中考数学考点专题《函数图象与性质探究题》.docx
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中考数学考点专题《函数图象与性质探究题》
专题五 函数图象与性质探究题
类型一 分析数据、探究函数问题
(2019.24新考查)
1.(2019房山区一模改编)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一动点,过点C作⊙O直径CD,过点B作BE⊥CD于点E.连接AC,已知AB=6cm.
第1题图
小东根据学习函数的经验,对线段AC、BE的长度之间的关系进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)对于点C在⊙O上的不同位置,画图、测量,得到了线段AC、BE的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
BE/cm
1.27
2.82
2.82
2.63
1.84
0
AC/cm
1.24
3.45
4.91
5.16
5.67
6
在AC、BE的长度这两个变量中,确定 的长度是自变量, 的长度是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
当BE=2时,AC的长度约为 cm.
2.(2019通州区期末改编)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB=30°,D是直径AB上一动点,连接CD并过点D作CD的垂线,与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧),连接EC.
第2题图
小东根据学习函数的经验,对线段AD,CD,EC的长度之间的关系进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)对于点D在直径AB上的不同位置,画图,测量,得到了线段AD,CD,EC的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AD/cm
0
1.14
2
3
4
5
6
CD/cm
5.20
4.49
3.60
3.00
2.65
2.65
3.00
EC/cm
5.20
4.24
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
在AD,CD,EC的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当∠ECD=60°时,AD的长度约为 cm.
3.(2019门头沟区二模改编)如图,E为半圆O直径AB上一动点,C为半圆上一定点,连接AC和BC,AD平分∠CAB交BC于点D,连接CE和DE.
第3题图
小腾根据学习函数的经验,对线段AE,CE,DE长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)对于点E在直径AB上的不同位置,画图,测量,得到了线段AE,CE,DE的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
CE/cm
2.50
2.28
2.50
3.00
3.72
4.64
5.44
DE/cm
2.98
2.29
1.69
1.69
2.18
3.05
3.84
AE/cm
0.00
0.87
2.11
3.02
4.00
5.12
6.00
在AE,CE,DE的长度这三个量中,确定 的长度是自变量,自变量的取值范围是 ;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定函数的图象;
(3)结合函数的图象,解决问题:
当△ACE为等腰三角形时,AE的长度约为 cm(结果精确到0.01).
4.(2019丰台区二模改编)如图,点M是⊙O中
上一定点,点P是弦AB上一动点.过点A作射线MP的垂线交⊙O于点C,连接PC,已知AB=5cm.
第4题图
小腾根据学习函数的经验,对线段AP,AC,PC的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在弦AB上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP,AC,PC的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
AP/cm
0.00
0.99
2.47
3.01
3.98
5.00
AC/cm
2.55
3.10
4.31
4.74
4.97
4.31
PC/cm
2.55
2.61
2.52
2.12
1.11
2.55
在AP,AC,PC的长度的三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
在点P的运动过程中,当AC与PC的差为最大值时,AP的长度约为 cm.
类型二 测量与分析数据、探究函数问题
(8年2考:
2018.24、2017.26)
1.(2019朝阳区一模)小超在观看足球比赛时,发现了这样一个问题,两名运动员从不同的位置出发,沿着不同的方向,以不同的速度直线奔跑,什么时候他们离对方最近呢?
小超通过一定的测量,并选择了合适的比例尺,把上述问题抽象成如下数学问题:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D以1cm/s的速度从点C向点B运动,点E以2cm/s的速度从点A向点B运动,当点E到达点B时,两点同时停止运动,若点D,E同时出发,多长时间后DE取得最小值?
第1题图
小超猜想当DE⊥AB时,DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难,于是根据函数的学习经验,设C,D两点间的距离为xcm,D,E两点的距离为ycm,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小超的探究过程,请补充完整:
(1)由题意可知线段AE和CD的数量关系是:
;
(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
3.8
2.7
3.0
(说明:
补全表格时相关数值保留一位小数)
(3)在平面直角坐标系中,描出以补全后表中各对对
应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:
小超的猜想 ;(填“正确”或“不正确”)当两点同时出发了 s时,DE取得最小值,为 cm.
2.(2019西城区一模)如图,
是直径AB所对的半圆弧,C是
上一定点,D是
上一动点,连接DA、DB、DC.已知AB=5cm,设D、A两点间的距离为xcm,D、B两点间的距离为y1cm,D,C两点间的距离为y2cm.
第2题图
小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;
x/cm
0
1
2
3
4
5
y1/cm
5
4.9
4
3
0
y2/cm
4
3.32
2.47
1.4
0
3
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
连接BC,当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时,DA的长度约为 cm.
3.(2019东城区一模)如图,点E在弦AB所对的优弧上,且
为半圆,C是
上的动点,连接CA,CB.已知AB=4cm,设B,C两点间的距离为xcm,点C到弦AB所在直线的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm.
第3题图
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
0
0.78
1.76
2.85
3.98
4.95
4.47
y2/cm
4
4.69
5.26
5.96
5.94
4.47
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
①连接BE,则BE的长约为 cm;
②当以A,B,C为顶点组成的三角形是直角三角形时,BC的长度约为 cm.
4.(2019海淀区一模)如图,线段AB及一定点C,P是线段AB上一动点,作直线CP,过点A作AQ⊥CP于点Q.已知AB=7cm,设A,P两点间的距离为xcm,A,Q两点间的距离为y1cm,P,Q两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
第4题图
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:
x/cm
0
0.3
0.5
0.8
1
1.5
y1/cm
0
0.28
0.49
0.79
1
1.48
y2/cm
0
0.08
0.09
0.06
0
0.29
x/cm
2
3
4
5
6
7
y1/cm
1.87
2.37
2.61
2.72
2.76
2.78
y2/cm
0.73
1.82
4.20
5.33
6.41
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当△APQ中有一个角为30°时,AP的长度约为 cm.
类型三 新函数性质探究问题
(8年2考:
2016.26、2015.26)
1.(2019西城区二模)某医药研究所开发一种新的药物,据监测,如果成年人按规定的剂量服用,服药后2小时,每毫升血液中的含药量达到最大值,之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位:
微克)与服药后的时间t(单位:
小时)之间近似满足某种函数关系,下表是y与t的几组对应值,其部分图象如图所示.
t
0
1
2
3
4
6
8
10
…
y
0
2
4
2.83
2
1
0.5
0.25
…
第1题图
(1)在所给平面直角坐标系中,继续描出上表中已列出数值所对应的点(t,y),并补全该函数图象;
(2)结合函数图象,解决下列问题:
①某病人第一次服药后5小时,每毫升血液中的含药量约为 微克;若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 小时;
②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药,第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同,则第二次服药后2小时,每毫升血液中的含药量约为 微克.
2.(2019海淀区二模)有这样一个问题:
探究函数y=
x2-
的图象与性质.
小宇从课本上研究函数的活动中获得启发,对函数y=
x2-
的图象与性质进行了探究.
下面是小宇的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=
x2-
的自变量x的取值范围是 ;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,完成以下作图步骤:
①画出函数y=
x2和y=-
的图象;
②在x轴上取一点P,过点P作x轴的垂线l,分别交函数y=
x2和y=-
的图象于点M,N,记线段MN的中点为G;
③在x轴正半轴上多次改变点P的位置,用②的方法得到相应的点G,把这些点用平滑的曲线连接起来,得到函数y=
x2-
在y轴右侧的图象.继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置,重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象.
第2题图
(3)结合函数y=
x2-
的图象,发现:
①该函数图象在第二象限内存在最低点,该点的横坐标约为 (保留小数点后一位);
②该函数还具有的性质为:
(一条即可)
参考答案
类型一 分析数据、探究函数问题
1.解:
(1)AC;BE;
【解法提示】一个自变量值只可能对应一个函数值,∵由表格可知当AC=3.45或4.91时,BE均为2.82,∴BE长是关于AC长的函数.
(2)画函数图象如解图;
第1题解图
(3)2.14或5.61.(可相差0.1~0.2)
【解法提示】如解图,观察图象可知当y=2即BE=2cm时,x的值即AC的长度约为2.14cm或5.61cm.
2.解:
(1)AD,CD,EC;
(2)画函数图象如解图;
第2题解图
(3)4.5或6.(可相差0.1~0.2)
【解法提示】当∠ECD=60°时,在Rt△ECD中,∵∠EDC=90°,∴∠CED=30°,∴EC=2CD,∴yEC=2yCD,由函数关系图象可知,满足条件的x的值约为4.5cm或6cm.
3.解:
(1)AE;0≤AE≤6;
(2)画函数图象如解图;
第3题解图
(3)2.50或2.11或2.99.(可相差0.1~0.2)
【解法提示】当△ACE为等腰三角形时,有以下三种情况:
①当AE=AC时,∴AE=AC=2.5cm;②CE=AC时,即yCE=AC=2.5cm,从图象可以看出x=0cm或2.11cm;即AE=0cm(舍去)或2.11cm;③当AE=CE时,即x=yCE,从图中可以看出x=2.99cm,即AE=2.99cm.
4.解:
(1)AP,AC,PC;
(2)画函数图象如解图;
第4题解图
(3)3.9.(可相差0.1~0.2)
【解法提示】由
(2)中的图象可知,当x=3.9时,两函数图象上点距离最远,即AP的长度约为3.9cm时,AC与PC的差取最大值.
类型二 测量与分析数据、探究函数问题
1.解:
(1)AE=2CD;
【解法提示】∵D、E同时分别从C、A出发,又∵D的速度为1cm/s,E的速度为2cm/s,∴AE=2CD;
(2)补全表格如下表:
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
3.8
3.0
2.7
3.0
(3)画图如解图
第1题解图
(4)不正确;4,2.7.
【解法提示】由解图可知,在x=4时,y取得最小值2.7,即当CD=4cm时,DE=2.7cm,AE=8cm.∴BE=2cm,BD=4cm,∵BE2+DE2≠BD2,∴DE与AB不垂直,故DE⊥AB时,DE不是最小,小超猜想不正确.
2.解:
(1)4.6(可相差0.1~0.2);
(2)画函数图象如解图;
第2题解图
(3)4.7或1.3.(可相差0.1~0.2)
【解法提示】①当CD=BD,即y1=y2时,x的值约为4.7,即DA的长度约为4.7cm;②当CD=BC时,由表中数据可得,当CD=0即y2=0时,y1=3,∴BC=3.∴CD=BC=3,即y2=3时,x的值约为1.3或5(舍去),即DA的长度约为1.3cm;综上所述,DA的长度约为4.7cm或1.3cm.
3.解:
(1)5.70;(可相差0.1~0.2)
(2)画函数图象如解图;
第3题解图
(3)①6;
【解法提示】连接BE,
为半圆,∴BE为圆的直径,∴∠BAE=90°.∴当点C与点E重合时,y1=y2,如解图,当y1=y2时,x=6,即BE=BC=6cm.
②4.47(可相差0.1~0.2),6.
【解法提示】当∠ABC=90°时,x=y1,x的长度约为4.47,即BC的长度约为4.47cm;当∠BAC=90°,由①可得BC=6cm.
4.解:
(1)3.02;(可相差0.1~0.2)
(2)画函数图象如解图①所示;
第4题解图①
(3)2.40或5.55.(可相差0.1或0.2)
【解法提示】在△APQ中,∠AQP=90°,∴①当∠APQ=30°时,AP=2AQ,即y1=
x;②当∠PAQ=30°时,AP=2PQ,即y2=
x;如解图②,作函数y=
x的图象,分别与函数图象y1,y2交点的横坐标即是AP的长度,则AP的长度约为2.40cm或5.55cm.
第4题解图②
类型三 新函数性质探究问题
1.解:
(1)画函数图象如解图:
第1题解图
(2)①1.41;7.75;(可相差0.1~0.2)
【解法提示】①由函数图象得:
某病人第一次服药后5小时,即t=5时,y=1.41,即每毫升血液中的含药量约为1.41微克;当y=0.5时,t=0.25或8,8-0.25=7.75(小时),∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时.
②4.25;(可相差0.1或0.2)
【解法提示】第二次服药,服药后2小时即第一次服药后10小时,若没进行第二次服药,每毫升血液中含药量为0.25微克,若第一次服药没对第二次服药造成影响,则第二次服药后2小时每毫升血液中含药量为4微克,∴在本题中,第二次服药后2小时,每毫升血液中的含药量约为:
4+0.25=4.25微克.
2.解:
(1)x≠0;
【解法提示】∵x在分母上,∴x≠0.故函数y=
x2-
的自变量x的取值范围是x≠0.
(2)画出该函数在y轴左侧的图象如解图:
第2题解图
(3)①-1.6;(在-1.9至-1.3之间即可)
②当x>0时,y随x的增大而增大.