高中数学知识点总结最全版.docx
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高中数学知识点总结最全版
数学知识点总结
引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：
集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：
算法初步、统计、概率。
必修4：
基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：
系列1：
由2个模块组成。
选修1—1：
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：
统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：
由3个模块组成。
选修2—1：
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：
导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：
计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列3：
由6个专题组成。
选修3—1：
数学史选讲。
选修3—2：
信息安全与密码。
选修3—3：
球面上的几何。
选修3—4：
对称与群。
选修3—5：
欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：
三等分角与数域扩充。
系列4：
由10个专题组成。
选修4—1：
几何证明选讲。
选修4—2：
矩阵与变换。
选修4—3：
数列与差分。
选修4—4：
坐标系与参数方程。
选修4—5：
不等式选讲。
选修4—6：
初等数论初步。
选修4—7：
优选法与试验设计初步。
选修4—8：
统筹法与图论初步。
选修4—9：
风险与决策。
选修4—10：
开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：
函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
难点：
函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:
集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：
映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：
数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：
有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：
有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：
概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：
直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：
椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：
空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：
排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：
概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：
导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：
复数的概念与运算
高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.
3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.
4）集合的表示法①自然语言法：
用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：
{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
4图示法：
用数轴或韦恩图来表示集合.
5）集合的分类
1含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（）.
【1.1.2】集合间的基本关系
6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或
A中的任一元素都
属于B
（1）AA
（2）
（3）若且，则
（4）若且，则
或
真子集
B
AB
（或
A）
，且B中至少有一元素不属于
A
（1）（A为非空子集）
（2）若且，则
集合相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
（1）A
（2）B
BA
7）已知集合
有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有
个非空子集，它有
非空真子集
1.1.3】集合的基本运算
8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
且
交集
或
并集
1
补集
1）
2）
3）
1）
2）
3）
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一个整体，化成，
型不等式来求解
2）一元二次不等式的解法
1）含绝对值的不等式的解法
判别式
二次函数
的图象
无实根
其中
的根
元二次方程
的解集
的解集
〖1.2〗函数及其表示
1.2.1】函数的概念
1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
，对于集合中任何一个数有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合合到的一个函数，记作．②函数的三要素:
定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做开区间，记做间，分别记做
，在集合中都
，以及到的对应法则）叫做集
；满足
，；满足
的实数的集合叫做闭区间，
，或
记做；满足的实数的集合叫做半开半闭区的实数的集合分别记做
注意：
对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．
3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
1是整式时，定义域是全体实数．
2是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
3是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
4对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
5中，．
6零（负）指数幂的底数不能为零．
7若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
8对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：
若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
9对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
1观察法：
对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：
若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：
利用基本不等式确定函数的值域或最值．
5换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
6反函数法：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：
就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
6）映射的概念
1设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．
2给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
1）函数的单调性①定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
函数的单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．＜．x．2．时，都有f．（．x．1．）．＜．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是增．函．数．．
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．＜．x．2．时，都有f．（．x．1．）．＞．f（．x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是减．函．数．．
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数
2）
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增
【1.3.2】奇偶性
4）函数的奇偶性①定义及判定方法
2若函数为奇函数，且在处有定义，则．
3奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
4在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
1）作图利用描点法作图：
①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
③对称变换
2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章基本初等函数（Ⅰ）
〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
1如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
2式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
3根式的性质：
；当为奇数时，；当为偶数时，
2）分数指数幂的概念
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，
．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，
越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
2.2.1】对数与对数运算
2
①加法：
减法：
3数乘：
⑥换底公式：
2.2.2】对数函数及其性质
5）对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数
且
叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点
，即当
时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
图象的影响变化对
在第
一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
（6）反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
（7）反函数的求法
1确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；
3将改写成，并注明反函数的定义域．
8）反函数的性质
1原函数与反函数的图象关于直线对称．
2函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
3若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
4一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
3）幂函数的性质
1图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2过定点：
所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
3单调性：
如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
4
奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，
1已知三个点坐标时，宜用一般式．
2已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
3若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．
4
3）二次函数图象的性质
；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当
统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理
二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下
四个方面来分析此类问题：
①开口方向：
②对称轴位置：
③判别式：
④端点函数值符号．
①k2x1≤x23x1④k15有且仅有一个根x1（或x2）满足k1f（k2）=0这两种情况是否也符合
⑥k15）二次函数在闭区间上的最值
设在区间上的最大值为，最小值为，令．
（Ⅰ）当时（开口向上）
①若，则②若，则③若，则
的零点：
的实数根；
○1（代数法）求方程
的图象联系起来，并利用函数
○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有
１）△＞０，方程两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，
次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
高中数学必修2知识点
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：
用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：
用各顶点字母，如五棱台
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
1三视图：
正视图：
从前往后侧视图：
从左往右俯视图：
从上往下
2画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：
斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：
各个面面积之和
4圆台的表面积5球的表面积
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积2锥体的体积
3台体的体积4球体的体积
a⊥b；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
4两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
5计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点指出：
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：
线线平行，则线面平行。
符号表示：
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
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