中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答.docx
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中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
中考数学几何图形旋转典型试题
一、填空题
1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于 ．
2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是 cm．
3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为 cm．
4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是 ．
二、解答题
5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
（1）求证：
BP=DP；
（2）如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？
若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.
6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？
按下列步骤可画出这个风车图案：
在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4.根据以上过程，解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（2，1），写出此时点B的坐标；
（2）请你在图6－2中画出第二个叶片F2；
（3）在
（1）的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？
7.如图7，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1,0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）.
（1）求点P6的坐标；
（2）求△P5OP6的面积；
（3）我们规定：
把点Pn（xn,yn）（n=0,1,2,3,…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|,|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．
8.（台州市）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
9.（浙江省）如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图9－2）， 量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图9－3至图9－6中统一用F表示）
图9－1 图9－2 图9－3
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图9－3中的△ABF沿BD向右平移到图9－4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图9－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图9－3中的△ABF沿直线AF翻折到图9－6的位置，AB1交DE于点H，请证明：
AH﹦DH.
图9－4 图9－5 图9－6
参考答案
一、1.
2.6－2
3.2π 4.1
二、
5.解：
（1）解法一：
在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：
利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
（2）不是总成立.
当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立.
（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图1-1中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC.
从而有BE=DF.
6.解：
（1）B（6,1）
（2）图略
（3）线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由
（1）知B点坐标为（6,1），∴OB2＝OD2＋BD2＝62＋12＝37.∴线段OB扫过的图形面积是
.
7.解：
（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P6（0,26），即P6（0,64）．
（2）由已知可得，
△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn，
设P1（x1,y1），则y1=2sin45°=
∴
.
又∵
∴
.
（3）由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：
令旋转次数为n.
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n,0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，
此时，点Pn的绝对坐标为
，即
.
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（0,2n）．
8.解：
HG＝HB．
证法1：
连结AH（如图10）.
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴∠B＝∠G＝90°．
由题意，知AG＝AB，又AH＝AH，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.
∴HG=HB．
证法2：
连结GB（如图11）．
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴∠ABC＝∠AGF＝90°．
由题意知AB＝AG．
∴∠AGB＝∠ABG．
∴∠HGB＝∠HBG．
∴HG＝HB．
9.解：
（1）图形平移的距离就是线段BC的长.
∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm.
∴平移的距离为5cm．（2分）
（2）∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°，
∴∠FGD＝90°．
在Rt△EFD中，ED=10cm，∴
.
∵FG＝
cm．
（3）在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°.
∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，
∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．
又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS）．
∴AH＝DH.
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