高考理科数学周周测 13.docx
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高考理科数学周周测13
周周测13 解析几何综合测试
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l经过点M（2,1），若点P（4,2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．3x－2y－4＝0 B．x＝2或3x－2y－4＝0
C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0
答案：
B
解析：
解法一 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k（x－2），即kx－y＋1－2k＝0，因为P（4,2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，故选B.
解法二 由题意知，所求直线经过P（4,2）和Q（0，－4）的中点或过P（4,2）和Q（0，－4）的直线平行．当所求直线经过P（4,2）和Q（0，－4）的中点（2，－1）时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P（4,2）和Q（0，－4）的直线平行时，由kPQ＝＝，得直线l的方程为y－1＝（x－2），即3x－2y－4＝0.
2．[2019·大连模拟]直线4x－3y＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得的弦长为（ ）
A．6B．3
C．6D．3
答案：
A
解析：
假设直线4x－3y＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得的弦为AB.∵圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，∴弦长|AB|＝2×＝2＝2×3＝6.故选A.
3．[2019·衡水武邑月考]若直线l：
mx＋ny－m－n＝0（n≠0）将圆C：
（x－3）2＋（y－2）2＝4的周长分为21两部分，则直线l的斜率为（ ）
A．0或B．0或
C．－D.
答案：
B
解析：
由题意知直线l将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为，又圆心为（3,2），半径为2，则圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝0或＝－，所以直线l的斜率为k＝－＝0或，故选B.
4．一个圆经过点（0,1），（0，－1）和（2,0），且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为（ ）
A.2＋y2＝B.2＋y2＝
C.2＋y2＝D.2＋y2＝
答案：
C
解析：
由题意可得圆经过点（0,1），（0，－1）和（2,0），设圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2（a>0），则解得a＝，r2＝，则该圆的标准方程为2＋y2＝.
5．[2018·全国卷Ⅰ]已知椭圆C：
＋＝1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案：
C
解析：
∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
6．[2019·长春监测]已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（ ）
A．1B．2
C．4D.
答案：
A
解析：
如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.
7．[2019·重庆调研]已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M（5,3），则|PF|＋|PM|的最小值是（ ）
A．6B．5
C．4D．3
答案：
A
解析：
由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即（|PF|＋|PM|）min＝5－（－1）＝6，故选A.
8．[2019·海口模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A.B.
C.D．2
答案：
C
解析：
由题意知xA>xB>0.设∠AFx＝θ（0<θ<π），|BF|＝m，则由点A到准线l：
x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝.又m＝2＋mcos（π－θ），得m＝＝，所以△AOB的面积S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1××＝.
9．[2019·湖北四地七校联考]双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案：
D
解析：
设虚轴的一个端点为B，则S△F1BF2＝×b×2c＝×a×，即b×2c＝a×，（c2－a2）4c2＝a2（－a2＋2c2），4e4－6e2＋1＝0，解得e2＝或e2＝（舍去），e＝.故选D.
10．[2019·辽宁联考]一条动直线l与抛物线C：
x2＝4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则（－）2－42的最大值为（ ）
A．24B．16
C．8D．－16
答案：
B
解析：
由＝2知G是线段AB的中点，∴＝（＋），∴（－）2－42＝（－）2－（＋）2＝－4·.由A，B是动直线l与抛物线C：
x2＝4y的交点，不妨设A，B，∴－4·＝－4＝－4＝16－42≤16，即（－）2－42的最大值为16，故选B.
11．[2019·安徽皖南八校联考]已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2.若在直线x＝2a上存在点P使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案：
B
解析：
∵直线x＝2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2，∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF2|＝|F1F2|＝2c≥2a－c，∴2a≤3c，∴e≥.又∵e<1，∴椭圆离心率的取值范围是.故选B.
12．[2019·长沙模拟]已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为（ ）
A．2B．3
C.D.
答案：
B
解析：
由题意知，e＝＝＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A（m，n），M（x，y），则B（－m，－n），k1·k2＝·＝＝＝3.故选B.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2019·湖南衡阳模拟]直线l过点A（1,1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线l的斜率的取值范围为________．
答案：
（－1,1）
解析：
设直线l的方程为y－1＝k（x－1），令x＝0，可得y＝1－k，∵直线l在y轴上的截距的取值范围是（0,2），
∴0<1－k<2，∴－114．[2019·泰安调研]已知直线x－y＋2＝0及直线x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．
答案：
25π
解析：
因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d＝×＝3.又直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r＝＝5，所以圆C的面积是25π.
15．双曲线－＝1上的点P到焦点（5,0）的距离是，则点P到另外一个焦点的距离是________．
答案：
解析：
点P到点（5,0）的距离是<5＋4，所以点P只能在与焦点（5,0）同侧的一支上，设点P到另外一个焦点的距离为d，则d－＝8，解得d＝.
16．[2019·辽宁联考]设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,4），则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
答案：
15
解析：
在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1（－3,0），F2（3,0）．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋（2a－|PF2|）＝10＋（|PM|－|PF2|）．
∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有（|PM|－|PF2|）max＝＝5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5＝15.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
[2019·湖北宜城月考]△ABC的一个顶点为A（2,3），两条高所在直线方程为x－2y＋3＝0和x＋y－4＝0，求△ABC三边所在直线的方程．
解析：
因为点A不在两条直线上，所以不妨设直线x－2y＋3＝0和x＋y－4＝0是分别经过点B和点C的高线，∴由垂直关系可得AB的斜率为1，AC的斜率为－2.∵AB和AC都经过点A（2,3），∴AB的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，AC的方程为y－3＝－2（x－2），即2x＋y－7＝0.
联立解得即B（1,2），联立解得即C（3,1），∴BC的斜率为＝－，∴BC的方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.
18．（本小题满分12分）
已知圆C1：
x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
（1）求两圆公共弦长；
（2）求以两圆公共弦为直径的圆的方程．
解析：
（1）两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程．
又圆C1的圆心C1（1，－5）到公共弦的距离d＝＝3，
圆C1的半径r1＝＝5，
由d2＋（）2＝r（L为公共弦长），得L＝2＝2，即公共弦长为2.
（2）直线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0，
直线C1C2与相交弦所在直线x－2y＋4＝0的交点为（－2,1），即为所求圆的圆心．
又因为所求圆的半径为＝，
所以以相交弦为直径的圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5.
19．（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F（1,0），抛物线E：
x2＝2py的焦点为M.
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
解析：
（1）∵抛物线C：
y2＝2px（x>0）的焦点为F（1,0），抛物线E：
x2＝2py的焦点为M，∴p＝2，M（0,1）．
若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝0，满足题意．
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，
得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.
当k＝0时，x＝.满足题意，方程为y＝1.
当k≠0时，Δ＝（2k－4）2－4k2＝0，解得k＝1，方程为y＝x＋1.
综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
（2）直线MF的方程为y＝－x＋1，代入y2＝4x，得
y2＋4y－4＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4.
∴△OAB的面积S＝|OF||y1－y2|
＝×1×＝2.
20．（本小题满分12分）
[2019·海南联考]已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4
y
－2
0
－4
（1）求C1，C2的标准方程；
（2）若直线l：
y＝kx＋m（k≠0）与椭圆C1交于不同的M，N两点，且线段MN的垂直平分线过定点G，求实数k的取值范围．
解析：
（1）设抛物线C2：
y2＝2px（p≠0），则有＝2p（x≠0），
据此验证4个点知（3，－2），（4，－4）在抛物线C2上，
所以C2的方程为y2＝4x.
设C1：
＋＝1（a>b>0），把点（－2,0），代入得解得a2＝4，b2＝3，
所以C1的方程为＋＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝kx＋m代入椭圆方程，
消去y得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝（8km）2－4（3＋4k2）（4m2－12）>0，
即m2<4k2＋3. ①
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，则y1＋y2＝，
所以线段MN的中点P的坐标为.
又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－，
由点P在直线l′上，得＝－，
即4k2＋8km＋3＝0，所以m＝－（4k2＋3）．
由①得<4k2＋3，所以k2>，即k<－或k>，所以实数k的取值范围是∪.
21．（本小题满分12分）
[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C：
＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2,0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
∠OMA＝∠OMB.
解析：
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
又M（2,0），所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
（2）证明：
当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
y＝k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为
kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k（x－1）代入＋y2＝1，得
（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补．
所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
22．（本小题满分12分）
[2019·衡水月考]已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形的面积为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：
y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？
若存在，求出点D坐标及该定值；若不存在，试说明理由．
解析：
（1）由已知可得解得a2＝2，b2＝c2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）由得（1＋2k2）x2＋8kx＋6＝0.
由Δ＝64k2－24（1＋2k2）＝16k2－24>0，
解得k<－或k>.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设存在点D（0，m）满足题意，则kAD＝，kBD＝，
所以kAD＋kBD＝＝＝.
要使kAD＋kBD为定值，只需6k－4k（2－m）＝6k－8k＋4mk＝2（2m－1）k与参数k无关，
故2m－1＝0，解得m＝.当m＝时，kAD＋kBD＝0.
综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.
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