高中数学知识点总结最全版.docx

1、高中数学知识点总结最全版数 学 知 识 点 总 结引言1. 课程内容：必修课程由 5个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函 数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基 础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做

2、过高 的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类

3、。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 4 2：矩阵与变换。选修 4 3：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 4 9：风险与决策。选修 4 10：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点： 函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点： 函数、圆锥曲线高考相关考点： 集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图

4、象、指 数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三 角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式 的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线 的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱

5、、棱锥、球、空间向 量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算高中数学 必修 1 知识点第一章 集合与函数概念1.1 集合【 1.1.1 】集合的含义与表示1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 .2）常用数集及其记法 表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集 .3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一 .4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一

6、一列举出来，写在大括号内表示集合 . 描述法： | 具有的性质 ，其中 为集合的代表元素 .4图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .5）集合的分类1含有有限个元素的集合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集 . 不含有任何元素的集合叫 做空集 （ ）.【 1.1.2 】集合间的基本关系6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)(3) 若 且 ，则(4) 若 且 ，则或真子集BAB（或A），且 B 中至 少有一元素不属于A（ 1） （ A 为非空子集）（2） 若 且 ，则集合 相等A 中的任一元素都 属于 B， B 中的任 一元素都

7、属于 A(1)A(2)BB A7）已知集合有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集， 它有个非空子集，它有非空真子集1.1.3 】集合的基本运算8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图且交集或并集1补集1）2）3）1）2）3）【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法不等式解集或把 看成一个 整体， 化成 ，型不等式来求解2）一元二次不等式的解法1）含绝对值的不等式的解法判别式二次函数的图象无实根其中的根元二次方程的解集的解集 1.2 函数及其表示1.2.1 】函数的概念1）函数的概念设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合 中任何一个数 有唯一确定的数 和它对应，

8、那么这样的对应（包括集合 合 到 的一个函数，记作 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数2）区间的概念及表示法设 是两个实数， 且 ，满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 间，分别记做，在集合 中都， 以及 到 的对应法则 ）叫做集；满足， ； 满 足的实数 的集合叫做闭区间，或记做 ；满足 的实数 的集合叫做半开半闭区 的 实 数 的 集 合 分 别 记 做注意： 对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立） 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1是整式时，定义域是全体实数2

9、是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数3是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合4对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 15中， 6零（负）指数幂的底数不能为零7若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定 义域的交集8对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定 义域应由不等式 解出9对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义4）求函数的值域或最值 求函数最

10、值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最 小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问 的角度不同求函数值域与最值的常用方法：1观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值 域或最值判别式法： 若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ， 则在 时，由于 为实数， 故必须有 ，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值5换元法： 通过变量代换达到化繁为简、 化难为易的目

11、的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角 函数的最值问题6反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系6）映射的概念1设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有唯一 的元素和它对应，那么这样的对应（包括集

12、合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映 射，记作 2给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做 元素 的象，元素 叫做元素 的原象 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值1）函数的单调性 定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 、x2, 当 x1 x2时，都有 f（x1）f（x2）， 那么就说 f（x） 在这个区 间上是 增函数（1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数如果对

13、于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2 ，当 x1 x2时，都有 f（x 1）f（x2）， 那么就说 f（x） 在这个区 间上是 减函数（1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数2）在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增【 1.3.2 】奇偶性4）函数的奇偶性 定义及判定方法2若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 3奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反4在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍

14、是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇 函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等 函数的图象对称变换2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数

15、量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获 得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数 （ ）2.1 指数函数 【 2.1.1 】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念1如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， 的 次方 根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表 示； 0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根2式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实数；当 为 偶数时， 3根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时，2）分数指数幂的概念定义域值域过定点图象过定点 ，即当

16、 时，奇偶性非奇非偶单调性在 上是增函数在 上是减函数函数值的 变化情况变化对 图 象的影响在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 2.2 对数函数2.2.1 】对数与对数运算2加法：减法：3数乘：换底公式：2.2.2 】对数函数及其性质5）对数函数函数 名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时， 奇偶性非奇非偶单调性在 上是增函数在 上是减函数函数值的 变化情况图象的影响 变化对在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高 （6） 反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 如果对于 在 中的任何一

17、个值， 通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 （7）反函数的求法1确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；3将 改写成 ，并注明反函数的定义域8）反函数的性质1原函数 与反函数 的图象关于直线 对称2函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域3若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上4一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数3）幂函数的性质1图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象

18、限无图象 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、 二象限 （图象关于 轴对称 ）；是奇函数时， 图象分布在第一、 三象限 （图象关于原点对称 ）；是非奇非偶函数时， 图象只分布在第一象限 2过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 3单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂函数的图象 在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴4奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互质，1已知三个点坐标时，宜用一般式2已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式3若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐

19、标已知时，选用两根式求 更方便43）二次函数图象的性质；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程 的两实根为 ，且 令 ，从以下四个方面来分析此类问题： 开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号kx1 x22x1x2k3x1k x2 af(k)0k1x1 x2k25有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2） k2 f（ k1）f（k2） 0，并同时考虑 f（ k1）=0 或f（ k2）=0 这两种情况是否也符合k1x1 k2

20、p1x2p2 此结论可直接由推出5）二次函数 在闭区间 上的最值设 在区间 上的 最大值为 ，最小值为 ，令 （）当 时（开口向上）若 ，则 若 ，则 若 ，则的零点：的实数根；1 （代数法）求方程的图象联系起来，并利用函数2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有），方程 两个零点），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一个交点，次函数有一个二重零点或二阶零点），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点高中数学 必修 2 知识点第一章 空间几何体

21、1.1 柱、锥、台、球的结构特征（ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底 面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母

22、，如五棱锥几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的 比的平方。（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴

23、 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐

24、标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤： （ 1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和4 圆台的表面积 5 球的表面积 （二）空间几何体的体积1 柱体的体积 2 锥体的体积3 台体的体积 4 球体的体积ab； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作4两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；5计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成

25、的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。