知其心然后救其失也对《弧度制》一堂课的概念教学分析及反思.docx

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知其心然后救其失也对《弧度制》一堂课的概念教学分析及反思

知其心，然后能救其失也

——对《弧度制》一堂课的概念教学分析及反思

安徽省宿州学院附属实验中学马杰

摘要：

弧度制是中学数学中的一个重要概念，本来按照教学设计的预设，很容易完成教学，但是在课堂讲解概念时，出现了预设中意料之外的问题，本文从案例背景、案例分析、案例反思三个方面详细叙述问题产生的原因及解决策略。

关键词弧度制概念教学问题解决反思

1.案例背景

高一上学期，我上了《弧度制》一节内容公开课，高一数学备课组的全体教师参与了听课、评课。

为此，我事先做了大量的准备，查阅了大量的资料，精心制作教案。

本节内容我认为学生对弧度制的概念较难理解，而弧度制与角度制的转化以及弧长公式、扇形面积计算等比较简单。

以下是课堂教学中的几个片段：

1.1片段一：

用类比法讲解弧度制

教师：

初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的。

那么

的角是如何定义的？

学生：

将圆周等分成360份，每一份所对的圆心角的大小叫做

的角，这种描述角的方式叫做——角度制。

教师：

非常正确，角度制是度量角的一种单位制。

单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度的单位,现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”，“米制”比之“尺、寸……”应用起来要方便得多。

在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。

那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？

今天我们就来研究这种新的单位制。

（从熟悉的单位制出发，让学生意识到给出角度新定义的必要性。

意识到单位制的普遍性。

）

教师：

跟上面类似，长度制的选择都是要选定一个不变量来作为基本量。

如“米”，“度”，那么我们要找到一种新的度量角度的角度制，则必须也找到相应的不变量。

分组讨论，探索研究以下问题：

角度为

，

的圆心角，当半径

时，分别计算对应的弧长

，再计算弧长与半径的比。

学生：

，

时，

，

时，

，

时，

，

时，

，

，

时，

，

时，

，

时，

，

时，

，

教师：

大家发现什么规律？

学生：

圆心角不变则比值不变。

教师：

比值的大小既然只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制。

（板书课题）

教师：

（板书）定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

它的单位符号是

，读作弧度。

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

教师：

观察下图，依次就是1rad，2rad，3rad，

rad

学生：

你是怎么知道你标识那一段弧恰好就是等于半径的？

况且半径是线段，弧是弯曲的？

说实话，对于这种直观性的问题我备课时根本没考虑过，认为这就是一种定义，没有必要深入思考。

于是我没有作出什么解释就转向课堂教学中的下一内容。

1.2片段二：

角度制与弧度制的换算．

教师：

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算：

若弧是一个圆，圆心角所对的弧度数是多少？

学生：

因为1个周角＝360°＝

，所以，360°＝2πrad

教师：

若是一个圆呢？

学生：

仿照一个圆的计算方法可以得到180°＝πrad

进一步可以得：

1°＝

≈0．01745rad，

1rad＝

≈57.30°＝57°18

。

教师：

在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．

……

教师：

今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin

就表示

rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝

rad，不必写成45°＝0．785弧度．

学生：

“弧度”二字或“rad”通常略去不写，会不会产生误解，不知道是弧度，而认为那就是一个实数呢？

教师：

不会的。

学生：

你有什么理由呢？

我又一次语塞，不知道该如何回答，后悔当初为什么备课时就怎么没想到呢。

由于在课堂上，我也只好说没必要深究这个问题。

（然而在后续的课堂教学中学生又再次抛出了这个问题。

真是屋破偏逢连阴雨，船漏又遭打头风啊。

）

1.3片段三：

一一对应问题

教师：

正角的弧度数是什么数？

负角呢？

零角呢？

（从正数，负数，零方面去引导）

学生：

正数，负数，零

教师：

角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

学生：

一一对应是什么意思啊？

是不是两个集合相等啊？

一个是角，一个是实数呀？

教师：

对应就是对应，不能说相等。

（我含糊的强调着，怎样给学生一个充分的理由呢？

这暴露了我讲课时没去讲清弧度与弧度数的区别，才导致了学生产生这样的疑问。

）

学生：

那么将来我们看到的1是1rad还是实数1呢？

说句实在话，我真是有点不耐烦了，又绕了回来，我为了继续讲课，况且有备课组老师在听课，便说道在本节课里面出现的就是1rad。

事实果真是这样吗？

说实话我是带着学生的疑问下了课，脑子中始终缠绕着学生的问题。

2案例分析

下课后，备课组的讨论会上，大家讨论了一会，也都讲述了他们所教学生也出现过类似的疑问。

会后，我只好我又重新审视了学生的问题，查阅了大量的资料，理清了一点头绪，利用自习课的时间再次解答了学生的问题。

2.1关于片段一的思考

这确实是一个问题，半径是一条线段，是直的，怎样才能测量弯曲的弧呢？

与一位物理老师交流，他说：

圆相当于一条线段围成的，用普通的细绳围一圈，拉直截取不就可以了吗？

理论上，确实可以这么做。

受这位物理老师的启发，我们知道自行车圈在地上滚一周，就是它的周长，那么让圆动起来，沿着半径滚一部分的弧长，不就是半径吗？

当然这个问题当然也可以用高等数学的定积分来解决，自习课给学生讲这个时，我依然强调不必深究这个问题。

如果当时上课时，我事先设计半径为10厘米的圆，在截取一条10厘米的细绳，在圆周上任取一点进行度量，就可得到1rad的角，既符合教学的直观性原则，又打消了学生的疑问。

或者说将来学习了高等数学也可以解决，多好啊，既解决了学生的疑问，又能让有兴趣的学生将来为自己的探索埋下了伏笔。

可见教师的教学机智以及知识宽度与深度的重要性。

当然对我以后的概念教学也有启示作用。

2．2关于片段二与片段三的思考

实际上我们不能说一一对应的两个集合相等。

如在直角坐标系中，点和坐标是一一对应关系，但显然这是两个不同的集合，再如教室里的每个同学对应着一个座位，显然不能说这两个集合相等。

弧度（有单位的）是指一个角，但弧度数（没有单位的，是个量数）就是一个实数，简而言之，弧度制的呈现形式是一个实数，因此1rad与实数1不能说是相等的。

实际问题中我们要看具体的上下文情境来区分，就像（a,b）,既可以指点的坐标，也可以指区间，若没有具体的情境，我们就不知道它是指点的坐标还是区间。

这种问题，同样出现在弧度制中，当省略了rad时，根据上下文便可推断出是角还是实数。

例如sin3,是指一个3rad的角的正弦值,只是rad省略了。

每一个角都有唯一的一个实数（例如这个角的弧度数或度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（例如弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。

以后我们将要学习的三角函数如正弦函数y=sinx,x是指一个角，省略了rad,只保留弧度数（是个量数），所以我们才有x

R.看成是以实数为自变量的函数，当然它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一.任意角的集合与实数集是一一对应关系，这两个集合是不能说相等的，但是弧度数的集合就是一个实数集。

总之，我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制，它是用“别人”来度量角，就像可以用水银柱的高度来度量大气压。

弧度制的优点在于把角与长度进行了统一。

弧度数就是一个量数，与实数进行了统一。

这是我备课中没有讲清概念的枝节所造成的，虽然知道了学生对“弧度制”概念的理解是教学的一个难点，但我依然过高估计学生的理解能力，才造成了学生出现了诸多疑问，但亡羊补牢，未为晚也，这也为我今后对概念的教学严谨性给予了警示。

3．案例反思

3.1概念教学的重要性

实际上，大部分教师在上课时喜欢“轻”概念教学，“重”习题教学，虽然大家都知道概念教学非常重要，关于教育教学理论的书籍、杂志铺天盖地都是讲述概念等教学的重要性。

但是对于本节课，大部分教师依然喜欢讲解后面的内容，如弧度制与角度制的换算、弧长计算公式、扇形面积计算公式等而且教学效果很好，但是如果在弧度制概念上花费大量时间，则最后的教学效果不够理想。

如果单纯地追求教学效果显然应该大量练习，但如果想让学生对数学本质有一个长效的记忆则应该加强概念的教学。

学生能否理解好概念，对于高中数学的学习是至关重要的。

而高中数学概念的特点是抽象性很强，学生比较难以较为深入透彻地理解。

基于这个特点，概念教学对教师提出了更高、更苛刻的要求。

3.1.1要讲清概念的由来

数学家庞加莱认为历史是教学的指南.对于弧度制历史来说，我们完全可以简略地叙述它的由来:

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。

印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？

-550？

﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。

严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。

这对以后对三角函数的学习以及高等数学的学习极为有利（可以让学生参阅教材的阅读材料和其他课外资料）。

3.1.2既重视概念的理解又要关注概念的枝节

数学的本质活动是思维。

思维的对象是概念，思维的方式是逻辑。

当这种思维与新事物接触时，将出现“相容”和“不容”的两种可能。

出现“相容”时，产生新结果，且被原概念吸收，并发展成新概念；当出现“不容”时，则产生了所谓的问题。

这也是本节课学生产生疑问的原因。

因此思维出现迂回，甚至暂时退回原地。

此时教师就要去用最言简意赅的话语进行解释，将原概念扩大或将原逻辑变式，直到新思维与事物相容为止，至此概念被彻底掌握，也产生新的结果，也被原思维吸收，这就是一个思维活动的全过程。

因此本节中我认为除了弧度制这个关键概念以外，还要顺便提到角、弧度、弧度数等相关概念，以加强学生对主概念的理解，有助于学生理解概念的内涵。

3.2用建构主义观点分析学生的知识层次性

新课程改革提出，教师要“引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，促进学生在教师的指导下积极主动地、富有个性地学习”。

备课对一些新概念，不但要了解学生的“表”也要了解学生的“里”，一般来讲，“表”的东西，容易摸得到，直接按照概念、定义、公式、定理便可解决，是一种表象。

“里”是概念的内涵、本质，须花大的力气来建构学生的知识观。

建构主义认为，知识是层叠的，步步推进的，学生学习不是被动地接受东西，而是主动地生成自己的经验、解释、假设。

那种只让学生被动地接受，将课本的内容复制，只是将课本知识“拿过来、装进去、存起来”，而不是在疑问中学习，是非常有害的，对学生的创造性是十分无益的。

《礼记·学记》云：

知其心，然后能救其失也，教也者，长善而救失也。

因此教师在教学中，要站在学生的角度来考虑学生的疑问所在，知道了学生的所想，自然可以解决学生的疑问。

张奠宙教授曾指出，数学教学的目标之一，是要把数学的本质呈现出来，数学教师的任务在于返璞归真。

这就要求教师具有多重作用，会设计“本源性数学问题”，分层次地驱动学生的数学概念学习，使学生的思维经历有具体到抽象、在抽象的过程，从而使学生运用概念时不但“知其然”，也“知其所以然”。

参考文献：

1张奠宙.关于数学知识的教育形态.数学通报，2001.5

2张奠宙，王振辉.关于数学的学术型态和教育形态.数学教育学报，2002.2

3王尚志，胡凤娟，付丽，张思明，袁芹芹.为什么要引入弧度制.中学数学教学参考，2008.12

4张忠旺，杨少平.弧度制.中学数学，2000.8

5尹建堂，张骁伟.建议“弧度制”及其应用.数学通讯，2004.6

6王尚志，张思明.向量的概念应用.中学数学教学参考.2008.1

7熊远程.关于“弧度制”的教材处理与教学建议.中学数学，2002.10

8严世建，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准解读.江苏教育出版社，2004

9李文林.数学史概论.第二版。

北京：

高等教育出版社，2002