12.已知函数f(x)=x(|x|+1),则不等式f(x2)+f(x-2)>0的解集为( )
A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=
对任意x∈R恒成立,则f(2023)=________.
14.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
15.(开放题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
答案
函数的奇偶性与周期性
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.()
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点
对称.()
解析
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,
(1)错.
(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,
(2)错.
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.下列函数为奇函数的是()
A.y=exB.y=lg(x2+1)C.y=cosxD.y=ex-e-x
解析 A项中y=ex是非奇非偶函数,B,C中的函数均为偶函数,D项中函数y=ex-e-x为奇函数.
答案D
3.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,
f(x)=
则f
=________.
解析 由题意得,f
=f
=-4×
+2=1.
答案 1
4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
解析 由题意,得b=0,且2a=-(a-1),解得a=
,则a+b=
.
答案 B
5.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1B.e-x+1
C.-e-x-1D.-e-x+1
解析 由题意知,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.
答案 D
6.已知f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1.则f(2021)=________.
解析 由f(x+2)=f(x)知f(x)的最小正周期T=2,当x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,
∴f(2021)=f
(1)=log21+1=1.
答案1
考点一函数的奇偶性及其应用
角度1函数奇偶性的判断
【例1-1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=log2(x+
).
解
(1)由
得x2=3,解得x=±
,
即函数f(x)的定义域为{-
,
},
从而f(x)=
+
=0.
因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=log2(-x+
)=log2(
-x)
=log2(
+x)-1=-log2(
+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
规律方法判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
角度2函数奇偶性的应用
【例1-2】
(1)若函数f(x)=
在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为()
A.2B.1C.6D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=________.
解析
(1)因为f(x)=
=3-
,
所以f(x)-3=-
,∴f(t+1)-3=-
,t∈[-4,4].
又f(t+1)-3为奇函数,所以它在区间[-4,4]上的最大值、最小值之和为0,也是p-3+q-3=0,所以p+q=6.
(2)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
即f(0)=20+m=0,解得m=-1,
故f(x)=2x-1(x≥0),
则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
答案
(1)C
(2)-7
规律方法利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式:
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图象:
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值:
利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】
(1)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()
A.y=x3B.y=x
C.y=|x|D.y=|tanx|
(2)(角度1)设函数f(x)=
+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()
A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关
C.与a有关,但与b无关D.与a无关,但与b有关
(3)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
解析
(1)对于A,y=x3为奇函数,不符合题意;
对于B,y=x
是非奇非偶函数,不符合题意;
对于D,y=|tanx|是偶函数,但在区间(0,+∞)上不单调递增.故选C.
(2)f(-x)=
+b=
+b≠f(x),
所以f(x)一定不是偶函数;
设f(x)为奇函数,则由奇函数的定义知f(-x)+f(x)=0.
即
+b+
+b=
+2b=-2+2b=0,解得b=1,
即当b=1时,f(x)为奇函数,
当b≠1时,f(x)为非奇非偶函数,
所以f(x)的奇偶性与a无关,但与b有关.
(3)由于f(-x)=f(x),
即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,
化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0,
解得a=-
.
答案
(1)C
(2)D(3)-
考点二函数的周期性及其应用
【例2】
(1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
,则f
=()
A.
B.
C.1D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,且当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(100)=________.
解析
(1)因为f(x+2π)=f(x),所以f(x)的周期为2π.
所以f
=f
=f
=f
,
又因为当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
,
所以f
=2sin
=1.
(2)由题意,得f
(1)=f(4)=11,f
(2)=5,f(3)=8.
故f
(1)+f
(2)+f(3)=24,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(100)=33×[f
(1)+f
(2)+f(3)]+f(33×3+1)=803.
答案
(1)C
(2)803
规律方法1.注意周期性的常见表达式的应用.
2.根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
【训练2】
(1)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+2,则f
=________.
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.
解析
(1)依题意得f(-x)=f(x)且f(x+2)=f(x),
∴f
=f
=f
,
又当x∈[0,1]时,f(x)=x+2,
∴f
=f
=
+2=
.
(2)因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,
则f(6)=f(4)=f
(2)=f(0)=0.
又f
(1)=0,∴f(3)=f(5)=f
(1)=0,
故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
答案
(1)
(2)7
考点三函数性质的综合运用
角度1函数的单调性与奇偶性
【例3-1】
(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()
A.a
(2)设函数f(x)=ln(1+|x|)-
,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围为________________.
解析
(1)易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,
∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0.
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.
(2)由已知得函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),
由f(x)>f(2x-1),可得f(|x|)>f(|2x-1|).
当x>0时,f(x)=ln(1+x)-
,
因为y=ln(1+x)与y=-
在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)在(0,
+∞)上单调递增.
由f(|x|)>f(|2x-1|,可得|x|>|2x-1|,
两边平方可得x2>(2x-1)2,整理得3x2-4x+1<0,
解得
所以符合题意的x的取值范围为
.
答案
(1)C
(2)
规律方法1.比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;
2.对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式,如x1x2)求解.
角度2函数的奇偶性与周期性
【例3-2】
(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(2023)=()
A.20192B.1C.0D.-1
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f
(1)<1,f(5)=
,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,4)B.(-2,0)
C.(-1,0)D.(-1,2)
解析
(1)根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2023)=f(-1+2024)=f(-1),又函数y=f(x)为奇函数,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(-1)=-f
(1)=-1,故f(2023)=-1.
(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.
∴f(5)=f(-1)=f
(1)<1.
从而
<1,解得-1答案
(1)D
(2)A
规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
【训练3】
(1)(角度1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(lnx)(2),则x的取值范围是( )
A.(0,e2)B.(e-2,+∞)
C.(e2,+∞)D.(e-2,e2)
(2)(角度2)函数y=f(x)和y=f(x+2)均是偶函数,且f
(1)=
,设F(x)=f(x)+f(-x),