等比数列知识点总结及练习含答案.docx
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等比数列知识点总结及练习含答案
等比数列
1、等比数列的定义:
an
an1
qqo
n2,且n
N,q称为公比
2、
通项公式：
n1
anag
a〔n
-q
ABna1q
0,AB
0，首项：
a1；公比：
q
q
推广：
anamqnm
nman
q
qnm
an
am
V
am
3、
等比中项：
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：
Aab或A
注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列an是等比数列an2anian1
4、等比数列的前n项和Sn公式:
（1）当q1时，Snna1
（2）当q1时，
a1
n
qa1
anq
1
q1
q
a1
a〔n
q
AA
BnA'BnA'（代B,A',B'为常数）
1q
1q
5、等比数列的判定方法:
（1）用定义：
对任意的
n,
都有an1
qan或
a
q（q为常数，an0）{a“}为
a
等比数列
（2）等比中项：
2
an
an1
an1（an1an1
0）
｛an｝为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义：
若-a^qq0n2,且n
an1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m,nN*，在等比数列｛an｝中，有a.amqnm
an
（4）数列{an},{bn}为等比数列，则数列{兰},{kan},{ank},{kanbn},{色}（k
bn
为非零常数）均为等比数列。
比数列
等比数列
1
【例3】等比数列｛an｝中，⑴已知a2=4,a§=-3，求通项公
式；
（2）已知a3•a4•a5=8,求a2a3a4a§a6的值.
【例4】求数列的通项公式:
（1）｛an｝中，a1=2,an+1=3an+2
⑵｛aJ中，ai=2,5，且an+2-3an+1+2an=0
三、考点分析
考点一：
等比数列定义的应用
1
4
1、数列an满足an
an1n
2,
a1
—,则a4.
3
3
2、在数列an中，若a1
1,an1
2an
1
n1,则该数列的通项an
考点二：
等比中项的应用
1、已知等差数列an的公差为2，若ai，a3，a°成等比数列，则a?
（
3、若an为等比数列，且2a4
a6a5，则公比q
2aa
4、设ai，a2，a3，a°成等比数列，其公比为2，则一-的值为（）
2a3a4
A1厂1厂1^“
A.B.C.—D.1
428
1
5、等比数列｛an｝中，公比q=—且a2+a4+…+a1oo=30，则a1+a2+…+a1oo=
2
2、已知等比数列an中，a3
3，印。
384，则该数列的通项an
考点四：
等比数列及其前n项和性质的应用
3
16
A.
4
B.
C
.—D
2
9
2、
如果
1
a,b,c,
9成等比数列，那么（
）
A.
b
3,
ac9
B.b
3,ac9
C.
b
3,
ac9
D.b
3,ac9
1在等比数列an中，如果366,399，那么83为（
）
3、在等比数列an中，a-i
3，则a2a3a4a5a6a7a8a等于（
1,3io
1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么｛an｝是（）
1
考点五：
公式
an
Si,（n1）
SnSn1,（n
的应用
2）
A.公比为2的等比数列B.公比为1的等比数列
2
C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列
2、等比数列前
n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为（）
A.（2n-1）2
B.1（2n-1）2
C.4n-1D.
1n
-（4-1）
3
3
3、设等比数列
｛an｝的前n项和为Sn=3n+r,那么r的值为
4、设数列｛an｝的前n项和为S且S=3,若对任意的n€N*都有Sn=2an-3n.
（1）求数列｛an｝的首项及递推关系式an+1=f（an）;
⑵求｛an｝的通项公式；
⑶求数列｛an｝的前n项和S.
等比数列
一、选择题：
1.｛an｝是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（）
①｛an2｝也是等比数列②｛can｝（c丰0）也是等比数列
1
③｛_｝也是等比数列④｛Inan｝也是等比数列
an
A.4B.3C.2D.1
2.等比数列｛an｝中，已知a9=—2，则此数列前17项之积为（）
16161717
A.2B.—2C.2D.—2
3.
等比数列｛an｝中，as=7,前3项之和Ss=21,则公比q的值为（）
6,等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为
2
B.x+12x+25=0
2
D.x—12x+25=0
6.某工厂去年总产a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%这5年的最后一年该厂的
总产值是（）
A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.（1+1.15）a
7.等比数列
{an}中,
a+a10=a（a丰0）,
a19+a20=b，贝Va99+atoo等于（）
A£
.a8
B.（B）9
a
C.
b10
9
a
b10
D.（巴）
a
前15项之和为39，则该数列的前10项之
B.3,13
C.
12
D.15
9.某厂2001年12月份产值计划为当年增长率为
A.巴
11
B.11n
C.
12n1
D.11n1
10.已知等比数列
an
中，公比q
a3L
a30
30
2，那么a3a6a9La30
等于（
A.210
.220
C.
216
D.215
11.等比数列的前
A.全体实数
二、填空题：
n项和S=k・3n+1,
B.—1
则k的值为
C.1
D.3
an=
3
12.在等比数列｛an｝中，已知a1=,a4=12，则q=
13.在等比数列｛an｝中，an>0,且an+2=an+an+1,则该数列的公比q=.
14.在等比数列｛an｝中，已知a4a7=—512,a3+a8=124,且公比为整数，求aio=.
15.数列｛an｝中，a13且an1an2（n是正整数），则数列的通项公式an.
三、解答题：
16.已知数列满足a1=1,an+1=2an+1（n€N*）
（1）求证数列｛an+1｝是等比数列；
（2）求｛an｝的通项公式.
17.在等比数列｛an｝中，已知Sn=48,Sn=60,求Sn.
18.在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2•an-1=128,且前n项和S=126，求n及公比q.
又an+1工0
参考答案
一、选择题：
BDCADBACDBBC
二、填空题：
n_215_2n1
13.2,3・2.14..15.512.16.3
2
三、解答题:
17.
（1）证明：
由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1）
an11=2
an1
即｛an+1｝为等比数列.
n1
⑵解析：
由
（1）知an+1=（a1+1）q_
即an=（a1+1）qn_1_仁2・2n_1_仁2n_1
18.解析：
由a1+a2+・・・+an=2n_1①
n€N*知a1=1
且a1+a2+・・・+an_1=2_1②
由①一②得an=2,n>2
n一1
又a1=1，—an=2,n€N*
S2n_Sn）2=
Sn（S3n一S2n）
a13n1
S3n=—（1_q）=64（1_-）=63
1q43
解析二：
•/｛an｝为等比数列
31（1
n\
q）
48
1
根据已知条件
q
內（1
q）
60
1q
19.解析一：
TS2nM2Sn,.°.qMl
②十①得：
4n
1+q
=—即qn=
1
4
4
③代入①得
a1
=64
1q
.S__（S2nS2n）
•.S3n—
Sn
S2n
（6048）2+60=63
48
20.解析：
当x=1时，S=1+3+5+…+（2n—1）=n
当x工1时，TS=1+3x+5x2+7x3+…+（2n—1）xn—1,①
等式两边同乘以x得：
xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n—1）xn.②
①—②得：
2n—2nn
（1—x）Sn=1+2x（1+x+x+…+x）—（2n—1）x=1—（2n—1）x+
2x（xn11）
x1
.S=（2n1）xn1（2n1）xn（1x）
・・Sn=
（x1）2
21.解析：
ta〔an=a2an—1=128,又a〔+an=66,
・a1、an是方程x—66x+128=0的两根，解方程得X1=2,X2=64,
・a1=2,an=64或a1=64,an=2，显然1.
aaq
若a1=2,an=64，由——n=126得2—64q=126—126q,
1q
・q=2，由an=agn—1得2n—1=32,・n=6.
1
若a1=64,an=2，同理可求得q=,n=6.
2
1
综上所述，n的值为6,公比q=2或
2
22.解析：
依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{an}:
a1=50,q=1+1%=1.01,n=11
1052一
则an=50X1.01=50X（1.01）〜55.125（万）,
又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}:
b1=16X50=800,d=30,n=11
・bn=800+10X30=1100（万米）
因此2000年底人均住房面积为：
1100-55.125^19.95（m2）
（10）在等比数列｛an｝中，当项数为2n（nN）时,
8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,
和为（）
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