知识点025等腰三角形等边三角形.docx

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知识点025等腰三角形等边三角形

一、选择题

1.（2012贵州贵阳，4，3分）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE,BC＝EF,要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　　）

A.∠BCA＝∠FB.∠B＝∠EC.BC∥EFD.∠A＝∠EDF

考点解剖：

本题考查全等三角形的判定.熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

解题思路：

由全等三角形的判定“SAS”想到需要添加一个夹角，即∠B＝∠E.

解答过程：

∵AB＝DE,BC＝EF,∠B＝∠E,∴△ABC≌△DEF.故选B.

规律总结：

由全等三角形的判定方法：

“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”.分析题设与结论,找出一个需要添加的条件.

关键词：

全等三角形的判定.

2.（2012山东淄博，5，4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为βB．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5D．两条边长是5，一个角是β

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定方法，记清记全三角形全等的各种识别条件是正确作答的入手点．

解题思路：

根据所给条件是否符合三角形全等的各判定条件SAS、ASA、AAS、SSS，易于得到正确结果．

解答过程：

解：

选项A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”，选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”，选项C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”，因此，它们都能确定该三角形与已知三角形全等．当两条边长是5，其夹角是β时，所得到的三角形则与原三角形不全等，故选项D不合题意，选D．

规律总结：

当题目中已知两边“SS”时，根据三角形全等的判定条件，可选择“SAS”，或“SSS”进一步探索推理的思路；若已知一边一角“SA”时，可根据题意再补上一角或另一边，应用“SAS”，或“ASA”，或“AAS”进行说理；若已知两角“AA”时，则应补上一边，利用“AAS”，或“ASA”进行推理．总之，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法．

另外，若两边及其中一边的对角对应相等，则两个三角形不一定全等．可是，两边及其中较长边所对的角对应相等的两个是三角形全等的．事实上，当已知∠E的度数，边DE、DF的长，作△DEF时，若DE＜DF，则在先作出∠E，并截得边ED后，再以点D为圆心，以DF的长度为半径画弧时，与射线EN只存在一个交点（如图所示），即此时△DEF的形状、大小是惟一确定的，从而具备这样条件的三角形一定全等．

关键词：

一般三角形的识别（SAS、ASA、SSS）

3.（2012山东济宁，5，3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（）

A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等

考点解剖：

用尺规作角的平分线．掌握尺规平分角的步骤，明确作图的依据是关键．

解题思路：

平分已知角的步骤：

）

（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边与M，N．

（2）分别以M，N为圆心以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于角的内部一点C．（3）作射线OC．射线OC就是角的平分线．

解答过程：

由步骤

（1）得OM＝ON，由步骤

（2）得MC＝NC，因为OC＝OC，∴△ONC≌△OMC．（SSS），故答案选A．

规律总结：

尺规作图的每一步事实上都给出了一个条件，希望在平时的作图中慢慢体会．在平分角的作图中，第

（2）在角的外部两弧也交于一点，角的顶点与这点的连线是这个角的对顶角的平分线．

关键词：

尺规作图,平分已知角

4.（2012广西柳州，4，3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果∆PQO≌∆NMO，则只需测出其长度的线段是（）

A．B．C．D．

考点解剖：

本题考查全等三角形的性质，关键在于理解全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．

解题思路：

根据全等三角形的对应边相等来解．

解答过程：

因为MN和PQ是对应边，根据全等三角形的对应边相等可知只要测出PQ的长即可求得MN的长．

规律总结：

全等三角形的对应边相等．

关键词：

全等三角形性质

5.（2012广西柳州，4，3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO,则只需要测出其长度的线段是（）.

A．POB．PQC．MOD．MQ

考点解剖：

本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是巧妙地借助两个三角形全等的性质，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．

解题思路：

根据全等三角形的对应边相等的性质先确定线段MN的对应边，MN的对应边就是要测量的长度的线段.

解答过程：

解:

由于△PQO≌△NMO，根据全等三角形的对应边相等，得PQ=MN,所以PQ的长就是池塘两端M、N的距离，所以要测出其长度的线段是PQ，故选B.

规律总结：

由于全等三角形的对应边相等，因此在全等三角形中，我们通常是通过寻找对应边来实现线段之间的转换.

关键词：

全等三角形的应用

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二、填空题

1.（2012山东临沂，18，3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，那么AE＝cm.

考点解剖：

本题主要考查全等三角形的判定和性质．能够通过全等三角形来求得AC和CE的长度，是解答此题的关键.

解题思路：

根据已知条件，易证△ACB≌△FEC，得出AC=EF，CE=BC，因为BC=2，EF=5，则得AE=3．

解答过程：

解：

∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵EF⊥AC，∴∠ACB=∠FEC=90°，∵BC=CE，∴△ACB≌△FEC，∴EF=AC，∵BC=2，EF=5，∴AE=AC-EC=EF-BC=5-2=3．故答案为：

3．

规律总结：

若探索线段相等，可考虑它们所在两个三角形是否全等，若探索位置关系，可考虑所对应的角的关系．

关键词：

直角三角形全等的判定与性质．

2.（2012四川绵阳，15，4分）如图BC=EC,∠1=∠2,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为__________.（答案不唯一，只需填一个）

考点解剖：

本题考查了一般三角形全等的判定方法：

SSS、SAS、AAS、ASA.

解题思路：

根据已知可知两个三角形已经具备S、A对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以全等.

解答过程：

若根据SAS证明时，则可以添加CD=CA；若根据AAS证明时，则可以添加∠A=∠D；若根据ASA证明时，则可以添加∠B=∠E．

规律总结：

一般三角形全等的判定方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS，对于直角三角形的判定方法还有HL.

关键词：

三角形全等的判定方法

3.（2012山东潍坊，16，3分）如图6所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件__________________，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一角与一夹边，根据判定方法选择条件是解答本题的关键．

解题思路：

根据∠ABD=∠CBE可以得到∠ABC=∠DBE，然后根据“ASA”或“SAS”或“AAS”写出第三个条件即可．

解答过程：

解：

∵∠ABD=∠CBE，

∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，

即∠ABC=∠DBE，

∵AB=DB，

∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“SAS”，需添加BE=BC，③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案为：

∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB等（写出一个即可）

规律总结：

根据不同的判定三角形全等的方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出错的地方．

关键词：

一般三角形的识别条件开放型问题

4.（四川雅安，17，3分）在△ADB和△ADC中，下列条件：

①BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=DC；④∠ADB=∠ADC，BD=DC.能得出△ABD≌△ACD的序号是.

考点剖析：

本题考察了全等三角形的判定，弄清判断三角形全等三元素之间的对应关系是解决问题的基础，对于这类综合型的分类讨论是解决的关键.

解题思路：

根据题目可知，两三角形有一条公共边，判定三角形全等的常用方法有SAS，SSS，ASA，AAS和HL.

解答过程：

①BD=DC，AB=AC，AD=AD是公共边，根据SSS可判定两三角形全等；因此①可以.②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；根据AAS可判定两三角形全等；因此②可以；③∠B=∠C，BD=DC；两三角形中相等的对应元素是SSA后ASS因此③不能判定两三角形全等.④∠ADB=∠ADC，BD=DC，根据SAS可判定两三角形全等；因此④可以.故正确答案为①②④.

答案：

①②④

规律总结：

要选择无法判别两个三角形全等的条件，可根据题目中的已知条件和图形中的隐含条件，再结合所给的条件，看是否符合SAS，ASA，AAS，SSS、HL中的一个，不符合的就是无法判定全等的条件.注意SSA或ASS不能判定两三角形全等.

关键词：

全等三角形的判定分类讨论

5.（2012福建三明，14，4分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是　　　　　（不再添加辅助线和字母）．

考点解剖：

这是一道开放题，本题主要考查了三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定是解答本题的关键．

解题思路：

本题已给出两个条件：

一边一角对应相等，只需添加一个条件：

边或角对应相等，使△BED≌△CFD，便可得到DE＝DF

解答过程：

∵D是BC边上的中点

∴BD＝CD

又∵∠BDE＝∠CDF

要使DE＝DF成立，只要△BED≌△CFD

可添加AB＝AC；或∠B＝∠C；或∠BED＝∠CFD；或∠AED＝∠AFD

故答案：

答案不唯一；如AB＝AC；或∠B＝∠C；或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD

规律总结：

证明线段相等，通常证三角形全等，而证明三角形全等，要根据三角形全等的判定：

SSS、SAS、ASA、AAS

关键词：

三角形全等的判定和性质结论开放型问题

6.（2012甘肃白银，16，4分）如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝BF，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需填一个即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的判定方法是顺利解题的关键．

解题思路：

由于AD=BF，则AB=CF，又AC=FE，则△ABC与△FDE已具备了两组边对应相等，要判定△ABC≌△FDE，故添加这两组边的夹角相等或第三边对应相等，注意本题答案不唯一．

∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．

解答过程：

解：

∵AD=BF，

∴AB=CF，又∵AC=FE，

∴根据SAS，只要添加∠A=∠F或AC∥EF即可判定△ABC≌△FDE；

根据SSS，只要添加BC=DE即可判定△ABC≌△FDE．

故答案为：

∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．

规律总结：

本题是一道条件探索型问题，考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，在选择条件时要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA的形式．

关键词：

全等三角形的判定条件探索型问题

7.（2012黑龙江黑河，3，3分）如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是.（填一个即可）

考点解剖：

本题以条件开放形式考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，了解不能判定三角形全等的反例。

解题思路：

由AC=BD，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS或SAS证得，若用SSS，可填AB=CD；若用SAS，可填∠ACB=∠DBC.

解答过程：

解：

∵AC=BD，BC是公共边，∴要使△ABC≌△DCB，需添加：

①AB=DC（SSS），②∠ACB=∠DBC（SAS）．此题答案不唯一：

如AB=DC或∠ACB=∠DBC．

规律总结：

根据题目所给条件，结合全等判定方法进行添加合适条件.

关键词：

全等三角形的判定

8.（2012青海，9，2分）如图4所示，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，则需要添加的条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．

考点解剖：

本题考察了全等三角形的判定方法，掌握各种判定方法的内容是解决问题的关键．

解题思路：

从已知可以看出该问题已经具备的条件是一边和一角（公共角）对应相等，因此可以从不同的判定方法选择合适的条件．

解答过程：

开放题型，答案不唯一．如利用SAS证明时，则需要添加AC＝AB；若利用AAS证明时，则需要添加∠B＝∠C,若利用ASA证明时，则添加∠AEB＝∠ADC．

规律总结：

一般三角形全等的判定方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS，对于直角三角形中还有HL．

关键词：

全等三角形的判定方法

9.（2012黑龙江黑河，3，3分）如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是.（填一个即可）

考点解剖：

本题以条件开放形式考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，了解不能判定三角形全等的反例。

解题思路：

由AC=BD，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS或SAS证得，若用SSS，可填AB=CD；若用SAS，可填∠ACB=∠DBC.

解答过程：

解：

∵AC=BD，BC是公共边，∴要使△ABC≌△DCB，需添加：

①AB=DC（SSS），②∠ACB=∠DBC（SAS）．此题答案不唯一：

如AB=DC或∠ACB=∠DBC．

规律总结：

根据题目所给条件，结合全等判定方法进行添加合适条件.

关键词：

全等三角形的判定

10.（2012齐齐哈尔，13，3分）如图，已知AC=DB，要使∆ABC≌∆DCB，则只需添加一个适当的条件是__________________．（填一个即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定，熟记三角形全等的条件是解题的关键.

解题思路：

在∆ABC和∆DCB中，已有AC=DB（已知），BC=CB（公共边），故要∆ABC≌∆DCB，还需AB=DC或∠ACB=∠DBC.

解答过程：

在∆ABC和∆DCB中，已有AC=DB和BC=CB，故要∆ABC≌∆DCB，根据边边边，还需AB=DC；根据边角边，还需∠ACB=∠DBC.

答案：

AB=DC或∠ACB=∠DBC.

规律总结：

三角形全等的判定有“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”.

关键词：

全等三角形

11.（2012山东潍坊，16，3分）如图6所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件__________________，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一角与一夹边，根据判定方法选择条件是解答本题的关键．

解题思路：

根据∠ABD=∠CBE可以得到∠ABC=∠DBE，然后根据“ASA”或“SAS”或“AAS”写出第三个条件即可．

解答过程：

解：

∵∠ABD=∠CBE，

∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，

即∠ABC=∠DBE，

∵AB=DB，

∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“SAS”，需添加BE=BC，③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案为：

∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB等（写出一个即可）

规律总结：

根据不同的判定三角形全等的方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出错的地方．

关键词：

一般三角形的识别条件开放型问题

12.（2012甘肃平凉，16，4分）如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需填一个即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定；在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取.

解题思路：

要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．

解答过程：

增加一个条件：

∠A=∠F，

显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．

故答案为：

∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．

规律总结：

全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取

关键词：

全等三角形的判定

13.（2012黑龙江鸡西，13，3分）如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是.（填一个即可）

考点解剖：

本题考查了三角形全等的条件，关键要熟悉全等三角形的四种（直角三角形有五种）判定方法。

解题思路：

根据三角形全等的条件逆向来分析所需要的条件进而来解决本题。

解答过程：

因为BC=BC，AC=BD，所以AB=CD可以根据“边边边”判定定理可以知道△ABC≌△DCB，另外如果∠ACB=∠DBC，则根据“边角边”定理可以判断。

答案：

AB=CD或∠ACB=∠DBC

规律总结：

分种三情况：

（1）已知两边分别对应相等，可添加第三组对应边相等，还可添已知两边的夹角相等；

（2）已知一边一角分别对应相等，可以再添加任意一对角相等，如果已知角和已知边是相对的关系，只能再添加角对应相等，如已知边是已知角的一边，那可再添加这对对应角的另一对应边相等；（3）已知两角对应相等，那么只要再添加一边对应相等，但不能再添加角相等了，因为全等三角形判定中至少要有一对边对应相等。

关键词：

三角形全等的判定条件开放题

14.（2012黑龙江牡丹江，2，3分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，请写出图中的全等三角形___（写一对即可）

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，结合题目所给的条件选用适当的判定方法来确定全等三角形是解题的关键。

解题思路：

要判定全等三角形，结合题目所给的AB=AC,AD=AE，只需要再要一个条件即可。

先根据等腰三角形的性质等边对等角或者三线合一可以得到∠BAD=∠CAE或BD=CE，也可以利用外角得出∠BAD=∠CAE，再结合已知AB=AC,AD=AE，从而得到全等三角形。

解答过程：

解法1∵AB=AC,AD=AE∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED

∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠CAE∴∠BAD=∠CAE

∵AB=AC,AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）,

也可以利用SAS得△ABE≌△ACD

解法2：

过A点作AF⊥BC于F

∵AB=AC,AD=AE∴BF=CF,DF=EF（三线合一）∴BD=CE

∵AB=AC,AD=AE∴△ABD≌△ACE（SSS）,

也可以利用SSS得△ABE≌△ACD

∴本题答案填△ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD，其中一个即可。

答案：

答案不唯一，填写△ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD，其中一个即可。

规律总结：

当已知两个三角形中有两边对应相等时，应寻找夹角相等，通过SAS来证明全等或者寻找第三边相等，通过SSS来证明全等。

关键词：

等腰三角形，三线合一，全等三角形,三角形的外角。

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三、解答题

1.（2012广东广州，18，9分）如图6，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：

BE＝CD

图6

考点解剖：

本题考查了全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

解题思路：

边看图边把题中的条件标在图上，加上公共角∠A，满足“ASA”三个条件，由此即可判定三角形全等．

解答过程：

【答案】证明：

∵在△ABE和△ACD中：

∠B＝∠C；AB＝AC；∠A＝∠A

∴△ABE≌△ACD（ASA）

∴BE＝CD．

规律总结：

证明三角形全等，一般的方法都是先看图并且把题中的条件标在图上，符合条件的直接判定三角形全等，条件不够的需要根据题中已知条件推理出相应的条件．

关键词：

全等三角形的判定

2.（2012衡阳，23，6分）如下图所示，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．

考点解剖：

本题属于条件开放性问题，解题时可任添加一个使结论成立的条件．

解题思路：

由已知，两个三角形有一边和一个角对应相等，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边对应相等，或添加另一个角相等均可．

解答过程：

可添加条件：

BC=EF或∠A=∠D或∠B=∠E．现就添加条件BC=EF证明如下：

∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFE．又BC=EF，∴△ABC≌△DEF．

规律总结：

判定两个三角形全等的方法有：

边角边，角边角，角角边，边边边，直角三角形全等的判定还有“斜边、直角边”．

关键词：

条件开放性问题，全等三角形的判定

3.（2012浙江温州，18，8分）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上．现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形．

（1）在图①中画出一个三角形与△PQR全等；

（2）在图②中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．

考点解剖：

本题考查了对格点多边形的认识，利用格点构建全等三角形，考查了等底等高的三角形面积相等的知识．

解题思路：

（1）先判断△PQR的形状和各边长，然后利用格点的性质和全等三角形的判定方法构建所求三角形；

（2）根据等底等高的三角形面积相等，先找到一条相等的边，再根据网格线的平行关系构建相等的高．

解答过程：

参考图如下：

规律总结：

相同边长的正方形网格，是研究全等和相似很好的载体，如果线段在网格线上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题．

关键词：

全等三角形，格点多边形，面积法．

4.（2012福建福州，17，7分）

（1）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF，求证：

△ABF≌△CDE.

考点解剖：

本题是一道简单的证明题，主要考查全等三角形中的边角边判定.掌握全等三角形的判定方法是关键.

解题思路：

（1）由平行线的内错角相等，得到∠A＝∠C；

（2）