圆锥曲线基础知识复习.docx

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圆锥曲线基础知识复习

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如

（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．（答：

C）；

（2）方程表示的曲线是_____（答：

双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：

2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：

焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

如

（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：

）；

（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：

）

（2）双曲线：

焦点在轴上：

=1，焦点在轴上：

＝1（）。

方程表示双曲线的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B异号）。

如

（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：

）；

（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：

）

（3）抛物线：

开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：

由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：

）

（2）双曲线：

由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：

①范围：

；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

如

（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：

3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

）

（2）双曲线（以（）为例）：

①范围：

或；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：

。

如

（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：

或）；

（2）双曲线的离心率为，则=（答：

4或）；

（3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：

）；

（3）抛物线（以为例）：

①范围：

；②焦点：

一个焦点，其中的几何意义是：

焦点到准线的距离；③对称性：

一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：

一条准线；⑤离心率：

，抛物线。

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：

）；

5、点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：

直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如

（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：

（-,-1））；

（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：

[1，5）∪（5，+∞））；

（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：

3）；

（2）相切：

直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

（3）相离：

直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

特别提醒：

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：

两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如

（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：

2）；

（2）过点（0,2）与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：

）；

（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：

3）；

（4）对于抛物线C：

，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：

与抛物线C的位置关系是_______（答：

相离）；

（5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：

1）；

（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________（填大于、小于或等于）（答：

等于）；

（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：

）；

（8）直线与双曲线交于、两点。

①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？

②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

（答：

①；②）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：

利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。

如

（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：

）；

（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：

）；

（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：

）；

（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：

2）；

（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：

）；

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中，①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：

①；②。

如

（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：

6）；

（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：

）；

（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是（答：

）；

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：

）；

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：

）；

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：

焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：

8）；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：

3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。

如

（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：

）；

（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：

x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

）；

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：

）；

特别提醒：

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

12．你了解下列结论吗？

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：

建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法