配套K12中考数学 综合专题闯关训练四 猜想与证明无答案.docx

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配套K12中考数学综合专题闯关训练四猜想与证明无答案

专题四猜想与证明

1．猜想与证明问题怀化中考近7年共考查4次，都是以解答题的形式出现．

2．考查类型：

（1）与图形的位似有关，探究两条边之间的关系；

（2）与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图；（3）与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形；（4）折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，与图形的折叠、平移有关．

预计2016年怀化中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题．

中考重难点突破）

　与图形旋转有关的问题

【经典导例】

【例1】（2010河北中考）在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.

（1）如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

（2）将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：

AC＝BD，AC⊥BD；

（3）将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求

的值．

【学生解答】

【方法指导】

（1）在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．

（2）两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：

①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：

①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．

1．（2015重庆中考）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；

（2）如图2，将

（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：

BE＋CF＝

AB；

（3）如图3，将

（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：

BE＋CF＝

（BE－CF）．

2．（2015龙东中考）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.

（1）当直线m经过B点时，如图①，易证EM＝________CF（不需证明）；

（2）当直线m不经过B点，旋转到如图②、图③的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

　与图形相似、位似有关的问题

【经典导例】

【例2】（2014河北中考）如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．

（1）AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；

（2）在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图②和图③.

①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：

GH＝HD，GH⊥HD.

②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．

【解析】

（1）由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED.

（2）由△HGF≌△DHC可证GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴当CH＝k时可得CH＝FG＝k，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD.

【学生解答】

【方法指导】

（1）在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换．

（2）两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：

①平行线判定的定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：

①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．

已知直线MN与线段AB交于点O，点C在直线MN上，且∠ACN＝135°，以点O为位似中心，作△BOD与△AOC位似．

（1）如图①，若△BOD与△AOC的位似比为1∶3，写出AC与BD的数量关系和位置关系；

（2）在图②中，若△BOD与△AOC的位似比为1∶1，∠BEM＝45°，写出AC与BE的数量关系和位置关系，并证明；

（3）在图③中，若△BOD与△AOC的位似比为k∶1，∠BEM＝45°，求BE∶AC的值．

　与图形折叠、平移有关的问题

【经典导例】

【例3】（2014河北中考）图①和图②中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB＝2

.点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.

（1）点O到弦AB的距离是________，当BP经过点O时，∠ABA′＝________；

（2）当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；

（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．

【解析】

（1）作垂线OC，即为O到AB的距离．根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解．

（2）由

（1）得OC长度以及半径OB长度，即可求出∠OBC的正弦值，从而求得∠OBC.再利用∠ABP与∠OBC的关系求出∠OBP的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可．（3）在折叠过程中，BP有4个特殊位置，点A′落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA′与圆心O的位置可确定α的范围．

【学生解答】

【方法指导】解本题第（3）问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第

（1）、

（2）问情况的综合．在分类讨论α的最大取值时，很难想象出优弧AB完全折叠过去时的情况，即P点即将与B点重合时α的数值，可以先在图中画出点P、B重合时的情况，重合时α为一个临界点，找到此临界点，再使α小于此临界点即可解决．

（2015天津中考）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（

，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为A′.设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（1）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；

（2）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；

（3）当S＝

时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

　与尺规作图有关的问题

【经典导例】

【例4】（2014河北中考）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG.

（1）求证：

①DE＝DG；②DE⊥DG；

（2）尺规作图：

以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：

只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接

（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

（4）当

＝

时，请直接写出

的值．

【解析】

（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；

（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心，以DG为半径画弧交于点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）设CE＝x，由已知

＝

，表示出CB及CD，利用勾股定理求出DE2，进而得到

，即为所求．

【学生解答】

【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，

（1）若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；

（2）若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；（3）若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；（4）若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分．在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明．

1．（2015丽水中考）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

2．（2015济宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：

根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）作∠DAC的平分线AM；

（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E；

猜想并证明：

判断四边形AECF的形状并加以证明．

3．（2015太原中考）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

（1）尺规作图：

作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法．请标明字母．

（2）在你按

（1）中要求所作的图中，若BC＝3，∠A＝30°，求

的长．

拓展类型一　与点的位置变化有关的问题

1．（2014牡丹江中考）如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F.

（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：

CF＋BE＝CD；（提示：

过点F作FM∥BC交射线AB于点M.）

（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③.请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；

（3）在

（2）条件下，若∠ADC＝30°，S△ABC＝4

，则BE＝________，CD＝________．

拓展类型二　与图形变化有关的问题

2．（2015怀化模拟）探究并证明以下问题：

（1）如图①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB＝60°，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF，连接BF，求证：

BF＝OP；

（2）如图②，在正方形ABCD，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连接BF，直接写出BF与CP的数量关系________；

（3）如图③，在菱形ABCD中，AB∶AC＝m∶n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC＝∠AFP，连接BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

3．（2014河南中考）

（1）问题发现

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB的度数为________；

②线段AD、BE之间的数量关系为________．

（2）拓展探究

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD＝

.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．