第四届华罗庚金杯复赛试题.docx

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第四届华罗庚金杯复赛试题

第四届华杯赛复赛试题

3.S75xl+3S-x0.09-0.155-0.4

了4

2-+[C4.32-1.6E-l—-->1—

1.化简：

62511135242.电视台要播放一部30集电视连续剧。

如果要求每天安排播出的集

数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天?

3.一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱

体，纸盒的容积有多大？

（圆周率=3.14）。

4•有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果，取出其中两份，将它

们三等分后还剩2个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还

剩2个，问：

这筐苹果至少有几个?

的面积

E

E1

CC1

7.“华罗庚”金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届

在1988年举行，第三届是在1991年举行，以后每2年举行一届。

第

一届“华杯赛”所在年份的各位数字和是：

A1=1+9+8+6=24。

前二届所在年份的各位数字和是：

A2=1+9+8+6+1+9+8+

8=50

问：

前50届“华杯赛”所在年份的各位数字和A50=?

&将自然数按如下顺次排列:

12671516

3581417

4913

1012…

11…

在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：

1993排在第几行第几列?

这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差

（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。

10.11+，+尸+屮+$'+氐&+0+胪+99除以3的余数是几？

为什么?

11.AB、CDE、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人

都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对D,第二天C对E,第三天D对F，第四天B对C,问：

第五天A与谁对阵？

另外两张球台上是谁与谁对阵?

12.有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、&9、10和11厘米的

细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边,

可围成一个三角形。

如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同

的三角形?

13.把下图a中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

问：

有无可能使得在同

一条直线上的红圈数都是奇数？

请说明理由。

14.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：

他们同时从同一

地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加

2

速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的5，甲跑第二圈时速

度比第一圈提高了5,乙跑第二圈时速度提高了5。

已知甲、乙二人第

二次相遇点距第一次相遇点190米，问：

这条椭圆形跑道长多少米?

15.下图中的正方形ABC啲面积为1,M是AD边上的中点。

求图中阴

影部分的面积。

16.

四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二

8.第24行，第40列

2、

9.在ABCD、E、F、H处，顺次在小圆圈内填入1、3、8

11.第五天A与B对阵，另2张球台上的对阵是C对D,E对F

3613.没有可能

14.跑道长为400米15.图中阴影部分面积是j。

16.

则一

送礼后，四人八件礼品平均每人2件，若有一人多于2件,

定是3件，是除自己之外其他3人的礼物各一件。

因此，这个人与得到自己礼物的2个人组成两个互送对。

若四人每人都得到别人的两件礼物，他自己的两件礼品不能集中只送一人，因此，他与接受他礼品中一人为一互送对，除了一互送对外，还有两人，其中任选一人，与前面推理一样，可得到另一互送对。

华杯赛第四届复赛

21fi+£-

1.【解】原式的分子=40402402=401

勻冬2一斗芒+竺

=61.25n7丿4424

13（32]3535

=6匕7丿4424

93_31

=刃="頁

所以。

原式等于

有1+2+3+4+5+6+7+8=36集,所以30集连续剧不可能按照要求播8天以上，另一方面1+2+3+4+

5+6+9=30

所以最多可以播7天，各天播出的集数分别为1,2,3,4,5,6,9。

3.【解】圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6.28=3.14X

哒长丫

边长XI2」

6.28

所以（边长f=左也X4=8,即纸盒的容积是8立方厘米。

4.【解】如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分，而且每份比原

来多2个苹果。

第二次，第三次也是如此。

第三次分成的每一份比原来多2个苹果，又由于第二次分成的两份苹果，总数是偶数，所以第三次分成的每一份，苹果数都是偶数，因此，第三次分成的每一份至

少是4个苹果。

第二次分成的每一份至少是4X3十2=6（个），第一次

分成的每一份至少是6X3-2=9（个），从而这筐苹果至少是9X3-4

【又解】如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分（每份比原来多2个），第二次取两份（比原来两份多4个），也恰好三等分（每份比原来多2个），最后取两份（比原来两份多4个），也恰好三等分。

由于最后一次分，总数是偶数（因为取两份分），所以每份也是偶数，又比原来的每份多2个，所以现在每份至少是4个，从而上一次每份至少是4X

33

2=6（个），再上次每份至少是6X2=9（个），最初是9X3=27（个），原来这筐苹果至少27-4=23（个）。

5.【解】原式=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+

+g+舟+召+£+£+£+占）

ni

wj_

=81+210

6.【解】如图，将"4向右延长,C邑向上延长，交于E点，那么正

方形的面积。

等于长方形ABCD周长一半的平方，即64平方厘

米。

长方形是全等的，而正方形'』皿1与

皿C&］的面积之和，等于题中已给的四个正方形面积和的一半，即2

X68=34平方厘米。

64-34=30平方厘米应等于长方形ABC［面积的2

倍。

所以ABCD勺面积是2X30=15平方厘米。

aU

E1

01

7.【解】按所给的规律，前50届在20世纪内有7次赛事，在21世纪

内有43次赛事。

在20世纪内，已知A2=50，其余5届年份各位数字的和是:

5X（1+9

+9）+（1十3+5+7+9）=95+25=120

从而A=A+120=170

在21世纪内的前45届年份的数字和是:

2X45+（1+2+3+…+8）X5+（1+3+5+7+9）X9=495,

前43届年份的数字和是:

495—2-8-7-2-8-9=459

于是Ao=170+459=629。

8.【解】奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递

增。

第62斜行中最大的数是

2X62X63=1953。

第63斜行中最大的数是

上递增，左边第一位数字是1954,因此，1993位于第63斜行由上向下数第（1993—1954+1）=40位，即原阵列的第（63—40+1）=24行,

第40列。

答：

1993排在第24行，第40列。

9.

【解】【解】填法很多，下图就是一种:

十55+77+88除以3余几。

注意：

如果a除以3余a1,b除以3余4,那aXb除以3所得的余数就是a1Xb1除以3所得的余数

因为4、7除以3余1，所以44、77除以3，余数也是1

因为5、8除以3余2，所以55、88除以3，余数与25，28除以3的余

数相同。

而24=16除以3余1,所以25=24X2除以3余2,2*=

除以3余1（=1X1）

于是11＋22＋44十55＋77＋88除以3，所得余数与1＋4＋1＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是111.【解】第二天B不能对A,否则B对A。

D对F与第三天D对F矛

盾，所以应当B对F、A对D第三天B也不能对A,否则C对E与第二天c对E矛盾，应当B对

E（不能B对C,与第四天矛盾），A对C,第四天B对C,D对E,所以

第五天B对A，D对C,E时F。

12.【解】一个三角形,任何两条边的长度之和,比余下的一条边长。

在本题中，设底边是11厘米的三角形其余二边分别是a及b,则必有11Va+b此外，为确切起见，可设a<6,于是（a,b）的可能的值便有（11，11）；（10，1O），（10，11）；（9，9），（9，10），（9，11）；（8，

8）,（8,9）,（8,10）,（8,11）；（7,7）,（7,8）,（7,9）,（7,10）,（7,11）；（6,6）,（6,7）,（6,8）,（6,9）,（6,10）,（6,11）；（5,7）,（5,8）,（5,9）,（5,10）（5,11）；（4,8）,（4,9）,

（4,10）,（4,11）;（3,9）,（3,10）,（3,11）;（2,10）,（2,

11）;（1,11）共36种答：

能围成36个不同的三角形。

13.【解】假设每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加

仍是奇数。

但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上,因而都被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数两方面的结果矛

盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。

14.【解】

让我们画两个示意图（上图），并设一开始时甲的速度是a,于是乙的速

2

度便是5a。

再设跑道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向

距出发点为孑。

甲跑完第一圈，乙跑了㊁，乙再跑余下的亍，甲已

丄1

折返，且以a（1+耳）=5a的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折

2^211

返跑了3，这时，乙折返并以5a（1十5）=5a的速度跑着。

从这时

445

起，甲、乙速度之比是刍"a=3,即5：

3。

所以在二人第二次相

i53

遇时，甲跑了余下的三的S,而乙跑了它的S,即第二次相遇时距出发

3£Z31_

点3x5=2。

可见两次相遇点间的距离是Q一起）L=190（米），即

昭190（米），

L=400（米）

答：

跑道长为400米

15.【解】需要利用AMIBC时，△GAMf^GCB的边对应成比例。

GA_GM_AM

即Ga~^~~CB~2

用吐£在_GF

于是*△瓯f=2，"ag观=2。

因为正方形ABCD勺边长为1。

所以

"g=2x1^2=4

皿=2x1^2=4

22丄1

从而=3=3x4=6,

2?

丄1

=5IjLaw=5X4=6。

g態1+'mas=6+6=3

即阴影部分的面积是2。

16.【解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两

点之间连一条线。

由于每人送出2件礼品，图中共有8（=4X2）条线。

由于每人的礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有2（=1+1）条

线。

四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必

有两点之间连了2条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）

之间也连了2条线，这就是要证明的结论。

【注】有6种袜子，每种不超过2只，如果取出8只，那么必有2种袜子各2只。

这与本题实质上是一回事。