K12学习版高中数学 第二章 平面向量 234 平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4.docx

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K12学习版高中数学第二章平面向量234平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修4

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

学习目标

　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.

知识点　平面向量共线的坐标表示

已知下列几组向量：

（1）a＝（0，3），b＝（0，6）；

（2）a＝（2，3），b＝（4，6）；

（3）a＝（－1，4），b＝（3，－12）；

（4）a＝（，1），b＝（－，－1）.

思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？

答案　

（1）

（2）中b＝2a，（3）中b＝－3a，（4）中b＝－a.

思考2　以上几组向量中，a，b共线吗？

答案　共线.

思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

答案　坐标不为0时成正比例.

思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

答案　能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.

梳理　

（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.

（2）如果用坐标表示，可写为（x1，y1）＝λ（x2，y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线.

注意：

对于

（2）的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：

纵横交错积相减.

类型一　向量共线的判定与证明

例1　

（1）下列各组向量中，共线的是（　　）

A.a＝（－2，3），b＝（4，6）

B.a＝（2，3），b＝（3，2）

C.a＝（1，－2），b＝（7，14）

D.a＝（－3，2），b＝（6，－4）

答案　D

解析　A选项，（－2）×6－3×4＝－24≠0，

∴a与b不平行；

B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；

C选项，1×14－（－2）×7＝28≠0，∴a与b不平行；

D选项，（－3）×（－4）－2×6＝12－12＝0，

∴a∥b，故选D.

（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3）.判断与是否共线？

如果共线，它们的方向相同还是相反？

解　＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），

＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.

方法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0且（－2）×4<0，

∴与共线且方向相反.

方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反.

反思与感悟　此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.

跟踪训练1　已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），＝，＝，求证：

∥.

证明　设E（x1，y1），F（x2，y2）.

∵＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1），

∴＝＝（，），＝＝（－，1）.

∴（x1，y1）－（－1，0）＝（，），

（x2，y2）－（3，－1）＝（－，1），

∴（x1，y1）＝（－，），（x2，y2）＝（，0）.

∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（，－）.

∵4×（－）－（－1）×＝0，∴∥.

类型二　利用向量共线求参数

例2　已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？

解　方法一　ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），

a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，

使ka＋b＝λ（a－3b）.

由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4）.

得解得k＝λ＝－.

方法二　由方法一知ka＋b＝（k－3，2k＋2），

a－3b＝（10，－4），

∵ka＋b与a－3b平行，

∴（k－3）×（－4）－10（2k＋2）＝0，解得k＝－.

引申探究

1.若例2条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？

解　由例2知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，

这时ka＋b＝－a＋b＝－（a－3b），

∵λ＝－<0，

∴ka＋b与a－3b反向.

2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？

”，又如何求k的值？

解　a＋kb＝（1，2）＋k（－3，2）＝（1－3k，2＋2k），

3a－b＝3（1，2）－（－3，2）＝（6，4），

∵a＋kb与3a－b平行，

∴（1－3k）×4－（2＋2k）×6＝0，

解得k＝－.

反思与感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb（b≠0），列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.

跟踪训练2　设向量a＝（1，2），b＝（2，3），若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，则λ＝________.

答案　2

解析　λa＋b＝λ（1，2）＋（2，3）＝（λ＋2，2λ＋3），

∵λa＋b与c共线，

∴（λ＋2）×（－7）－（2λ＋3）×（－4）＝λ－2＝0，

∴λ＝2.

类型三　三点共线问题

例3　已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）.当k为何值时，A，B，C三点共线？

解　＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（10－k，k－12），

若A，B，C三点共线，则∥，

∴（4－k）（k－12）＝－7×（10－k），

解得k＝－2或11，

又，有公共点A，

∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.

反思与感悟　

（1）三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：

①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.

（2）若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.

跟踪训练3　已知A（1，－3），B，C（9，1），求证：

A，B，C三点共线.

证明　＝＝，

＝（9－1，1＋3）＝（8，4），

∵7×4－×8＝0，

∴∥，且AB，有公共点A，

∴A，B，C三点共线.

1.已知a＝（－1，2），b＝（2，y），若a∥b，则y的值是（　　）

A.1B.－1C.4D.－4

答案　D

解析　∵a∥b，∴（－1）×y－2×2＝0，∴y＝－4.

2.与a＝（12，5）平行的单位向量为（　　）

A.

B.

C.或

D.

答案　C

解析　设与a平行的单位向量为e＝（x，y），

则∴或

3.已知三点A（1，2），B（2，4），C（3，m）共线，则m的值为________.

答案　6

解析　＝（2，4）－（1，2）＝（1，2）.

＝（3，m）－（1，2）＝（2，m－2）.

∵A，B，C三点共线，即向量，共线，

∴存在实数λ使得＝λ，

即（1，2）＝λ（2，m－2）＝（2λ，λm－2λ）.

∴⇒

即m＝6时，A，B，C三点共线.

4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是（3，－1），（1，2），（－1，1），（3，－5）.求证：

四边形ABCD是梯形.

证明　∵A（3，－1），B（1，2），C（－1，1），D（3，－5）.

∴＝（－2，3），＝（4，－6）.

∴＝－2，即||＝||，

∴AB∥CD，且AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形.

5.已知A（3，5），B（6，9），M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标.

解　设点M的坐标为（x，y）.由||＝3||，得＝3或＝－3.

由题意，得＝（x－3，y－5），＝（6－x，9－y）.

当＝3时，（x－3，y－5）＝3（6－x，9－y），

∴解得

当＝－3时，（x－3，y－5）＝－3（6－x，9－y），

∴解得

故点M的坐标是或.

1.两个向量共线条件的表示方法

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

（1）当b≠0，a＝λb.

（2）x1y2－x2y1＝0.

（3）当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.

2.向量共线的坐标表示的应用

（1）已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

（2）已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

课时作业

一、选择题

1.设k∈R，下列向量中，与向量a＝（1，－1）一定不平行的向量是（　　）

A.b＝（k，k）B.c＝（－k，－k）

C.d＝（k2＋1，k2＋1）D.e＝（k2－1，k2－1）

答案　C

解析　由向量共线的判定条件知，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行.对任意k∈R，1·（k2＋1）＋1·（k2＋1）≠0，∴a与d不平行，故选C.

2.已知向量a＝（1，－2），|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是（　　）

A.（4，8）B.（8，4）

C.（－4，－8）D.（－4，8）

答案　D

3.已知三点A（－1，1），B（0，2），C（2，0），若和是相反向量，则D点坐标是（　　）

A.（1，0）B.（－1，0）

C.（1，－1）D.（－1，1）

答案　C

4.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－2b），则等于（　　）

A.－2B.2C.－D.

答案　C

解析　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），

a－2b＝（4，－1），∵（ma＋nb）∥（a－2b），

∴－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0，∴＝－，故选C.

5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（　　）

A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）

B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）

C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）

D.e1＝（2，－3），e2＝（，－）

答案　B

解析　A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；

B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；

C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；

D选项，2×（－）－（－3）×＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底.

故选B.

6.已知e1＝（1，0），e2＝（0，1），a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于（　　）

A.－1B.0C.－D.－2

答案　D

解析　∵e1＝（1，0），e2＝（0，1），a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，

∴a＝2（1，0）＋（0，1）＝（2，1），b＝λ（1，0）－（0，1）＝（λ，－1）.

又∵a∥b，∴2×（－1）－1×λ＝0，解得λ＝－2.故选D.

7.已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中，正确的个数为（　　）

①存在实数x，使a∥b；

②存在实数x，使（a＋b）∥a；

③存在实数x，m，使（ma＋b）∥a；

④存在实数x，m，使（ma＋b）∥b.

A.0B.1C.2D.3

答案　B

解析　只有④正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.

8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点坐标是（　　）

A.（1，5）或（5，5）

B.（1，5）或（－3，－5）

C.（5，－5）或（－3，－5）

D.（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）

答案　D

二、填空题

9.已知向量a＝（m，4），b＝（3，－2），且a∥b，则m＝________.

答案　－6

解析　因为a∥b，所以由（－2）×m－4×3＝0，解得m＝－6.

10.已知A（－1，4），B（x，－2），若C（3，3）在直线AB上，则x＝________.

答案　23

11.已知向量a＝（1，2），b＝（－2，3），若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________.

答案　λ＝μ

12.设＝（2，－1），＝（3，0），＝（m，3），若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________.

答案　{m|m∈R且m≠6}

解析　∵A，B，C三点能构成三角形.

∴，不共线.

又∵＝－＝（1，1），

＝（m－2，4），

∴1×4－1×（m－2）≠0.

解得m≠6.

∴m的取值范围是m∈R且m≠6.

13.已知直角坐标平面内的两个向量a＝（1，3），b＝（m，2m－3），使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋b，则m的取值范围是________.

答案　{m|m∈R且m≠－3}

解析　根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m－3－3m≠0，解得m≠－3.

所以m的取值范围是m∈R且m≠－3.

三、解答题

14.已知向量＝（6，1），＝（－2，－3），＝（x，y）且||＝，∥，求x，y的值.

解　由题意得＝－＝－（＋＋）

＝－[（6，1）＋（x，y）＋（－2，－3）]

＝（－x－4，－y＋2），

又＝（x，y），∥，

∴x（－y＋2）－y（－x－4）＝0.

化简得x＋2y＝0.

即x，y应满足的关系为x＋2y＝0.①

又∵||＝，∴x2＋y2＝5.②

由①②解得或

四、探究与拓展

15.如图所示，已知在△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标.

解　∵＝＝（0，5）＝，

∴C（0，）.

∵＝＝（4，3）＝，∴D.

设M（x，y），则＝（x，y－5），

＝＝.

∵∥，

∴－x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.①

又∵＝，＝，

∥，∴x－4＝0，

即7x－16y＝－20.②

联立①②，解得x＝，y＝2，

故点M的坐标为.