天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解2.docx

1、天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解2第一章 随机变量 习题一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和= 3,4 , ,18(2)生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数= 10 ,11 ,(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品”， 如连续查出 2个次品就停止， 或检查 4个产品就停止检查， 记录检查的结果。 用“0” 表示次品，用“ 1”表示正品。= 00 , 100 , 0100 , 0101 , 0110 , 1100 ,1010 , 1011 , 0111 , 1101 , 1110 , 111

2、1 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标= (x ,y )|x 2 y 2 1(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度=(x ,y ,z)|x 0,y 0,z 0,x y z 1其中 x ,y ,z 分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10 只产品中有 3 只次品 ，每次从其中取一只 ( 取后不放回 ) ，直到将 3 只次品都取出 ，写出抽取次数的基本空间U =“在 ( 6 )中，改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间 U =解: ( 1 ) U = e3， e4 ， e10。其中ei表示“抽取 i次 ” 的 事 件 。 i = 3 、 4、10( 2 ) U = e3， e4 ，

3、 其中ei表示“抽取 i次 ” 的 事 件 。 i = 3 、 4 、2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1) |x a| 与|x a | 互不相容 (2) x 20与x 20 对立事件(3)x 20 与 x 18 互不相容 (4) x 20与 x 22 相容事件(5)20 个产品全是合格品与 20 个产品中只有一个废品 互不相容(6)20 个产品全是合格品与 20 个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容 : AB对立事件 : (1)AB 且 A B3、设 A,B,C 为三事件，用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件(1)A 发生，B与 C不发生 -ABC

4、(2)A 与 B都发生，而 C不发生 - ABC(3)A,B,C中至少有一个发生A B C (4)A,B,C 都发生 - ABC(5)A,B,C都不发生 - ABC(6)A,B,C 中不多于一个发生 - AB AC BC(7)A,B,C中不多于两个发生 -ABC中至少有两个发生 -AB AC BC(8)A,B,C4、盒内装有 到的球的号码为偶数” 的球的号码小于 5”，试说明下列运算分别表示什么事件 .10个球，分别编有 1- 10 的号码，现从中任取一球，设事件 A表示“取，事件 B 表示“取到的球的号码为奇数” ，事件 C表示“取到(1)AB必然事件(2)AB不可能事件(3)C 取到的球的

5、号码不小于 5(4)AC1 或 2 或 3 或 4 或 6 或 8 或 10(5)AC 2 或 4(6)AC5 或7或 9B C 6 或8或 10(7)5、指出下列命题中哪些成立，(8)哪些不成立BC 2或 4 或 5 或 6 或 7 或 8 或 9 或 10(1) A B AB B 成立(2) AB AB 不成立(3) A BCAB C 不成立(4) ( AB )( AB)成立(5) 若 A B ，则 A AB 成立(6) 若 AB，且 C A ，则 BC 成立(7)若 A B ，则 B A 成立(8)若 B A ，则 A B A 成立7、设一个工人生产了四个零件，Ai 表示事件“他生产的

6、第 i 个零 件是正品” (i 1,2,3,4)，用 A1, A2 , A3, A4的运算关系表达下列事件 .(1) 没有一个产品是次品； (1) B1 A1A2 A3 A4(2) 至少有一个产品是次品； (2) B2 A1 A2 A3 A4 A1A2 A3A4(3) 只有一个产品是次品； (3) B3 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2 A3A4 A1A2 A3 A4(4)至少有三个产品不是次品4) B4 A1A2 A3A4 A1A2A3A4 A1A2 A3 A4 A1A2A3A4 A1 A2 A3A48.设 E 、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ：(1)

7、EFE F (2)EFEFEF(3) E FFG解 :(1)原式EEEFEFF F E(2)原式EFEFEFF E FFE(3)原式EFEGFFFGFEG9、设 A,B 是两事件且 P(A) 0.6, P (B ) 0.7 ，问(1) 在什么条件下 P(AB )取到最大 值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下 P(AB )取到最小值，最小值是多少？解: (1) A B, P(AB) 0.6 (2) A B S, P(AB) 0.310.设 事 件 A ， B， C 分 别 表 示 开 关 a ， b ， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件 A，B，C 表示： (1) D =

8、AB C ；(2) D = A B C 。111、设 A,B,C 是三事件，且 P(A) P(B) P(C) ,P(AB)4P(BC) 0,P(AC)18，求 A,B,C 至少有一个发生的概率解: P(A B C) P(A) P(B) P(C)P(AB) P(AC)P(BC) P(ABC)1144AB ABC0 P(ABC) P(AB) 0P(ABC) 01112.(1) 设事件 A , B 的概率分别为 1 与 1 ，且 A 与 B 互 斥，则 P(AB )=54(2). 一个盒中有 8 只红球， 3 只白球， 9 只蓝球 ，如果随机地无放回地摸 3 只14 球 ，则取到的 3 只 都 是

9、红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _ 285 。(3)一 袋中有 4只白球， 2 只黑球，另一只袋中有 3 只白球和 5 只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率13等于 _ 24 _。(4). 设 A1 , A2 , A3 是随机试验 E的三个相互独立的事件，已知 P(A1) = , P(A2) = ， P(A3) = ，则 A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1 (1 )(1 )(1 ) .(5)一个盒中有 8 只红球，3只白球，9 只蓝球，如果随机地无放回地摸 3只球，则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于3457 13、在

10、 1500个产品中有 400个次品， 1100个正品，任取 200个，求(1)恰有 90 个次品的概率； (2) 至少有 2 个次品的概率 .P(1) 解:90 110C400 C11002001500P(2) 1200C1100200C15001 199 C400 C11002000150014、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.9 ，乙击中的概率为 0.8 ，两射手 同时击中的概率为 0.72 ，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率 .解: A “甲中” B “乙中”P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.9 0.8 0.72 0.9815、8

11、 封信随机地投入 8 个信箱(有的信箱可能没有信 ) ，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？解: P (A)8!8816、房间里有 4 个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件 AAP(A)A142124P(A)1 P(A)41 A12141240.42717、将 3 个球随机地放入率各是多少？4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3 的概至少有两个人的生日在同一个月的”任何两个人的生日都不在同一个月”解：3 个球放入 4 个杯子中去共有 43 种放法，设 B i 表示杯子中球的最大个数为 n的事 件 (n 1,2,3) , B1 表 示 每 只 杯 子 最

12、 多 只 能 放 一 个 球 ， 共 有 A43 种 方 法 ， 故P(B1)A4343383; B2 表示有一只杯子中放 2 个球，先在 3 个球中任取 2 只放入 4 个 杯子中的任意一只， 共有 C32 4 种方法，剩下的一个球可以放入剩下的 3 只杯子中的 任 一 只 ， 有 3 种 放 法 ， 故 B2 包 含 的 基 本 事 件 数 为 C32 4 3 36 ， 于 是36 9P(B 2 ) 3463 196 ; B 3 表 示 有 一 只 杯 子 中 放 3 个 球 ， 共 有 4 种 方 法 ， 故P(B3)44311618.设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy

13、平 面 上 的 三 角 形 域 D 内( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2 所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为：质 点 落 在 直 线 y = 1的下侧，求 P(A)P (A)D1D12 (1 2) 312 2 2 40.5，求 P (B | A B)19、(1) 已知 P(A) 0.3, P(B ) 0.4, P(AB)111(2)已知 P(A) , P(B | A) , P(A|B) ，求 P (A B )432解: (1) P(B |A B) 0.251(2) P(A B) 1320、一批产品共 100个,其中有次品 5 个，每次从中任取一个，取后

14、不放回设 Ai ( i =1 ，2，3，) 表示第 i 次抽到的是次品，求：P A2 A199 ，PA2 A19599，P A2A1599P A2 A199 ，P A3 A1A298P A3 A1A2949821、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率为 95%，乙厂的合格率是 80%。若用事件 A、 A 分别表示甲、 乙两厂产品， B表示合格品 试写出有关事件的概率 .(1) P(A) 70%(4)P(B |A) 80%(2) P(A) 30% (3)P(B|A) 95%(5)P(B| A) 5% (6) P(B |A) 20%22、袋中有 10个球， 9个是白球， 1个是红球， 10个人依次从袋中各取一球，每人 取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概 率各是多少？解: 解：设 Ai 第 i 个人取得红球的事件 (i 1,2, ,10),则 Ai 为第 i 个人取得白球的事件，1显然 P(A1) , A2 A1A2 A1A2 A1A2 ( A1