维线性空间 V的一个线性变换，证明：如果 A在任意一组基下的矩阵都 相同，那么是数乘变换。证 设A在基 1, 2, , n下的矩阵为 A=( aij ) ，只要证明 A为数量矩阵即可。设 X为任一 非退化方阵，且( 1, 2, n)=( 1, 2, , n )X，1则 1, 2,L , n也是 V的一组基，且 A在这组基下的矩阵是 X 1AX ，从而有 AX=XA，这说明 A 与一切非退化矩阵可交换。 若取X1 ，

20、n则由 AX1=X1A知aij =0(i j) ，即得a11a22A=ann再取01000010X2=00011000由 AX2=X2 A，可得a11 a22 ann 。故 A 为数量矩阵，从而 A 为数乘变换。14. 设 1, 2,3, 4 是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为10211213，125522121)求 A 在基1122 4 , 23 2 34, 3 34, 4 2 4 下 的矩阵；2)求 A 的核与值域；3)在 A的核中选一组基 , 把它扩充为 V的一组基 , 并求 A在这组基下的矩阵；4) 在 A的值域中选一组基 , 把它扩充为 V 的一组基 , 并求

21、 A在这组基下的矩阵。 解 1) 由题设 , 知12030000(1, 2, 3, 4)=( 1, 2 , 3, 4 )1 2 3 4 1 2 3 4 01101112故 A在基 1, 2, 3, 4 下的矩阵为23001B=XAX =01101111222332241010=333。81640403331782) 先求 A 1(0). 设A1(0) ，它在在 1,2, 3, 4 下的坐标为(0,0,0,0,)1021x101213x2=01255x3=02212x40因 rank(A)=2 ，故由x12x3x40222，则x1 2x212x3 3x4可求得基础解系为X1= ( 2,4 下的坐

22、标为332,1,0) ,X 2=(1, 2,0,1) 。234)，且 A若令 1 =( 1, 2,3,4 )X 1 ，2=( 1, 2 , 3 ,4)X 2 ，则 1,12即为 A 1(0)的一组基，所以1A 1(0)=L( 1, 2) 。再求 A 的值域AV。因为A 1= 1A 2 =2A 3=2 1A43=4，rank(A)=2，故 A1 ,A3, A 4 的秩也为2，且 A 1 ,A2 线性无关，故 A 1 ,A 2可组成 AV的基，从而 AV=L(A 1 ,A 2) 。4)由 2)知 1, 2是 A 1(0) 的一组基，且知 1, 2, 1, 2是 V的一组基，又故 A在基 1, 2,

23、 1, 2 下的矩阵为易知 A 1, A 2, 3, 4是 V的一组基，且1 0 0 01 2 0 0 (A 1, A 2, 3, 4 )=( 1, 2, 3, 4 )1 2 1 01 2 0 1故 A在基 A 1, A2 , 3,4 下的矩阵为1000110211000120012131200C=1210125512101201221212015221912=2。000000001(1,0,1)1 (1,2,1)2(2,1,0)2 (2,2,1) ，3(1,1,1)3 (2, 1,1)定义线性变换A:1) 写出由基A i= i( i =1,2,3) ，2) 写出在基 1, 2 , 3下的矩阵

24、；3) 写出在基 1, 2, 3 下的矩阵。e3 =(0,0,1) ，则3)=(e1, e2 , e3) 01=( e1,e2 , e3)A ，2331222222 1 =133。2211111522233222 , 3) 1331,22115222, 3 的过度矩阵为所以122(1, 2, 3)=( e1 , e2, e3) 212 1 =( e1, e2 , e3)B=( e1 , e2 , e3)A B，111故由基 1, 2, 3到基 1,11 2 1 11X= A 1B= 0 1 11012)因A( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3 )=(故 A在基 1, 2 , 3下的矩阵为A= 1232124) 因 A(123)=A(3)X=(12