苏科版八年级上《第3章勾股定理》单元测试含答案解析.docx
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苏科版八年级上《第3章勾股定理》单元测试含答案解析
《第3章勾股定理》
一、选择题
1．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13B．3，4，7C．4，7.5，8.5D．8，15，17
2．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．三个角的度数之比为1：
3：
4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：
4：
5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：
4：
5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：
12：
13的三角形是直角三角形
4．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
6．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cmB．3cmC．4cmD．5cm
二、填空题
7．若△ABC的三边长满足a2=b2+c2，则△ABC是 三角形且∠ =90°．
8．在Rt△ABC中，已知两边长为6和8，则第三边长为 ．
9．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为 ．
10．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．
12．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．
三、解答题
13．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，求另一条直角边的长．
14．如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：
（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为 、 、 ，比较后得AG2最小为 ．即最短路线的长是 ．
（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．
15．一个三角形三条边的比为5：
12：
13，且周长为60cm，求它的面积．
16．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=25，点D在BC上，AD=24，BD=7，试问AD平分∠BAC吗？
为什么？
18．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
《第3章勾股定理》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13B．3，4，7C．4，7.5，8.5D．8，15，17
【考点】勾股数．
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：
A、62+122≠132，故错误；
B、32+42≠72，故错误；
C、7.5，8.5不是正整数，故错误；
D、82+152=172，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
2．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，可知：
把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
【解答】解：
设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为
=2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故选A．
【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．三个角的度数之比为1：
3：
4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：
4：
5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：
4：
5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：
12：
13的三角形是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【解答】解：
A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为22.5°，67.5°，90°，所以是直角三角形；
B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；
D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形．
故选B．
【点评】此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法．解题的关键是对知识熟练运用．
4．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：
化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：
C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：
可用勾股定理的逆定理判定．
5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：
BC+AC．
【解答】解：
连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=
=10，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长为：
AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．
故选A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．
6．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cmB．3cmC．4cmD．5cm
【考点】勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【解答】解：
∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边=
=10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为
×10=5cm．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
二、填空题
7．若△ABC的三边长满足a2=b2+c2，则△ABC是 直角 三角形且∠ A =90°．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：
∵△ABC的三边长满足a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形且∠A=90°．
故答案为：
直角，A．
【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8．在Rt△ABC中，已知两边长为6和8，则第三边长为 10或2
．
【考点】勾股定理．
【分析】由于斜边没有明确的规定，所以要分情况求解．
【解答】解：
当8是斜边时，第三边是
=
=2
；
当8是直角边时，第三边是10．
【点评】此类题一定要注意两种情况，熟练运用勾股定理．
9．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为 2
．
【考点】勾股定理；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出x2、y2，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：
由题意得，x2﹣4=0，y2﹣16=0，
所以，x2=4，y2=16，
由勾股定理得，斜边的平方=x2+y2=4+16=20，
所以，斜边=
=2
．
故答案为：
2
．
【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出方程是解题的关键．
10．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 108 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的面积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可．
【解答】解：
∵92+122=225，152=225，
∴92+122=152，
这个三角形为直角三角形，且9和12是两条直角边；
∴拼成的四边形的面积=
×9×12×2=108．
故答案为：
108．
【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 17 cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【解答】解：
根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49﹣8﹣10﹣14=17（cm2）；
故答案为：
17．
【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：
以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
12．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即
=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解答】解：
如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即
=10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10=2cm，
故答案为2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
三、解答题
13．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，求另一条直角边的长．
【考点】勾股定理．
【分析】设另一条直角边的长为x，根据三角形的周长的定义表示出斜边，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：
设另一条直角边的长为x，
则斜边为：
30﹣5﹣x=25﹣x，
由勾股定理得，x2+52=（25﹣x）2，
解得x=12．
答：
另一条直角边的长12．
【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
14．如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：
（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为 37 、 25 、 29 ，比较后得AG2最小为 25 ．即最短路线的长是 5 ．
（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】
（1）蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后利用勾股定理求其对角线，比较大小即可求得最短的途径；
（2）根据勾股定理，知长方体盒子内能容下的最长木棒的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．
【解答】解：
（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为（4+2）2+12=37、42+（1+2）2=25、22+（4+1）2=29，比较后得AG2最小为25．即最短路线的长是5．
（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．
故答案为37，25，29，5．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意：
长方体中最长的对角线的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．
15．（2009秋•福鼎市校级月考）一个三角形三条边的比为5：
12：
13，且周长为60cm，求它的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据周长求得直角三角形的两条直角边，从而求得其面积．
【解答】解：
设该三角形的三边是5k，12k，13k．
因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，
所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．
根据题意，得5k+12k+13k=60，
解得k=2，
则5k=10，12k=24，
则该直角三角形的面积是120．
故答案为：
120cm2．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，同时熟悉直角三角形的面积公式．
16．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得出∠ACB=∠DEB=90°，AB=DB，∠ABD=90°，求出∠CAB=∠DBE，根据AAS推出△ACB≌△BED，根据全等得出AC=BE，DE=BC，根据勾股定理得出即可．
【解答】解：
∵根据正方形的性质得：
∠ACB=∠DEB=90°，AB=DB，∠ABD=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
在△ACB和△BED中
∴△ACB≌△BED，
∴AC=BE，DE=BC，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=AC2+DE2=5+11=16，
即正方形b的面积是16．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出△ACB≌△BED，题目比较好．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=25，点D在BC上，AD=24，BD=7，试问AD平分∠BAC吗？
为什么？
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质．
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论．
【解答】解：
AD平分∠BAC，理由为：
∵在△ABC中，AB=AC=25，AD=24，BD=7，
∴252=242+72，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC．
【点评】考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是得到AD⊥BC．
18．（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，
（1）当AB=AD时，求出CD即可；
（2）当AB=BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x﹣6，求出即可．
【解答】
解：
如图1，在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
（1）如图1，当AB=AD时，CD=6m，
△ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m；
（2）如图2，当AB=BD时，CD=4m，AD=4
m
△ABD的周长是10m+10m+4
m=（20+4
）m；
（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x﹣6，
则x2=（x﹣6）2+82，
∴x=
，
∴△ABD的周长是10m+
m+
m=
m，
答：
扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4
m或
m．
【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
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