浙教版中考数学二轮专项复习导练案 三角形的基础知识原卷+解析卷.docx

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浙教版中考数学二轮专项复习导练案三角形的基础知识原卷+解析卷

（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形的基础知识

【考点整理】

1．三角形的概念及分类

定义：

由_____________直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形．

三角形的分类：

（1）按角分：

三角形

（2）按边分：

三角形

三角形中的重要线段：

在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高．

【智慧锦囊】

（1）三角形的三条中线的交点在三角形的内部；

（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部；

（3）锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的

三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交

点在三角形的外部．

2．三角形三边的关系

（1）三角形任意两边的和________第三边；

（2）三角形任意两边的差________第三边．

3．三角形内角和

定理：

三角形的内角和等于__________.

推论：

（1）三角形的外角________与它不相邻的两个内角的和；

（2）三角形的一个外角_______任意一个和它不相邻的内角．

【智慧锦囊】

任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角．

4．三角形的中位线

三角形的中位线__________于第三边，并且等于第三边的一半．

【解题秘籍】

1．三角形内外角性质的运用技巧

进行三角形角度计算时，常常利用方程求解．

2．构造三角形中位线

有关中点问题，常作辅助线构造三角形中位线，利用三角形中位线解决问题．

【易错提醒】

1．判断三条线段能否构成三角形时，要注意不能只考察任意两边之和大于第三边就下结论，应该要按照较小两边的和大于最大边来判断；

2．三角形的中位线与中线的区别：

三角形的中线是连结顶点与对边中点的线段，而中位线是连结三角形两边中点的线段．

3．不同类型的三角形的三条高所在的位置各不相同，因此涉及三角形的高的问题时，常常需要分类讨论高在“形内”“形上”还是“形外”.

【题型解析】

1.三角形的三边关系

【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）

A．1B．2C．3D．8

2.三角形的内角和定理的运用

【例题2】（2019•浙江金华•4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。

量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________ ．

3.三角形中位线的性质运用

【例题3】（2019•湖北十堰•3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　．

【同步检测】

一、选择题：

1.（2019•湖北省荆门市•3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（　　）

A．95°B．100°C．105°D．110°

2.（2019，山东枣庄，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）

A．45°B．60°C．75°D．85°

3.（2019▪贵州毕节▪3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，4cmB．3cm，6cm，76cm

C．2cm，2cm，6cmD．5cm，6cm，7cm

4.（2018·浙江宁波·4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

5.（2019•山东青岛•3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．35°B．40°C．45°D．50°

二、填空题：

6.（2018年江苏省泰州市•3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　　．

7.（2019•广东广州•3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　　．

8.（2019•山东威海•3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝　　°．

三、解答题

9.（2018•山东淄博•5分）已知：

如图，△ABC是任意一个三角形，求证：

∠A+∠B+∠C=180°．

10.（2018年湖北省宜昌市7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

11.（江苏省南京市，21，8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．

如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．

求证∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．

证法1：

∵▲，

∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°．

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－（∠1＋∠2＋∠3）．

∵▲，

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

12.在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？

并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？

请说明理由．

【参考答案】

【考点整理：

1.不在同一条；2.大于，小于，180°，等于，大于；4.平行；

【题型解析】

1.三角形的三边关系

【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）

A．1B．2C．3D．8

【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．

【解答】解：

由三角形三边关系定理得：

5﹣3＜a＜5+3，

即2＜a＜8，

即符合的只有3，

故选：

C．

2.三角形的内角和定理的运用

【例题2】（2019•浙江金华•4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。

量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________ ．

【答案】40°

【考点】三角形内角和定理

【分析】根据题意可得∠AOC=50°，由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC即为观察楼顶的仰角度数。

【解析】【解答】如图，

依题可得：

∠AOC=50°，

∴∠OAC=40°，

即观察楼顶的仰角度数为40°.

故答案为：

40°.

3.三角形中位线的性质运用

【例题3】（2019•湖北十堰•3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　24　．

【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．

∴CD＝2OE＝2×3＝6，

∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；

故答案为：

24．

【同步检测】

一、选择题：

1.（2019•湖北省荆门市•3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（　　）

A．95°B．100°C．105°D．110°

【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．

【解答】解：

由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，

∴∠3＝∠2＝45°，

由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，

故选：

C．

2.（2019，山东枣庄，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）

A．45°B．60°C．75°D．85°

【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．

【解答】解：

如图，

∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，

∴∠CGF＝∠DGB＝45°，

则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，

故选：

C．

3.（2019▪贵州毕节▪3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，4cmB．3cm，6cm，76cm

C．2cm，2cm，6cmD．5cm，6cm，7cm

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．

【解答】解：

A.2+3＞4，能组成三角形；

B.3+6＞7，能组成三角形；

C.2+2＜6，不能组成三角形；

D.5+6＞7，能够组成三角形．

故选：

C．

4.（2018·浙江宁波·4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

三角形内角和定理、三角形中位线定理

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：

∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，

∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，

∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，

∴EO是△DBC的中位线，

∴EO∥BC，

∴∠1=∠ACB=40°．

故选：

B．

5.（2019•山东青岛•3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．35°B．40°C．45°D．50°

【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，根据全等三角形的性质得到AF＝EF，AB＝BE，求得AD＝DE，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAD＝95°，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论．

【解答】解：

∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，

∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，

∵BF＝BF，

∴△ABF∽△EBF（ASA），

∴AF＝EF，AB＝BE，

∴AD＝DE，

∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，

在△DAB与△DEB中

，

∴△ABD≌△EAD（SSS），

∴∠BED＝∠BAD＝95°，

∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，

∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，

故选：

A．

二、填空题：

6.（2018年江苏省泰州市•3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　5　．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．

【解答】解：

根据三角形的三边关系，得

第三边＞4，而＜6．

又第三条边长为整数，

则第三边是5．

7.（2019•广东广州•3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　15°或45°　．

【分析】分情况讨论：

①DE⊥BC；②AD⊥BC．

【解答】解：

分情况讨论：

①当DE⊥BC时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；

②当AD⊥BC时，∠BAD＝45°，即α＝45°．

故答案为：

15°或45°

8.（2019•山东威海•3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝　68　°．

【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠C＝45°，由三角形的外角性质得出∠AGB＝68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．

【解答】解：

∵△ABC是含有45°角的直角三角板，

∴∠A＝∠C＝45°，

∵∠1＝23°，

∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，

∵EF∥BD，

∴∠2＝∠AGB＝68°；

故答案为：

68．

三、解答题

9.（2018•山东淄博•5分）已知：

如图，△ABC是任意一个三角形，求证：

∠A+∠B+∠C=180°．

【考点】K7：

三角形内角和定理．

【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．

【解答】证明：

过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．

10.（2018年湖北省宜昌市7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【分析】

（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=

∠CBD=65°；

（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．

【解答】解：

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，

∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，

∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=

∠CBD=65°；

（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，

∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．

11.（江苏省南京市，21，8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．

如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．

求证∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．

证法1：

∵▲，

∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°．

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－（∠1＋∠2＋∠3）．

∵▲，

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

【逐步提示】本题考查了三角形的外角和定理的证明，解题的关键是运用平角的性质和平行线的性质进行角度是转化．原来的证法是用三角形的三个内角所在的三个平角之和减去三角形的内角和；而新的证明方法是要通过平行线把三个外角集中到一个顶点围成一个周角进行证明．

【详细解答】∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．

∠1＋∠2＋∠3＝180°．

证法2：

如图，过点A作射线AP，使AP∥BD．

∵AP∥BD，

∴∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．

∵∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．

12.在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？

并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？

请说明理由．

【分析】

（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；

（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=

∠BAC=

（180°-∠B-∠C）=90°-

（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；（3）根据

（2）可以得到∠AEC=90°+

（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．

【解析】

（1）∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=50°，

∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；

（2）∠EFD=

（∠C﹣∠B），理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=

（180°-∠B-∠C）=90°﹣

（∠C+∠B），

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣

（∠C+∠B）=90°+

（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣

（∠B﹣∠C），

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（3）∠EFD=

（∠C﹣∠B），理由如下：

如图，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=

（180°-∠B-∠C），

∵∠DEF为△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+

（180°-∠B-∠C）=90°+

（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣

（∠B﹣∠C）

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．