湘大概率论与数理统计复习题.docx
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湘大概率论与数理统计复习题
一、单项选择题
1.设A，B是两个互不相容的事件，
PA
0，PB
0,则
一定成立。
A：
PA
1PB.
B:
PA|B
0.
C：
PA|B
1.
D:
PAB
0.
2.随机变量
X的分布函数一定为
。
A：
不减函数，
B:
不增函数，
C：
严格减函数，
D：
严格增函数
.
3.设随机变量
X~tn
，则
X2服从的分布为
。
A:
tn；
B：
t1/n；
C：
F1，n；
D：
Fn,1;
4、设随机变量
X与X2的期望都存在，则一定有
。
A：
EX2
EX;
B:
EX
2
EX
2；
C:
EX2
EX；
D:
EX
2
EX
2
5、设随机变量
X服从指数分布
e0.01
，则
EX
等于
。
A：
0.01
B:
0.1
C:
10
D:
100
1、设A，B是两个互不相容的事件，PA
0，PB
0,则
一定成立。
A：
PA1PB.
B:
PA|B0.
C：
PA|B1.
D:
PAB0.
答案：
B
解析：
互不相容
互斥
即有：
互斥互不相容；反之不成立。
例子:
若事件总体集合为A，B，C，那么A与B为互不相容事件，但
不是互斥事件。
若事件总体集合为A,B，那么A与B为互不相容事件，又是互
斥事件。
则很显然A选项是错误的，（原因是：
题中没有说A，B构成整个样
本空间）。
由A，B是两个互不相容的事件，则有以下式子成立：
PA
B
PA
PB
PAB
0
有条件概率公式得：
PAB
0
pA|B
0
PB
PB
即B选项正确。
PAB
PA-PAB
PA
C选项错误
pA|B
PB
1
PB
PB
PAB1-PAB
1所以D选项错误。
2.随机变量
X的分布函数一定为
。
A：
不减函数，
B:
不增函数，
C：
严格减函数，
D：
严格增函数
.
答案:
A
解析:
分布函数的性质；
0
Fx1
且F
lim
Fx1；F-
limFx
0。
x
x-
Fx
是x的单调不减函数，即若x1x2，则Fx1
Fx2。
3、设随机变量X~tn
，则X2
服从的分布为
。
A:
tn；
B：
t1/n；
C：
F1，n；
D：
Fn,1;
答案：
C
解析：
X~tn，根据tn的定义有：
设X
x!
其中
x1~N0,1，x2
~
2
n
；
x2
n
又因为
x12
~
2
1
，
所以根据
F分布的定义知
2~F1，n
，故选
C。
知识点：
1、
2
n
分布
设
x1,x2,
xn相互独立，且都服从标准正态分布
N0,1，则称随机变量
n
X
2
xi2
所服从的分布为自由度为
n的
2分布，记为
2
n
。
i1
2、tn
分布
设X~N0,1
，Y~
2
n
，且
X与Y
独立，则称随机变量
T
X
，所
Y
n
服从的分布为自由度为n的t分布，记为t~tn。
3、F分布
设：
X~
2n，Y~
2m，且X与Y独立，则称随机变量F
X/n所
Y/m
服从的分布为第一自由度为
n，第二自由度为m的F分布，
记为
F~Fn，m。
4、设随机变量
X与X2的期望都存在，则一定有
。
A：
EX2
EX;
B:
EX2
EX
2；
C:
EX2
EX；
D:
EX
2
EX
2
答案：
B
考点：
方差的计算公式：
Dx
EX
2
EX
2
由于
X
与X2的期望都存在，知
Dx
存在，并且
Dx
0
则有：
EX
2
EX
2
0
EX2
EX
2
故选B选项。
5、设随机变量
X服从指数分布e0.01
，则EX等于。
A：
0.01
B:
0.1
C:
10
D:
100
答案：
D
解析：
由e0.01
，知
0.01，
1
1
100。
所以Ex
0.01
知识点：
1、两点分布
Ex
p，
Dx
p1p；
2、X~Bn,p
Exnp，Dxnp1p；
3、X~P
Ex，Dx
4、X~Ua,b
Ex
ab，
Dx
b
a2
2
12
5、指数分布，参数为
Ex
1
，
Dx
1
2
6、X~N
，
2
Ex
，
Dx
2
二、填空题
1、袋子中有5白球3黑球，一次无放回取球，每一次取
1球，
则第6次取白球的概率为
。
2、已知随机变量
X满足
EX
，DX
2，则由切比雪夫不等式，
有
PX-
5
3、设?
1，?
2，?
3是总体未知参数
的无偏估计，?
a?
1
6?
22?
3，
如果?
也是的无偏估计，则a。
4、已知相互独立的随机变量X~N2,3
2
，
2，则
Z
X-2Y
的
Y~N1,2
概率分布密度函数fzz。
5、设总体X的方差为50，x1,x2
x10为样本，则样本均值x的方差
=。
解析：
1、解：
C54C13A55
1
C53C32A55
2
C52C33A33
3
5。
A85
3
A85
3
A85
3
8
2
2、考察：
切比雪夫不等式PX
2
，本题中的
5，代入公
式，得：
2
1
PX
5
2
25
3、该题属于无偏估计问题
有定义知如果?
的数学期望等于未知参数，即E?
则称?
为的无
偏估计。
由?
1，?
2，?
3是总体未知参数的无偏估计，则有E?
1，E?
2，
E?
3
设?
是的无偏估计，则有E?
，即有E?
aE?
1-6E?
22E?
3，推
出a5。
4、解:
Ex
2
Dx
32
Ey
1
Dy
22
EzEx2Ey220DzDx4Ey32
422
52
1
x2
Z~N0,5
有正态分布的密度函数知fzz
50。
e
10
考点：
x
正态分布具有可加性，正态分布的密度函数fx
1
e2
2
2
2
数学期望的线性性质：
EX
Y
EXEY。
方差的线性性质：
Dcx
c2Dx
，DxyDxDy
5、解：
有X~N
，2
N
，
50
2
50
x~N,
N,N,5
n
10
考点：
定理:
设x1,x2
xn是来自某个总体的样本，
x为样本均值，
（）若总体分布为N，
2
则的精确
分布为
2
x
N
，
1
n
（2）若总体分布未知或不是正态分布，
Ex
var
2存在，
则n较大时x的渐进正态分布为N
2
2
，，常记x~N
，
（这里的
n
n
渐近分布是指n较大的近似分布）。
三、袋子中共有ab个球，其中a个白球，b个黑球。
甲先取一球，不再放回，乙再取一球。
（1）求乙取得白球的概率；
（2）求在已知已取得白球的条件下甲取得白球的概率。
解：
（1）
P乙
白球
a
a
1
b
a
a
b
a
b1
ab
ab1
a
a
b
（2）
P甲白|乙白
p甲白，乙
白
p乙白
aa1
a2b
a
a1
abab1ab2abab1ab2
a
ab
a1
ab1
四、袋中有6个产品，其中有4个正品2个次品，每次从中随机抽取
1个产品，如果取到正品不放回，直到取到次品为止。
求：
（1）取到产品数X的概率分布；
（2）D2X-3；
（3）Y3X2-1的概率分布。
解：
X可取1,2,
3,4,5；
px
1
1
3
px
2
4
2
4
6
5
15
px
3
4
3
2
1
6
5
4
5
px
4
3
2
2
2
4
5
4
3
15
6
px
5
4
3
2
11
1
6
5
4
3
15
X
1
2
3
4
5
P
1
4
1
2
1
3
15
5
15
15
（2）Ex
11
2
4
3
1
4
2
5
1
7
3
15
5
15
15
3
Ex2
21
3
21-49
14
Dx
Ex2
Ex2
3
9
9
（3）Y
3X2-1
x
1
2
3
4
5
Y
3X2-1
2
11
26
47
74
py
1
4
1
2
1
3
15
5
15
15
五、已知二维随机变量X,Y的联合概率密度为
Axy2,0yx1
fx,y
0,其他
求
（1）常数A
（2）X的边缘密度函数；
（3）E3X7；
（4）X与Y是否独立？
为什么？
（5）已知X0.5条件下Y的条件分布密度函数fY|Xy|0.5。
解
（1）
Axy2dxdy
1
x
2dydx
1
A
1
0
axy
0
15
得：
A
15。
（2）
fxx
f
x,ydy
x
2dy
5x4
15xy
0
（3）E3x
7
3Ex
7
xfx
x5x4dx
1
5dx
5
Ex
xdx
5x
0
6
E3x
7
3Ex
7-9
2
（4）不独立
fY
y
f
x,ydx
15xy2dx
15y215y4
1
y
2
fx
x
fx,ydy
5x4
f
x,y
fx
xfy
y
不独立。
（5）：
fY|x
fx,y
15xy2
24y2
fXx
5x4
六、设总体X的分布密度函数为
21x2,0x1
fx,
0,其他
其中
-1
2
为未知数，设
x1,x2,
xn为其样本。
求
（1）参数
（2）参数
的矩法估计；
的极大似然法估计。
解
（1）Efx;
Ex
x2
1x2dx
2
1
1
0
2
2
得：
x
2
1
2
2
1-2x。
2x
1
n
n
（2）L
（2
1）xi2
2
1n
xi2
i
1
i
1
n
n
lnL
ln21
xi2
nln2
12n
lnxi
i1
i
1
dlnL
2n
n
lnxi
.2n
0
d
2
1
i1
求参数的矩法估计的步骤：
（1）判断未知参数的个数，选着等式建立方程，若一个未知参数选：
XEX
若两个未知参数选着：
XEX，B2DX
（2）建立参数与X的等是关系，反推参数关于X的式子
求参数的极大似然估计的步骤：
a:
写出似然函数
b:
将似然函数两边取对数
c:
对参数求导，并令导数等于零
d:
求解方程得极大值点，该极大值点就是所求的参数的极大似然估计。
（求参数的极大似然估计就是求似然函数的极大值点的问题。
）
七、设某产品的某向质量指标服从正态分布，已知它的标准差
150，
先从一批产品中随机抽取了25个，测得该项指标的平均值为
1637，
（1）求总体均值
的置信水平为0.95的区间估计；
（2）在显著性水平
0.05下检验假设H0：
1600，H1：
1600。
（已知0,05
1.64，0.0251.96）
解：
（1）
150，
1-
0.95
0.05
x
/
n,x
/
n
1
2
1-
2
代入公式
1637
1.96
150/5,1637
1.96
150/5
1578.2,1695.8
（2）H0：
1600，H1：
1600
0.05
拒绝区
1-
2
由于x
1637
，
x
0
1.23
n
1.96，落入接受域，则接受原假设。
知识点：
一、单个正态总体参数的区间估计
1、正态总体均值
的区间估计
（1）设正态总体X~N，
2，
0已知，求的区间估计，
样本函数
X
~N0,1
；
0
n
对于置信概率为1-
，总体均值
的置信区间为
X-
0
X
0
2
n
2
n
（2）设正态总体X~N
，
2，
未知，求
的区间估计，
样本函数t
X
~tn
1
s
n
2、正态总体方差
2的区间估计
（1）设正态总体X~N
，
2，
已知，求
2的区间估计
1n
2
x1
~
2
n
样本函数2
i
1
对于置信概率为1-，总体方差2的置信区间为
n
2
n
2
xi
xi
i1
i1
2
n
2
n
1
2
2
（2）设正态总体X~N
，
2
，
未知，求
2的区间估计
样本函数
n-1s2
2
n
1
2~
对于置信概率为1-，总体方差2的置信区间为
n
1s2
n
1s2
2
n1
2
n1
2
1
2
二、两个正态总体均值与方差比的区间估计
省略
课后习题：
1：
设随机变量X的概率密度为
ex
x
0;
f（x）
x
0.
0,
（1）求p{X-E（X）1.5}；
（2）利用切比雪夫不等式求p{XE（X）
1.5}的近似值。
解：
E（X）
xf（x）dx
xexdx
xex
0
0
exdx
ex
1，
0
0
（
x
2）
x
2
f（x）dx
2
e
x
dx
2
de
x
2
e
x
e
x
dx
2
2
xe
x
dx2
E
x
x
x
0
0
0
0
0
所以D（x）
E（x2）E2（x）1
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