配套K12中考数学 综合专题闯关训练四 猜想与证明无答案.docx
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配套K12中考数学综合专题闯关训练四猜想与证明无答案
专题四猜想与证明
1.猜想与证明问题怀化中考近7年共考查4次,都是以解答题的形式出现.
2.考查类型:
(1)与图形的位似有关,探究两条边之间的关系;
(2)与尺规作图有关,利用正方形的性质探究边与边之间的关系,其中有一问会涉及到如何作图;(3)与旋转有关,主要是利用旋转前后的性质,分别涉及到直线和正方形;(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析,与图形的折叠、平移有关.
预计2016年怀化中考仍会重点考查此内容,在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题.
中考重难点突破)
与图形旋转有关的问题
【经典导例】
【例1】(2010河北中考)在图①至图③中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.
(1)如图①,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;
(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②,其中AO=OB.求证:
AC=BD,AC⊥BD;
(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③,求
的值.
【学生解答】
【方法指导】
(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具,由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例.有时需先进行等量代换,将两线段放到相似三角形或全等三角形中,若出现直角三角形,则利用直角三角形的性质求解.
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直.先观察图形,根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直.若平行,则常通过以下方法进行证解:
①平行线的判定定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线性质等.若垂直,则可考虑以下途径:
①证明两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明.
1.(2015重庆中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将
(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:
BE+CF=
AB;
(3)如图3,将
(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=
(BE-CF).
2.(2015龙东中考)已知△ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别作BD⊥m于D,ME⊥m于E,CF⊥m于F.
(1)当直线m经过B点时,如图①,易证EM=________CF(不需证明);
(2)当直线m不经过B点,旋转到如图②、图③的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明.
与图形相似、位似有关的问题
【经典导例】
【例2】(2014河北中考)如图①,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.
(1)AE和ED的数量关系为________,AE和ED的位置关系为________;
(2)在图①中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图②和图③.
①在图②中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中点.求证:
GH=HD,GH⊥HD.
②在图③中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
【解析】
(1)由△ABE≌△DCE可得,AE=DE.由AB=BE=EC=CD,可知∠AEB=∠DEC=45°,所以∠AED=90°,故AE⊥ED.
(2)由△HGF≌△DHC可证GH=HD,GH⊥HD;由BC=2,可知BE=EC=1,∴EF=k,∴当CH=k时可得CH=FG=k,从而证明△HFG≌△DCH,得到GH=HD,GH⊥HD.
【学生解答】
【方法指导】
(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具,由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例.有时需先进行等量代换,将两线段放到相似三角形或全等三角形中,若出现直角三角形,则利用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换.
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直.先观察图形,根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直.若平行,则常通过以下方法进行证解:
①平行线判定的定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线性质等.若垂直,则可考虑以下途径:
①证明两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明.
已知直线MN与线段AB交于点O,点C在直线MN上,且∠ACN=135°,以点O为位似中心,作△BOD与△AOC位似.
(1)如图①,若△BOD与△AOC的位似比为1∶3,写出AC与BD的数量关系和位置关系;
(2)在图②中,若△BOD与△AOC的位似比为1∶1,∠BEM=45°,写出AC与BE的数量关系和位置关系,并证明;
(3)在图③中,若△BOD与△AOC的位似比为k∶1,∠BEM=45°,求BE∶AC的值.
与图形折叠、平移有关的问题
【经典导例】
【例3】(2014河北中考)图①和图②中,优弧AB所在⊙O的半径为2,AB=2
.点P为优弧AB上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.
(1)点O到弦AB的距离是________,当BP经过点O时,∠ABA′=________;
(2)当BA′与⊙O相切时,如图②,求折痕BP的长;
(3)若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B,设∠ABP=α,确定α的取值范围.
【解析】
(1)作垂线OC,即为O到AB的距离.根据垂径定理,构造直角三角形,利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解.
(2)由
(1)得OC长度以及半径OB长度,即可求出∠OBC的正弦值,从而求得∠OBC.再利用∠ABP与∠OBC的关系求出∠OBP的角度,根据直角三角形的边角关系计算即可.(3)在折叠过程中,BP有4个特殊位置,点A′落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上,观察图形由线段BA′与圆心O的位置可确定α的范围.
【学生解答】
【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析,也是对第
(1)、
(2)问情况的综合.在分类讨论α的最大取值时,很难想象出优弧AB完全折叠过去时的情况,即P点即将与B点重合时α的数值,可以先在图中画出点P、B重合时的情况,重合时α为一个临界点,找到此临界点,再使α小于此临界点即可解决.
(2015天津中考)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(
,0),点B(0,1),点O(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN⊥AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的对应点为A′.设OM=m,折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(1)如图①,当点A′与顶点B重合时,求点M的坐标;
(2)如图②,当点A′落在第二象限时,A′M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;
(3)当S=
时,求点M的坐标(直接写出结果即可).
与尺规作图有关的问题
【经典导例】
【例4】(2014河北中考)如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.
(1)求证:
①DE=DG;②DE⊥DG;
(2)尺规作图:
以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:
只保留作图痕迹,不写作法和证明);
(3)连接
(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;
(4)当
=
时,请直接写出
的值.
【解析】
(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等,再通过等量代换证明DE⊥DG;
(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心,以DG为半径画弧交于点F,得到正方形DEFG;(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形,然后证明四边形CEFK为平行四边形;(4)设CE=x,由已知
=
,表示出CB及CD,利用勾股定理求出DE2,进而得到
,即为所求.
【学生解答】
【方法指导】在判定四边形为平行四边形时,
(1)若已知一组对边平行,可以考虑利用证明这组对边相等,或证明另一组对边平行;
(2)若已知一组对边相等,可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等;(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等;(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分.在证明边相等时,将这两组对边放在两个三角形中,并证明这两个三角形全等;在证明边平行时,需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明.
1.(2015丽水中考)如图,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
2.(2015济宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.实践与操作:
根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E;
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
3.(2015太原中考)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)尺规作图:
作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法.请标明字母.
(2)在你按
(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求
的长.
拓展类型一 与点的位置变化有关的问题
1.(2014牡丹江中考)如图,在等边△ABC中,点D在直线BC上,连接AD,作∠ADN=60°,直线DN交射线AB于点E,过点C作CF∥AB交直线DN于点F.
(1)当点D在线段BC上,∠NDB为锐角时,如图①,求证:
CF+BE=CD;(提示:
过点F作FM∥BC交射线AB于点M.)
(2)当点D在线段BC的延长线上,∠NDB为锐角时,如图②,当点D在线段CB的延长线上,∠NDB为钝角时,如图③.请分别写出线段CF,BE,CD之间的数量关系,不需要证明;
(3)在
(2)条件下,若∠ADC=30°,S△ABC=4
,则BE=________,CD=________.
拓展类型二 与图形变化有关的问题
2.(2015怀化模拟)探究并证明以下问题:
(1)如图①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且∠AOB=60°,点P为线段BO上任意一点,以AP为边作等边三角形APF,连接BF,求证:
BF=OP;
(2)如图②,在正方形ABCD,点P为BC边上任意一点,以AP为边作正方形APMN,F为正方形APMN的中心,连接BF,直接写出BF与CP的数量关系________;
(3)如图③,在菱形ABCD中,AB∶AC=m∶n,点P为BC边上一点,以AP为对角线作菱形AFPM,满足∠ABC=∠AFP,连接BF,猜想BF与CP的数量关系,并证明你的结论.
3.(2014河南中考)
(1)问题发现
如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为________;
②线段AD、BE之间的数量关系为________.
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图③,在正方形ABCD中,CD=
.若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.