经典不等式讲义.docx
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经典不等式讲义
经典不等式（讲义）
知识点睛
一、绝对值三角不等式
定理1：
若a，b为实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
几何背景：
用向量a，b分别替换a，b时，可得|a+b|≤|a|+|b|，
当且仅当a，b同向时，等号成立．
几何意义：
三角形两边之和大于第三边．
定理推广：
若a，b为实数，则．
定理2：
若a，b，c为实数，则|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当
（a-b）（b-c）≥0时，等号成立．
应用要领：
“一变”：
对所求式子进行变形（拆项、重组、改变符号等），在形式上确定a，b；
“二定”：
应用绝对值三角不等式，使其出现定值；
“三相等”：
务必验证等号能否取到．
二、基本不等式
定理1：
若a，b∈R，则，当且仅当a=b时，等号成立．
常见变形：
若a，b∈R，则，当且仅当
a=b时，等号成立．
定理2（基本不等式）：
若a，b>0，则，当且仅当
a=b时，等号成立．
（1）常见变形：
若a>0，b>0，则，
当且仅当a=b时，等号成立．
（2）若a，b>0，则为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．
定理表述：
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
（3）应用要领：
“一正”：
各项均是正数；
“二定”：
和或者积是定值；
“三相等”：
务必验证等号能否取到．
定理3：
若a，b，c>0，则，当且仅当a=b=c时，等号成立．
（1）定理表述：
三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
（2）推广：
对于n个正数a1，a2，a3，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．
三、柯西不等式
定理1：
（二维形式的柯西不等式）
若a，b，c，d都是实数，则，当且仅当ad=bc时，等号成立．
应用要领：
“一变”：
对所求式子进行变形（拆项、重组等），使之形式上符合左边或右边；
“二定”：
应用柯西不等式，使其出现定值；
“三相等”：
务必验证等号能否取到．
定理2：
（柯西不等式的向量形式）
若α，β是两个向量，则，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．
定理3：
（二维形式的三角不等式）若x1，x2，y1，y2∈R，则
．
定理4：
（一般形式的柯西不等式）
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则
，
当且仅当bi=0（i=1，2，…，n）或存在实数k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）时，等号成立．
柯西不等式的常用结构：
①
②
精讲精练
1.对x，y∈R，的最小值为_______．
2.以下三个命题：
①若，则；
②若，则；
③．
其中，正确命题的序号是____________．
3.已知关于x的不等式．
（1）若该不等式有实数解，则实数的取值范围为_______
_______________________．
（2）若该不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围为_____________________________．
4.已知，，求证：
（1）；
（2）．
5.若a>0，b>0，且a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是___________（写出所有正确命题的编号）．
①ab≤1；②；③；④；
⑤．
6.已知，．
（1）的最小值为_______．
（2）的最大值为___________．
（3）若，则的最小值为________．
7.已知，．
（1）的最大值为__________，此时=______，=_______．
（2）的最小值为__________．
（3）若，则的最大值为________．
8.已知x>0，y>0，．
（1）的最小值为_______，此时=______，=_______．
（2）的最大值为____________．
（3）若，则的最小值为___________．
9.设是不全相等的正数，求证：
（1）；
（2）．
10.已知．
（1）的最小值是______，此时=______，=_____．
（2）的最小值是________．
（3）若，则的最小值是_________．
11.已知．
（1）的最大值是_______．
（2）的最大值是_______．
（3）若，则的最大值是________．
12.函数的最大值是______，此时=_____．
13.设，，求证：
．
14.若，且，求证：
．
15.已知，
求证：
．
回顾与思考
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________________________________________________________
________________________________________________________
【参考答案】
1.3
2.①②③
3.
（1）；
（2）
4.略
5.①③⑤
6.
（1）1；
（2）-1；（3）
7.
（1）；
（2）；（3）
8.
（1）；
（2）；
（3）
9.略
10.
（1）；
（2）；（3）
11.
（1）；
（2）；（3）
12.，
13.略
14.略
15.略
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