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数学建模

数学建模队员的选拔

摘要

本文考虑的是选拔数学建模队员的问题。

我们从笔试、听课次数、思维敏捷、机试、知识面等五方面综合研究了它们对于选拔队员这个目标的权重。

在建立模型前，我们首先在影响选拔队员的因素中根据实际情况分析出主要因素，并对其两两之间的影响程度进行了比较，为建模时构建合理的判断矩阵提供了合理的数据，有利于解决问题。

对于问题一：

我们结合实际，并根据表中的数据我们发现影响队员选拔的因素有很多，如团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷等等，经过讨论分析，确定团队合作能力、建模能力，编程能力及论文写作能力是我们选拔队员主要考虑因素，对于这三方面的考察，我们会分别进行不同种类的测试。

对于问题二：

首先我们利用层次分析法从15名队员选出综合素质较强的九名队员，他们分别是S1、S2、S3、S4、S6、S8、S11、S13、S14。

从队员各方面的能力的成绩记录我们发现，除了S1、S2各方面都较好之外，其他人都只是某个或几个方面较好，我们必须对已选的队员进行合理的搭配。

我们首先根据各队员的笔试成绩进行分类，A类：

S1、S2、S3；B类：

S4、S6、S8；C类：

S11、S13、S14。

再根据机试、思维敏捷、知识面来综合考虑，我们最后得出了较合理的组合：

S1-S6-S14、S2-S4-S11、S3-S8-S13。

对于问题三：

我们认为直接录取编程高手的做法是可取的。

首先，我们从表中数据发现计算机强的队员比较少，而其他方面优秀的队员也不缺乏；其次、在该队员其它方面都不合格的情况下能够较易到找到合理的搭配队友，而且编程技术是我们数学建模中的重要工具。

综合以上分析，我们认为这种做法是可取的。

对于问题四：

我们建议教练组应考察队员的团队合作能力，应该适当破格录取以让各队的知识结构良好，队员之间能够互补。

关键字层次分析法综合考虑判断矩阵建模队员的选拔

一、问题的重述

数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。

目前选拔队员主要考虑以下几个环节：

数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。

然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。

各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。

下表列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况

学生

专业

笔试

班级排名

听课次数

其它情况

思维敏捷

机试

知识面

数学

电子信息

过计算机三级

机械

上过建模选修课

数学

电子信息

化工与材料

数学

考过程序员

电子信息

学过MATLAB

S10

电子信息

学过MATLAB

S11

化工与材料

S12

化工与材料

S13

计算机

S14

计算机

S15

计算机

现在需要解决以下几个问题：

1．根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？

哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？

2．根据上表中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

3．有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。

4．为数学建模教练组写1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

二、问题分析

问题一：

数学建模是对学生综合能力的一次考察，学生需要多方面的能力，但关键素质应当为以下各点：

数学基础和必要的数学建模知识；编程能力及使用数学软件的能力；团队合作能力；语言表达及写作能力。

对于数学基础、建模知识、写作能力可以通过笔试考察，通过面试可以考察团队合作及语言表达能力，编程能力及使用数学软件的能力可以通过机试进行考察。

问题2：

属于难于定量分析的问题，因此用层次分析法建立模型是比较好的选择，通过层次分析法建立模型一后筛选出得分前9名的同学。

此得分仅是其综合能力的度量，对他们进行组合时关键得考虑队员之间的能力互补，因此我们首先根据专业成绩将9名队员分为三个等级，组合时只能从每个等级中选择一位同学，再规定以下条件，同种专业的队员不安排在同一队，机试成绩、思维敏捷、知识面评级为B以下的队员不安排在一对，并尽量使得组队后该队有一位每项能力的最佳队员，然后对可以组合的对员进行分析，得出较佳的组合方式；

问题3：

对于问题三中直接录取的方式是否可取，我们假定被直接录取的这位同学除了计算机方面能力突出之外，其余能力都不及格，分析他（她）是否能较易的搭配队友，已达到相互之间取长补短的条件，再结合题中表格分析计算机能力突出的学生的多少来分析此做法是否可取。

三、符号说明

A为目标层目标；

P1、P2、P3、P4、P5分别为准则层中的笔试成绩、机试成绩、知识面、思维敏捷、听课次数；

S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S9、S10、S11、S12、S13、S14、S15为措施层中的对象；

W、W1、W2、W3、W4、W5分别为A-P、P1-S、P2-S、P3-S、P4-S、P5-S矩阵的特征向量；

r（max）为最大特征根；

CI一致性指标；

RI平均随机一致性指标；

CR一致性比例。

四、模型假设

1、假设题目表格中学生的能力评判数据是客观公正的，能够准确的评判其实际能力。

2、假设笔试成绩、机试成绩为建模队员最重要的两项能力。

3、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。

五、模型的建立与问题的求解

5.1、问题一的解答：

选拔数学建模队员要考察学生以下的能力：

1、数学基础和必要的数学建模知识；

2、良好的编程能力和熟练使用数学模型的能力；

3、较强的语言表达能力；

4、良好的团队合作能力；

5、是否进行过数学建模培训及相关的数学软件培训；

6、是否曾经参加过建模比赛；

7、所属院系及知识面的广度；

8、班级排名及老师同学对其评价

9、思维敏捷、有建模的激情和听课次数；

关键素质为数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力、较强的语言表达能力和良好的团队合作能力，其中数学基础和必要的数学建模知识和良好的编程能力应该通过笔试和机试进行考察，较强的语言表达能力和良好的团队合作能力应该采用情景面试的方法进行考察。

情景面试具体方法：

将报名的同学分成若干小组,要求各组面试时在限定的时间内对一特定问题进行模型建立。

面试教师根据每位同学在与本小组其他成员合作建立模型时的表现进行打分。

5.2.问题二的解答

5.2.1模型的建立：

本模型利用层次分析法从15名同学中筛选出9名得分最高的参加竞赛，模型的层次结构如下图（忽略班级排名的影响，对于其它情况中有些队员学过MATLAB，

考过程序员，上过建模选修课，考过计算机三级，在模型中也不考虑，因为建模的能力和应用软件的能力已经在笔试和机试中考察过了。

）：

4.1.1、构造判断矩阵，进行层次单排序。

A-P判断矩阵

1/3

1/2

1/7

1/3

1/4

P1-S笔试成绩

对于笔试成绩权重的定量化，我们每隔五分为一级，比方说s1=95,s2=90,s3=85,则s1/s2=2,s1/s3=3,即1+（s1-s2）/5，若是小数则四舍五入。

S10

S11

S12

S13

S14

S15

1/2

1/4

1/3

1/4

1/3

1/4

1/3

1/4

1/3

1/4

1/2

1/5

1/4

1/2

S10

1/5

1/4

1/2

S11

1/5

1/4

1/2

S12

1/5

1/3

1/2

S13

1/5

1/4

1/2

S14

1/5

1/4

1/2

S15

1/7

1/6

1/4

1/3

表格中机试成绩以及知识面、思维敏捷都是采用ABCD进行评价的，我们分别取A/B=3,A/C=5,A/D=7,B/C=3,B/D=5,C/D=3.

P2-S机试成绩

S10

S11

S12

S13

S14

S15

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/7

1/3

1/7

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

S10

1/3

S11

S12

1/3

1/5

1/3

S13

S14

1/3

S15

1/3

P3-S知识面

S10

S11

S12

S13

S14

S15

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/7

1/5

1/3

1/7

1/5

1/7

1/3

1/5

1/7

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

S10

1/3

S11

1/3

S12

S13

1/7

1/5

1/3

1/7

1/5

1/7

1/3

1/5

1/7

1/5

S14

S15

1/3

P4-S思维敏捷

S10

S11

S12

S13

S14

S15

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

S10

S11

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

S12

S13

1/3

S14

S15

1/5

1/3

1/5

1/3

1/5

P5-S听课次数

根据表格中听课次数，相同及相差一次取为1，两次为2，三次为3，四次为5.

S10

S11

S12

S13

S14

S15

1/4

1/2

1/4

1/3

1/2

1/3

1/4

1/3

1/4

1/2

1/3

1/2

1/3

1/2

1/3

1/2

S10

S11

S12

1/4

1/2

1/4

1/3

1/2

1/3

1/4

1/3

1/4

S13

1/4

1/2

1/4

1/3

1/2

1/3

1/4

1/3

1/4

S14

S15

上图为平均随机一致性指标，摘自文献【4】

5.2.2、计算过程（4.1.2、4.1.3、4.1.4均是用MATLAB编程得出，具体程序见附录）：

用和积法计算最大特征向量:

W=（0.3475,0.3475,0.1435,0.1182,0.0433）

W1=（0.1961，0.1466，0.1433,0.0691，0.0634，0.0634，0.0532，0.0444，0.0380，0.0363，0.0332，0.0267，0.0380，0.0332，0.0151）

W2=（0.0645，0.0645，0.0133，0.0645，0.0248，0.0645，0.0645，0.0645，0.0248，0.0645，0.1659，0.0248，0.1659，0.0645，0.0645）

W3=（0.1251，0.0505，0.0231，0.1251，0.0505，0.0126，0.0505，0.1251，0.0231，0.0505，0.0505，0.1251，0.0126，0.1251，0.0505）

W4=（0.1008，0.1008，0.0183，0.0403，0.0403，0.1008，0.0183，0.1008，0.1008，0.1008，0.0183，0.1008，0.0403，0.1008，0.0183）

W5=（0.0275，0.1022，0.0578，0.0578，0.0400，0.1022，0.0790，0.0587，0.0587，0.0790，0.1022，0.0275，0.0275，0.0790，0.1022）

5.2.3、一致性检验：

A-P判断矩阵r（max）=5.1085CI=0.027125

　　　　　　RI=1.12CR=0.024<0.10

P1-S矩阵r（max）=15.4585CI=0.03275

RI=1.59CR=0.021<0.10

P2-S矩阵r（max）=15.1922CI=0.01373

RI=1.59CR=0.009<0.10

P3-S矩阵r（max）=15.3465CI=0.02475

RI=1.59CR=0.016<0.10

P4-S矩阵r（max）=15.1500CI=0.01071

RI=1.59CR=0.007<0.10

P5-S矩阵r（max）=15.2276CI=0.01626

RI=1.59CR=0.010<0.10

5.2.4、层次总排序:

根据以上层次单排序的结果，经过计算，得出措施层对目表

层的总排序如下表：

W总

0.3475

0.1435

0.1182

0.0433

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