解：
设该封闭容器内气体压强为，则，显然，而，显然。
（c）
【2.6】用Ｕ形水银压差计测量水管内Ａ、Ｂ两点的压强差，水银面高度hp＝10cm，
pA-pB为：
（）13.33kPa；（b）12.35kPa；（c）9.8kPa；（d）6.4kPa。
解：
由于
故。
（b）
【2.7】在液体中潜体所受浮力的大小：
（）与潜体的密度成正比；（b）与液体的密度成正比；（c）与潜体的淹没深度成正比；（d）与液体表面的压强成反比。
解：
根据阿基米德原理，浮力的大小等于该物体所排开液体的重量，故浮力的大小与液体的密度成正比。
（b）
【2.8】静止流场中的压强分布规律：
（）仅适用于不可压缩流体；（b）仅适用于理想流体；（c）仅适用于粘性流体；（d）既适用于理想流体，也适用于粘性流体。
解：
由于静止流场均可作为理想流体，因此其压强分布规律既适用于理想流体，也适用于粘性流体。
（d）
【2.9】静水中斜置平面壁的形心淹深与压力中心淹深的关系为：
（）大于；（b）等于；（c）小于；（d）无规律。
解：
由于平壁上的压强随着水深的增加而增加，因此压力中心淹深hD要比平壁形心淹深大。
（c）
【2.10】流体处于平衡状态的必要条件是：
（）流体无粘性；（b）流体粘度大；（c）质量力有势；（d）流体正压。
解：
流体处于平衡状态的必要条件是质量力有势（c）
【2.11】液体在重力场中作加速直线运动时，其自由面与处处正交：
（）重力；（b）惯性力；（c）重力和惯性力的合力；（d）压力。
解：
由于流体作加速直线运动时，质量力除了重力外还有惯性力，由于质量力与等压面是正交的，很显然答案是（c）
计算题：
【2.12】试决定图示装置中A、B两点间的压强差。
已知h1=500mm，h2=200mm，h3=150mm，h4=250mm，h5=400mm，酒精γ1=7848N/m3，水银γ2=133400N/m3，水γ3=9810N/m3。
解：
由于
而
因此
即
【2.13】试对下列两种情况求A液体中M点处的压强（见图）：
（1）A液体是水，B液体是水银，y=60cm，z=30cm；
（2）A液体是比重为0.8的油，B液体是比重为1.25的氯化钙溶液，y=80cm，z=20cm。
解
（1）由于
而
（2）
【2.14】在斜管微压计中，加压后无水酒精（比重为0.793）的液面较未加压时的液面变化为y=12cm。
试求所加的压强p为多大。
设容器及斜管的断面分别为A和，，。
解：
加压后容器的液面下降
则
【2.15】设U形管绕通过AB的垂直轴等速旋转，试求当AB管的水银恰好下降到A点时的转速。
解：
U形管左边流体质点受质量力为
惯性力为，重力为
在坐标系中，等压面的方程为
两边积分得
根据题意，时故
因此等压面方程为
U形管左端自由液面坐标为
，
代入上式
故
【2.16】在半径为的空心球形容器内充满密度为ρ的液体。
当这个容器以匀角速ω绕垂直轴旋转时，试求球壁上最大压强点的位置。
解：
建立坐标系如图，由于球体的轴对称，故仅考虑平面
球壁上流体任一点的质量力为
；
因此
两边积分得
在球形容器壁上；
代入上式，得壁上任一点的压强为
使压强有极值，则
即
由于故即最大压强点在球中心的下方。
讨论：
当或者时，最大压强点在球中心以下的
位置上。
当或者时，最大压强点在，即球形
容器的最低点。
【2.17】如图所示，底面积为的方口容器，自重G=40N，静止时装水高度h=0.15m，设容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f=0.3，试求保证水不能溢出的容器最小高度。
解：
先求容器的加速度
设绳子的张力为
则（）
（）
故解得
代入数据得
在容器中建立坐标如图。
（原点在水面的中心点）
质量力为
由
两边积分
当处故
自由液面方程为（）
且当满足方程
代入（）式得
【2.18】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R=2m，容器内充满水，顶盖上距中心为处开一个小孔通大气。
容器绕其主轴作等角速度旋转。
试问当为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。
解：
如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容器内流体的压强分布为
当时，按题意
故
分布为
在顶盖的下表面，由于，压强为
要使顶盖所受水的总压力为零
即
积分上式
解得
【2.19】矩形闸门AB宽为1.0m，左侧油深h1=1m，水深h2=2m，油的比重为0.795，闸门倾角α=60º，试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。
解：
设油，水在闸门AB上的分界点为E，则油和水在闸门上静压力分布如图所示。
现将压力图F分解成三部分，，，而，
其中
油
水
故总压力
设总压力作用在闸门AB上的作用点为D，实质是求水压力图的形状中心离开A点的距离。
由合力矩定理，
故
或者
【2.20】一平板闸门，高H=1m，支撑点O距地面的高度=0.4m，问当左侧水深h增至多大时，闸门才会绕O点自动打开。
解：
当水深h增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点D也在提高，当该作用点在转轴中心O处上方时，才能使闸门打开。
本题就是求当水深h为多大，水压力作用点恰好位于O点处。
本题采用两种方法求解
（1）解析法：
由公式
其中
代入
或者
解得
（2）图解法：
设闸门上缘A点的压强为，下缘B点的压强为，
则
静水总压力F（作用在单位宽度闸门上）
其中
的作用点在O处时，对B点取矩
故
或者
解得
【2.21】如图所示，箱内充满液体，活动侧壁OA可以绕O点自由转动，若要使活动侧壁恰好能贴紧箱体，U形管的h应为多少。
解：
测压点B处的压强
则A处的压强
即
设E点处，则E点的位置在
故
设负压总压力为，正压总压力为（单位宽度侧壁）
即大小
以上两总压力对点力矩之和应等于0,即
即
展开整理后得
【2.22】有一矩形平板闸门，水压力经过闸门的面板传到3条水平梁上，为了使各横梁的负荷相等，试问应分别将它们置于距自由表面多深的地方。
已知闸门高为4m，宽6m，水深H=3m。
解：
按题意，解答显然与闸门宽度b无关，因此在实际计算中只需按单位宽度计算即可。
作用在闸门上的静水压力呈三角形分布，将此压力图面积均匀地分成三块，而且此三块面积的形心位置恰巧就在这三条水平梁上，那么这就是问题的解。
的面积
的面积
故
的面积
故
要求梯形CDFE的形心位置y2，可对点取矩
故
同理梯形ABDC的形心位置y3为
故
【2.23】一直径D=0.4m的盛水容器悬于直径为D1=0.2m的柱塞上。
容器自重G=490N，=0.3m。
如不计容器与柱塞间的摩擦，试求：
（1）为保持容器不致下落，容器内真空压强应为多大。
（2）柱塞浸没深度h对计算结果有无影响。
解：
（1）本题只要考虑盛水容器受力平衡的问题。
设容器内自由液面处的压强为p（实质上为负压），则柱塞下端的压强为
由于容器上顶被柱塞贯穿，容器周围是大气压，故容器上顶和下底的压力差为（方向↑，实际上为吸力）
要求容器不致下落，因此以上吸力必须与容器的自重及水的重量相平衡
即
或者
即
（真空压强）
（2）从以上计算中可知，若能保持不变，则柱塞浸没深度h对计算结果无影响。
若随着h的增大，导致的增大，则从公
式可知容器内的真空压强p也将增大。
【2.24】如图所示一储水容器，容器壁上装有3个直径为d=0.5m的半球形盖，设h=2.0m，H=2.5m，试求作用在每个球盖上的静水压力。
解：
对于盖，其压力体体积为
（方向↑）
对于b盖，其压力体体积为
（方向↓）
对于盖，静水压力可分解成水平及铅重两个分力，其中
水平方向分力（方向←）
铅重方向分力（方向↓）
【2.25】在图示铸框中铸造半径R=50cm，长L=120cm及厚b=2cm的半圆柱形铸件。
设铸模浇口中的铁水（γFe=70630N/m3）面高H=90cm，浇口尺寸为d1=10cm，d2=3cm，h=8cm，铸框连同砂土的重量G0=4.0t，试问为克服铁水液压力的作用铸框上还需加多大重量G。
解：
在铸框上所需加压铁的重量和铸框连同砂土的重量之和应等于铁水对铸模铅垂方向的压力。
铁水对铸模的作用力（铅垂方向）为其中为
（方向↑）
需加压铁重量
【2.26】容器底部圆孔用一锥形塞子塞住，如图H=4r，h=3r，若将重度为γ1的锥形塞提起需力多大（容器内液体的重度为γ）。
解：
塞子上顶所受静水压力
（方向↓）
塞子侧面所受铅垂方向压力
其中
（方向↑）
塞子自重（方向↓）
故若要提起塞子，所需的力F为
注.圆台体积，
其中h一圆台高，r,R—上下底半径。
【2.27】如图所示，一个漏斗倒扣在桌面上，已知h=120mm，d=140mm，自重G=20N。
试求充水高度H为多少时，水压力将把漏斗举起而引起水从漏斗口与桌面的间隙泄出。
解：
当漏斗受到水压力和重力相等时，此时为临界状态。
水压力（向上）
故
代入数据
解得
【2.28】一长为20m，宽10m，深5m的平底船，当它浮在淡水上时的吃水为3m，又其重心在对称轴上距船底0.2m的高度处。
试求该船的初稳心高及横倾
8º时的复原力矩。
解：
设船之长，宽，吃水分别为L,B,T则水线面惯性矩（取小值）
排水体积
由公式初稳心高
（浮心在重心之上）
复原力矩
【2.29】密度为ρ1的圆锥体，其轴线铅垂方向，顶点向下，试研究它浮在液面上时的稳定性（设圆锥体中心角为2θ）。
解：
圆锥体重量
流体浮力
当圆锥正浮时
即（）
圆锥体重心为G，则
浮心为C，则
稳心为M
圆锥水线面惯性矩
初稳性高度
圆锥体能保持稳定平衡的条件是
故须有，，
或者（）
将（）式代入（）式得
或者
因此当时圆锥体是稳定平衡
当时圆锥体是随偶平衡
当时圆锥体是不稳定平衡
【2.30】某空载船由内河出海时，吃水减少了20cm，接着在港口装了一些货物，吃水增加了15cm。
设最初船的空载排水量为1000t，问该船在港口装了多少货物。
设吃水线附近船的侧面为直壁，设海水的密度为ρ=1026kg/m3。
解：
由于船的最初排水量为，即它的排水体积为，
它未装货时，在海水中的排水体积为
，
按题意，在吃水线附近穿的侧壁为直壁，则吃水线附近的水线面积为
因此载货量
【2.31】一个均质圆柱体，高H，底半径R,圆柱体的材料密度为600kg/m3。
（1）将圆柱体直立地浮于水面，当R/H大于多少时，浮体才是稳定的？
（2）将圆柱体横浮于水面，当R/H小于多少时，浮体是稳定的？
解：
（1）当圆柱直立时，浸没在水中的高度设为h，如图（）所示
则
即
式中为水的密度，为圆柱体的密度
式中G为圆柱体重心，C浮心，C在G下方
初稳心半径CM为
其中
（即圆面积对某直径的惯性矩）
得
当，浮体是稳定的
即
整理得
（2）当圆柱体横浮于水面时，设被淹的圆柱截面积为A，
深度为h，如图（b）所示。
则
即（a）
或者（b）
将（a）（b）代入数据得
应用迭代法（见附录）解得
该圆截面的圆心就是圆柱体的重心G，浮心C位置为
式中，
得
故
由于浮面有两条对称轴，，面积惯性矩分别为
，
式中
因而初稳心半径分别为及
其中
当浮体稳定时，应满足
得
不等式恒满足
因此使圆柱体横浮时稳定应满足
，或者
第3章流体运动学
选择题：
【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度等于：
（）；（）；（）；（）。
解：
用欧拉法表示的流体质点的加速度为（d）
【3.2】恒定流是：
（）流动随时间按一定规律变化；（）各空间点上的运动要素不随时间变化；（）各过流断面的速度分布相同；（）迁移加速度为零。
解：
恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动.（b）
【3.3】一元流动限于：
（）流线是直线；（）速度分布按直线变化；（）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（）运动参数不随时间变化的流动。
解：
一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）
【3.4】均匀流是：
（）当地加速度为零；（）迁移加速度为零；（）向心加速度为零；（）合加速度为零。
解：
按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）
【3.5】无旋运动限于：
（）流线是直线的流动；（）迹线是直线的流动；（）微团无旋转的流动；（）恒定流动。
解：
无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d）
【3.6】变直径管，直径，，流速。
为：
（）；（）；（）；（）。
解：
按连续性方程，，故
（c）
【3.7】平面流动具有流函数的条件是：
（）理想流体；（）无旋流动；（）具有流速势；（）满足连续性。
解：
平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d）
【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：
（）等于零；（）等于常数；（）随时间变化而变化；（）与时间无关。
解：
所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。
（）
【3.9】在流动中，流线和迹线重合：
（）无旋；（）有旋；（）恒定；（）非恒定。
解：
对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。
（）
【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项运动：
（）平移；（）旋转；（）变形；（）加速。
解：
流体微团的运动由以下三种运动：
平移、旋转、变形迭加而成。
而刚体是不变形的物体。
（）
【3.11】一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件是：
（）理想流体；（）粘性流体；（）可压缩流体；（）不可压缩流体。
解：
一维流动的连续方程成立的条件是不可压缩流体，倘若是可压缩流体，则连续方程为（）
【3.12】流线与流线，在通常情况下：
（）能相交，也能相切；（）仅能相交，
但不能相切；（）仅能相切，但不能相交；（）既不能相交，也不能相切。
解：
流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。
（）
【3.13】欧拉法描述流体质点的运动：
（）直接；（）间接；（）不能；
（）只在恒定时能。
解：
欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。
而拉格朗日法（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量（）
【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：
（）一定重合；（）一定不重合；（）
特殊情况下可能重合；（）一定正交。
解：
对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。
（）
【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：
（）理想流体；（）粘性流体；（）可压缩流体；（）不可压缩流体。
解：
这道题的解释同3.11题一样的。
（）
【3.16】速度势函数存在于流动中：
（）不可压缩流体；（）平面连续；（）所有无旋；（）任意平面。
解：
速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）（）
【3.17】流体作无旋运动的特征是：
（）所有流线都是直线；（）所有迹线都
是直线；（）任意流体元的角变形为零；（）任意一点的涡量都为零。
解：
流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。
（）
【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：
（）两维不可压缩连续运动；（）两维不可压缩连续且无旋运动；（）三维不可压缩连续运动；（）三维不可压缩连续运动。
解：
流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。
（）
计算题
【3.19】设流体质点的轨迹方程为
其中C1、C2、C3为常数。
试求
（1）t=0时位于，，处的流体质点的轨迹方程；
（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler法表示上面流动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和用Lagrange法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，两者结果是否相同。
解：
（1）以，，，代入轨迹方程，得
故得
当时位于流体质点的轨迹方程为
（）
（2）求任意质点的速度（）
（3）若用Euler法表示该速度场
由（）式解出；
即（）（）式对t求导并将（）式代入得
（）
（4）用Euler法求加速度场
由（）式Lagrange法求加速度场为
（）
将（）式代入（）式得
两种结果完全相同
【3.20】已知流场中的速度分布为
（1）试问此流动是否恒定。
（2）求流体质点在通过场中（1,1,1）点时的
加速度。
解：
（1）由于速度场与时间t有关，该流动为非恒定流动。
（2）
将代入上式，得
【3.21】一流动的速度场为
试确定在t=1时通过（2,1）点的轨迹线方程和流线方程。
解：
迹线微
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