运动的描述匀变速直线运动专题突破一运动学图象追及相遇问题高考物理一轮复习讲义.docx

运动的描述匀变速直线运动专题突破一运动学图象追及相遇问题高考物理一轮复习讲义.docx

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运动的描述匀变速直线运动专题突破一运动学图象追及相遇问题高考物理一轮复习讲义

专题突破一　运动学图象　追及相遇问题

一、运动学图象

1．直线运动的x－t图象

（1）图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律．

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小．

②图线上某点切线斜率的正负表示物体速度的方向．

（3）交点

两图线交点，表示两物体相遇．

2．直线运动的v－t图象

（1）图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体加速度的大小．

②图线上某点切线斜率的正负表示物体加速度的方向．

（3）两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线．

②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．

（4）图象与时间轴围成的面积的意义（如图1）

图1

①图象与时间轴围成的面积表示位移．

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．

（5）交点

两图线交点表示此时两物体速度相同．

自测1

　甲、乙两物体在同一直线上运动，其位移－时间图象如图2所示，由图象可知（　　）

图2

A．甲比乙运动得快

B．乙开始运动时，两物体相距20m

C．在前25s内，两物体距离先增大后减小

D．在前25s内，两物体位移大小相等

答案　C

解析　位移－时间图象的斜率等于速度，斜率越大，速度越大，由题图可知甲比乙运动得慢，故A错误；由题图知：

乙从原点出发，乙开始运动时，甲的位置坐标大于20m，则两物体相距大于20m，故B错误；在0～10s这段时间内，乙静止在原点，甲沿正向做匀速直线运动，则两物体间的距离逐渐增大，在10～25s这段时间内，甲的运动速率小于乙的运动速率，甲在乙的前方，则两者距离逐渐减小，故C正确；在前25s内，甲的位移为x1＝（40－20）m＝20m，乙的位移为x1＝（40－0）m＝40m，故D错误．

自测2

　某同学在开展研究性学习的过程中，利用速度传感器研究某一物体以初速度1m/s做直线运动的速度v随时间t变化的规律，并在计算机上得到了前4s内物体速度随时间变化的关系图象，如图3所示．则下列说法正确的是（　　）

图3

A．物体在第1s末速度方向改变

B．物体在第3s末加速度方向改变

C．前4s内物体的最大位移只出现在第3s末，大小为3.5m

D．物体在第2s末与第4s末的速度相同

答案　C

解析　由题图可知，0～1s内物体沿正方向做匀加速运动，1～3s沿正方向做匀减速运动，在3～4s内反向做匀加速运动，故在第3s末物体的速度为0，位移最大，x＝

×1m＋

×2×2m＝3.5m，第1s末速度方向没有改变，v－t图线的斜率表示加速度，故由题图可知第3s末加速度方向不变，物体在第2s末与第4s末的速度大小相等，方向相反，故A、B、D错误，C正确．

二、追及相遇问题

1．概述

当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．

2．追及问题的两类情况

（1）若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．

（2）若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近．

3．相遇问题的常见情况

（1）同向运动的两物体追及并相遇：

两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离．

（2）相向运动的两物体相遇：

各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离．

自测3

　平直公路上的甲车以10m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则（　　）

A．乙车追上甲车所用的时间为10s

B．乙车追上甲车所用的时间为20s

C．乙车追上甲车时，乙车的速度是15m/s

D．乙车追上甲车时，乙车的速度是10m/s

答案　B

解析　设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲t＝

at2，解得t＝20s，选项A错误，B正确；由v＝at得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20m/s，选项C、D错误.

命题点一　运动学图象的理解和应用

x－t图象与v－t图象的比较

x－t图象

v－t图象

图象举例

意义

倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动

倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动

特别处

两条图线的交点表示相遇

图线与时间轴所围面积表示位移

运动情况

甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动

丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的加速直线运动

位移

0～t1时间内甲、乙位移相等

0～t2时间内丁的位移大于丙的位移

平均速度

0～t1时间内甲、乙平均速度相等

0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度

注意：

（1）x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；

（2）v－t图象不包含起点位置信息，x－t图象中0时刻位移为出发点离0位移点的位移．

（3）分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；

（4）识图方法：

一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．

例1

　（多选）（2018·南师附中5月模拟）如图4所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图象，由此可知质点在0～4s内（　　）

图4

A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动

B．一直做匀变速运动

C．t＝2s时速度一定最大

D．速率为5m/s的时刻有两个

答案　CD

解析　由题图可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A错误；x－t图线的切线斜率表示速度大小，由题图可知图线的切线斜率先增大后减小，说明物体速率先增大后减小，做变速运动，但不能判断是不是做匀变速直线运动，t＝2s时，斜率最大，速度最大，B错误，C正确；因为斜率先增大后减小，并且平均速度的大小为5m/s，故增大过程中有一时刻速度的大小为5m/s，减小过程中有一时刻速度的大小为5m/s，共有两个时刻速度大小为5m/s，D正确．

例2

　一质点位于x＝－1m处，t＝0时刻沿x轴正方向做直线运动，其运动的v－t图象如图5所示．下列说法正确的是（　　）

图5

A．0～2s内和0～4s内，质点的平均速度相同

B．t＝4s时，质点在x＝2m处

C．第3s内和第4s内，质点位移相同

D．第3s内和第4s内，质点加速度的方向相反

答案　B

解析　根据v－t图象中图线与时间轴围成的面积表示位移，在时间轴上方的面积表示位移为正，下方的面积表示位移为负，则知0～2s内和0～4s内，质点的位移相同，但所用时间不同，则平均速度不同，故A错误，0～2s内质点的位移为Δx＝

×（1＋2）×2m＝3m,2～4s内位移为零，则t＝4s时质点的位移是3m，t＝0时质点位于x＝－1m处，则t＝2s和t＝

4s时，质点在x′＝x＋Δx＝2m处，故B正确；第3s内和第4s内，质点位移大小相同，但方向不同，选项C错误；速度－时间图线的斜率表示加速度，第3s内和第4s内图线的斜率一定，加速度是一定的，则知第3s内和第4s内，质点加速度的方向相同，故D错误．

变式1

　（2019·淮安中学期初）下列所给的做直线运动物体的位移－时间图象或速度－时间图象中，不可能正确反映物体从某点开始运动又重新回到初始位置的图象是（　　）

答案　B

变式2

　（2018·无锡市期中）如图6甲所示为一运动员（可视为质点）进行三米板跳水训练的场景，某次跳水过程的v－t图象如图乙所示，t＝0时是其向上起跳的瞬间，则该运动员从跳板弹起能上升的高度最接近（　　）

图6

A．0.38mB．0.80m

C．1.10mD．3.00m

答案　A

解析　设跳水运动员起跳的速度大小为v，上升的最大高度为h.

由v－t图象中图线与时间轴围成的面积表示位移，可知：

－

＝3m

又h＝

，联立解得：

h＝0.375m≈0.38m，故选A.

拓展点　非常规图象

1．几种图象的理解

（1）a－t图象：

由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图7甲所示；

（2）a－x图象：

由v2－v02＝2ax可知图象与横轴所围面积表示

，如图乙所示；

（3）

－t图象：

由x＝v0t＋

at2可得

＝v0＋

at，图象的斜率为

a，如图丙所示．

图7

（4）v2－x图象：

由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.

（5）v－x图象：

由v2－v02＝2ax可得v＝

，图象为曲线．

2．解题技巧

图象反映了两个变量（物理量）之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．

例3

　（2018·苏锡常镇一调）如图8所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度－时间图象，关于物体的运动，下列说法正确的是（　　）

图8

A．物体在t＝6s时，速度为0

B．物体在t＝6s时，速度为18m/s

C．物体运动前6s平均速度为9m/s

D．物体运动前6s位移为18m

答案　B

解析　设物体初速度为v0，因物体从静止开始运动，则v0＝0，根据a－t图象中图线与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，则物体从静止到t＝6s时，速度变化量Δv＝

×6×6m/s＝18m/s，则物体在t＝6s时，速度为v＝v0＋Δv＝0＋18m/s＝18m/s，故B正确，A错误；因物体做变加速运动，无法求解前6s的位移和平均速度，故C、D错误．

变式3

　（多选）一质点以一定的初速度从A点开始向相距8m的B点做直线运动，运动过程中其速度的二次方v2与位移x之间的关系图象如图9所示，下列说法正确的是（　　）

图9

A．质点做加速度增大的变加速运动

B．质点做匀加速运动，其加速度大小为2m/s2

C．质点运动的初速度大小为2m/s

D．质点从A点运动到B点所用的时间为8s

答案　BC

解析　根据v2＝v02＋2ax，代入题图中的数据解得a＝2m/s2，v0＝2m/s，则质点做匀加速直线运动，选项B、C正确，A错误；由题图可知，质点在B点的速度v＝6m/s，质点从A点运动到B点所用的时间为t＝

＝

s＝2s，选项D错误．

变式4

　（多选）（2018·高邮市期初）一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其

－t的图象如图10所示，则（　　）

图10

A．质点做匀速直线运动，速度为0.5m/s

B．质点做匀加速直线运动，加速度为1m/s2

C．质点在第2s末速度为2m/s

D．质点在第2s内的位移为2.5m

答案　BD

解析　由题图得：

＝1＋0.5t.根据x＝v0t＋

at2，得：

＝v0＋

at，对比可得：

v0＝1m/s，

a＝0.5m/s2，则加速度为a＝2×0.5m/s2＝1m/s2，质点的加速度不变，说明质点做匀加速直线运动，故A错误，B正确；质点的初速度v0＝1m/s，在第2s末速度为v＝v0＋at＝1m/s＋1×2m/s＝3m/s，故C错误；质点做匀加速直线运动，在第2s内的位移大小为x＝v0t2＋

at22－v0t1－

at12＝2.5m，故D正确．

命题点二　追及相遇问题

1．两个类型

（1）“慢追快”型（匀加速追匀速、匀速追匀减速、匀加速追匀减速）：

两者间距先增加，速度相等时达到最大，后逐渐减小，相遇一次，追匀减速运动的物体时要注意判断追上时是否已停下．

（2）“快追慢”型（匀减速追匀速、匀速追匀加速、匀减速追匀加速）：

两者间距先减小，速度相等时相距最近，此时追上是“恰好不相撞”，此时还没追上就追不上了．若在此之前追上，则此后还会相遇一次．

2．解题思路

（1）分析思路：

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．

①一个临界条件：

速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

②两个等量关系：

时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

（2）能否追上的判断方法．

物体B追赶物体A：

开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上．

（3）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．

例4

　（2019·淮安中学期初）甲、乙两物体同时从同一地点沿同一直线朝同一方向运动，它们的位移随时间变化的关系式分别为x甲＝20t，x乙＝10t＋t2（所有物理量均取国际单位制单位）．求：

（1）乙的初速度和加速度分别多大；

（2）乙经过多长时间追上甲；

（3）乙追上甲前，甲、乙间的最大距离是多少．

答案　

（1）10m/s　2m/s2　

（2）10s　（3）25m

解析　

（1）由x甲＝20t，x乙＝10t＋t2知

v0甲＝20m/s，甲做匀速直线运动，v0乙＝10m/s，a乙＝2m/s2

（2）乙追上甲时，有x甲＝x乙，

即20t＝10t＋t2

解得t＝10s（t＝0舍去）

（3）乙追上甲前，v甲＝v乙时，两者之间距离最大，设最大距离为d，时间为t1，则v0甲＝v0乙＋a乙t1

解得t1＝5s

d＝20t1－（10t1＋t12）＝25m.

变式5

　（2019·田家炳中学期初）在同一水平面上有A、B两物体，相距s＝7m，A在后B在前，A以vA＝4m/s向右做匀速直线运动，此时B的瞬时速度为vB＝10m/s，方向也向右，且以大小为2m/s2的加速度做匀减速直线运动．从此位置开始计时，A追上B所需时间为（　　）

A．6sB．8sC．9sD．10s

答案　B

解析　B从开始运动至速度减为0，运动的位移为xB＝

＝25m，所需时间为tB＝

＝5s，此时A的位移xA＝vAtB＝20m＜xB＋s，所以A追上B所需时间为t＝

＝

s＝

8s，B正确．

变式6

　甲、乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图11所示，则（　　）

图11

A．乙比甲运动得快

B．t＝2s时，乙追上甲

C．0～4s，甲的平均速度大于乙的平均速度

D．乙追上甲时距出发点40m远

答案　D

解析　2s前甲运动得快，2s时甲、乙速度相等，2s后乙运动得快，故选项A错误；在v－t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，t＝2s时，甲、乙速度相等，甲的位移大于乙，乙没有追上甲，选项B错误；由题图可知t＝4s时乙追上甲，此时甲、乙距出发点10×4m＝40m，选项D正确；由

＝

知，0～4s甲与乙的平均速度相等，选项C错误．

1．（2018·常熟市期中）如图12所示是某物体做直线运动的v－t图象，则该物体（　　）

图12

A．做匀速直线运动

B．做匀加速直线运动

C．一直朝某一方向运动

D．在某一线段上做两个来回运动

答案　C

解析　由题图可知，在整个运动过程中，物体的速度一直为正值，表示运动方向不变，一直朝某一方向运动，先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，然后重复之前的运动，故C正确，A、B、D错误．

2．（2018·镇江市模拟）甲、乙、丙、丁四辆小车从同一地点向同一方向运动的图象如图13所示，下列说法正确的是（　　）

图13

A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动

B.在0～t1时间内，甲车平均速度小于乙车平均速度

C.在0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远

D.在0～t2时间内，丙、丁两车加速度总是不相同的

答案　C

3.（多选）（2018·无锡市高三期末）宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度（jerk）的概念．加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同．一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图14.下列说法正确的是（　　）

图14

A．t＝1s时急动度是0.5m/s3

B．t＝3s时的急动度和t＝5s时的急动度等大反向

C．2～4s内的质点做减速运动

D．0～6s内质点速度方向不变

答案　AD

4．（2018·阜宁中学调研）一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图15所示．取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是（　　）

图15

答案　C

5.（多选）（2019·淮安中学期初）甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，在描述两车运动的v－t图象中（如图16所示），直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．在这20s内，关于两车运动，下列说法正确的是（　　）

图16

A．在0～10s内乙车位移大小为75m

B．在t＝10s时两车之间距离最大

C．在t＝20s时两车在公路上相遇

D．若以两车之间的距离d与运动时间t为坐标轴建立坐标系，图象为抛物线的一部分

答案　AD

6．（2016·江苏单科·5）小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（　　）

答案　A

解析　由运动学公式可得小球与地面碰撞后上升过程中的速度v与位置x的关系为v＝

，从最高点下落时二者的关系为v＝－

，对比图象可知A项正确．

1．一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图1所示．质点在t＝0时位于x＝5m处，开始沿x轴正向运动．当t＝8s时，质点在x轴上的位置为（　　）

图1

A．x＝3mB．x＝8m

C．x＝9mD．x＝14m

答案　B

解析　由题图知，质点在8s内的位移Δx＝

×（2＋4）×2m－

×（2＋4）×1m＝3m．t＝0时，质点位于x＝5m处，故第8s末质点位置x＝5m＋Δx＝8m，B正确．

2.A、B两个物体在同一直线上运动，速度－时间图象如图2所示，下列说法正确的是（　　）

图2

A．A、B运动方向相反

B．0～4s内，A、B的位移相同

C．t＝4s时，A、B的速度相同

D．A的加速度比B的加速度大

答案　C

解析　由题图可知，A、B两物体的速度都是正值，说明其方向是相同的，选项A错误；因为速度－时间图象中，图线与时间轴所围成的面积表示位移的大小，所以0～4s内，A、B的位移不相同，B的位移大于A的位移，选项B错误；在t＝4s时，两图象相交于一点，说明此时A、B的速度相同，选项C正确；经计算可知，A的加速度大小为

m/s2，B的加速度大小也为

m/s2，所以它们的加速度大小相等，选项D错误．

3.（2018·淮安中学期中）某军事试验场正在水平地面上试射地对空导弹，若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹的v－t图象如图3所示，则下列说法中正确的是（　　）

图3

A．0～1s内导弹匀速上升

B．1～2s内导弹静止不动

C．3s末导弹上升到最高点

D．前5s内导弹的平均速度为－30m/s

答案　C

4.（多选）（2019·宝应中学模拟）在研究小车做匀变速直线运动时，小明同学把纸带每隔0.1s剪断，得到若干短纸条，再将这些纸条并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐作为时间轴，最后将纸条上端中心点连起来，如图4所示．下列说法中正确的是（　　）

图4

A．直线的斜率表示小车的速度大小

B．直线的斜率表示小车的加速度大小

C．每条纸带上端中心纵坐标等于对应的0.1s内小车位移大小

D．上端中心点连起来的直线表示小车位移与时间的关系

答案　BC

解析　因为剪断的纸带所用的时间都是t＝0.1s，即时间t相等，所以纸带的长度之比等于此段纸带的平均速度之比，而此段纸带的平均速度等于这段纸带中间时刻的速度，故纸带的高度之比等于中间时刻速度之比．速度—时间图象中直线的斜率表示加速度大小，故选B、C.

5.（多选）（2018·前黄中学质检）在某次军事演习中，空降兵从悬停在高空的直升机上跳下，当下落到距离地面适当高度时打开降落伞，最终安全到达地面，空降兵从跳离飞机到安全到达地面过程中在竖直方向上运动的v－t图象如图5所示，则以下判断中正确的是（　　）

图5

A．空降兵在0～t1时间内做自由落体运动

B．空降兵在t1～t2时间内的加速度方向竖直向上，大小先逐渐减小

C．空降兵在0～t1时间内的平均速度

＝

v2

D．空降兵在t1～t2时间内的平均速度

′<

（v1＋v2）

答案　BD

解析　若空降兵做自由落体运动，其v－t图象是斜直线，而题图中0～t1时间内是曲线，选项A错误；在t1～t2时间内，空降兵的速度向下，加速度的方向竖直向上，在v－t图象中，图线的斜率的绝对值大小等于空降兵运动的加速度大小，斜率的绝对值先逐渐减小，后不变，加速度先逐渐减小，后不变，选项B正确；在v－t图象中图线与坐标轴围成的面积大小等于空降兵的位移大小，若在0～t1时间内空降兵做匀变速直线运动，在此段时间内平均速度为

v2，其对应的位移比实际运动对应的位移小，故空降兵在0～t1时间内的平均速度

>

v2，选项C错误；若在t1～t2时间内空降兵做匀变速直线运动，在此段时间内平均速度为

（v1＋v2），其对应的位移比实际运动对应的位移大，故空降兵在t1～t2时间内的平均速度

′<

（v1＋v2），选项D正确．

6．某同学绘出了沿直线运动的物体的位移x、速度v、加速度a随时间t变化的图象如图所示，若该物体在t＝0时刻初速度为零，则下列图象中该物体在0～4s内位移一定不为零的是（　　）

答案　C

7.（2018·南师附中模拟）质点做直线运动的位移x和时间平方t2的关系图象如图6所示，则该质点（　　）

图6

A．加速度大小为1m/s2

B．任意相邻1s内的位移差都为2m

C．第2s内的位移为2m

D．第3s内的平均速度大小为3m/s

答案　B

8．（2018·第二次全国大联考（江苏卷））某物体在竖直方向上运动，规定竖直向下为正方向，其v－t图象如图7所示．由此可知（　　）

图7

A．t＝0.5s时刚好到达最高点

B．t＝0.9s时刚好触地

C．前0.9s内通过的路程为0.45m

D．前0.9s内的平均速度大小为0.5m/s

答案　D

解析　根据题图可知，t＝0.5s时速度最大，刚好触地，选项A错误；t＝0.9s时速度为零，应到达最高点，选项B错误；根据图线与横轴所包围的面积表示位移的大小可得，前0.9s内通过的路程为

m＋

m＝2.05m，选项C错误；前0.9s内的位移为

m－

m＝0.45m，故平均速度大小为0.5m/s，选项D正确．

9．（多选）（2018·南京市期中）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图8所示．已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

图8

A．在t＝1s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝1s

D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案　BCD

10.（多选）如图9，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间（x－t）图线，由图可知（　　）

图9

A．在时刻