天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解2.docx
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天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解2
第一章随机变量习题一
1、写出下列随机试验的样本空间
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和
=3,4,,18
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数
=10,11,
（3）对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标
={（x,y）|x2y21}
（5）将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度
={（x,y,z）|x0,y0,z0,xyz1}
其中x,y,z分别表示第一、二、三段的长度
（6）.10只产品中有3只次品，每次从其中取一只（取后不放回），直到将3只
次品都取出，
写出抽取次数的基本空间
U=
“在（6）
中
，改写有放回抽取”
写出抽取次数的基本空间U=
解:
（1）U=
{e3
，e4，
⋯e10
。
}
其中
ei
表示“抽
取i
次”的事件。
i=3、4、
10
（2）U=
{e3
，e4，
⋯}
其中
ei
表示“抽
取i
次”的事件。
i=3、4、
2、互不相容事件与对立事件的区别何在？
说出下列各对事件的关系
（1）|xa|与|xa|互不相容
（2）x20与x20对立事件
（3）x20与x18互不相容（4）x20与x22相容事件
（5）20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容
（6）20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件
解:
互不相容:
AB
对立事件:
（1）AB且AB
3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件
（1）A发生，B与C不发生-
ABC
（2）A与B都发生，而C不发生-ABC
（3）A,B,C
中至少有一个发生
ABC（4）A,B,C都发生-ABC
（5）A,B,C
都不发生-ABC
（6）A,B,C中不多于一个发生-ABACBC
（7）A,B,C
中不多于两个发生-
ABC
中至少有两个发生-
ABACBC
（8）A,B,C
4、盒内装有到的球的号码为偶数”的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.
10个球，分别编有1-10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取
，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到
（1）
AB
必然事件
（2）
AB
不可能事件
（3）
C取到的球的号码不小于5
（4）
AC
1或2或3或4或6或8或10
（5）
AC2或4
（6）
AC
5或7或9
BC6或8或10
（7）
5、指出下列命题中哪些成立，
（8）
哪些不成立
BC2
或4或5或6或7或8或9或10
（1）ABABB成立
（2）ABA
B不成立
（3）ABC
ABC不成立
（4）（AB）（AB）
成立
（5）若AB，
则AAB成立
（6）若AB
，且CA，则BC成立
（7）若AB，
则BA成立
（8）若BA，则ABA成立
7、设一个工人生产了四个零件，
Ai表示事件“他生产的第i个零件是正
品”（i1,2,3,4），用A1,A2,A3,A4的运算关系表达下列事件.
（1）没有一个产品是次品；
（1）B1A1A2A3A4
（2）至少有一个产品是次品；
（2）B2A1A2A3A4A1A2A3A4
（3）只有一个产品是次品；（3）B3A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4
（4）至少有三个产品不是次品
4）B4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4
8.设E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式：
（1）E
F
EF
（2）
E
F
E
F
EF（
3）EF
FG
解:
（1）
原式
EE
E
F
E
F
FFE
（2）
原式
EF
E
F
E
F
FEF
FE
（3）
原式
EF
E
G
F
F
FGF
EG
9、设A,B是两事件且P（A）0.6,P（B）0.7，问
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？
解:
（1）AB,P（AB）0.6
（2）ABS,P（AB）0.3
10.设事件A，B，C分别表示开关a，b，c闭合，D表示灯亮，则可用事件A，B，C表示：
（1）D=ABC；
（2）D=ABC。
1
11、设A,B,C是三事件，且P（A）P（B）P（C）,P（AB）
4
P（BC）0,P（AC）
1
8，
求A,B,C至少有一个发生的概率
解:
P（ABC）P（A）P（B）P（C）
P（AB）P（AC）
P（BC）P（ABC）
11
44
ABABC
0P（ABC）P（AB）0
P（ABC）0
11
12.
（1）设事件A,B的概率分别为1与1，且A与B互斥，则P（AB）=
54
（2）.一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只
14球，则取到的3只都是红球的事件的概率等于___285。
（3）一袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率
13
等于___24___。
（4）.设A1,A2,A3是随机试验E的三个相互独立的事件，
已知P（A1）=,P（A2）=，P（A3）=，则A1,A2,A3至少有一个发生的概率是1
（1）
（1）
（1）.
（5）．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，
则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于
34
57
13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求
（1）恰有90个次品的概率；
（2）至少有2个次品的概率.
P
（1）解:
90110
C400C1100
200
1500
P
（2）1
200
C1100
200
C1500
1199C400C1100
2000
1500
14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.
解:
A“甲中”B“乙中”
P（AB）P（A）P（B）P（AB）0.90.80.720.98
15、8封信随机地投入8个信箱（有的信箱可能没有信），问每个信箱恰有一封信的概率是多少？
解:
P（A）
8!
88
16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：
设所求事件A
A
P（A）
A142
124
P（A）
1P（A）
4
1A12
14
124
0.427
17、将3个球随机地放入
率各是多少？
4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为
1,2,3的概
至少有两个人的生日在同一个月的”
任何两个人的生日都不在同一个月”
解：
3个球放入4个杯子中去共有43种放法，设Bi表示杯子中球的最大个数为n的
事件（n1,2,3）,B1表示每只杯子最多只能放一个球，共有A43种方法，故
P（B1）
A43
43
3
83;B2表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有C324种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故B2包含的基本事件数为C324336，于是
369
P（B2）3463196;B3表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故
P（B3）
4
43
1
16
18.设一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内
（其中D是x=0，y=0，x+y=2所围成的），设事件A为：
质点落在直线y=1
的下侧，
求P（A）
P（A）
D1
D
12（12）3
12224
0.5，求P（B|AB）
19、
（1）已知P（A）0.3,P（B）0.4,P（AB）
111
（2）已知P（A）,P（B|A）,P（A|B），求P（AB）
432
解:
（1）P（B|AB）0.25
1
（2）P（AB）13
20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回
设Ai（i=1，2，3，）表示第i次抽到的是次品，求：
PA2A1
99，PA2A1
95
99
，PA2A1
5
99
PA2A1
99，PA3A1A2
98
PA3A1A2
94
98
21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占
70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，
乙厂的合格率是80%。
若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品试写出有关事件的概率.
（1）P（A）70%
（4）P（B|A）80%
（2）P（A）30%（3）P（B|A）95%
（5）P（B|A）5%（6）P（B|A）20%
22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，⋯⋯，最后一人取得红球的概率各是多少？
解:
解：
设Ai第i个人取得红球的事件（i1,2,,10）,
则Ai为第i个人取得白球的事件，
1
显然P（A1）,A2A1A2A1A2A1A2（A1
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