数学建模习题及答案课后习题.docx
《数学建模习题及答案课后习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模习题及答案课后习题.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d'Hondt方法：
将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：
1
2
3
4
5…
A
235
117.5
78.3
58.75
B
333
166.5
111
83.25
C
432
216
144
108
86.4
—
—
—
—
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横
线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:
1。
试用比例方法构
造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决
定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
身长（cm）
36.8
31.8
43.8
36.8
32.1
45.1
35.9
32.1
重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围（cm）
24.8
21.3
27.9
24.8
21.6
31.8
22.9
21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应
多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他
形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。
组别
最大体重
（kg）
抓举（kg）挺举（kg）总成绩（kg）
1
54
132.5
155
287.5
2
59
137.5
170
307.5
3
64
147.5
187.5
335
4
70
162.5
195
357.5
5
76
167.5
200
367.5
6
83
180
212.5
392.5
7
91
187.5
213
402.5
8
99
185
235
420
9
1
10
〉108
197.5
260
457.5
第一部分课后习题答案
1.按照题目所给方法
（1），
（2），（3）的席位分配结果如下表:
宿舍
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
A
3
2
2
4
4
3
B
3
3
3
5
5
5
C
4
5
5
6
6
7
总计
1
2.
（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也
包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。
又因为
大于0的常数）。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。
如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是
2
wk2dI，k2为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型结果比较如
模型
wk2d2l
基本上满意。
4.将管道展开如图:
可得wdcos，若d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。
若管道
长度为I，不考虑两端的影响时布条长度显然为d|/w，若考虑两端影响，则应加上
dw/sin。
对于其它形状管道，只需将d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1矩形板材长a,宽b;可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。
方案一：
圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为叫=口/2][引2]
方案二：
圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）3a，于是
3
5
8
10
14
20
4
2/2
4/4
8/7
10/9
14/13
20/19
7
3/3
6/6
12/11
15/14
21/20
30/29
10
5/5
10/10
20/18
25/23
35/33
50/48
15
7/8
14/16
28/28
35/36
49/52
70/76
20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要
通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸|之间的关系是
尺寸），体重wl3，于是yw2/3
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3;如果用举重总成绩拟合yw，可得
图3图4
第二部分课后习题
1.Malthus模型预测的优缺点。
2.阻滞增长模型预测的优缺点。
3.简述动态模型和微分方程建模。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。
并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型（Logistic模型）和离散形式阻滞增长模型，并讨论离散
形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1.优点：
短期预报比较准确；缺点：
不适合中长期预报；原因：
预报时假设人口增长率为常数，没有考虑环境对人口增长的制约作用。
2.优点：
中期预报比较准确；缺点：
理论上很好，实用性不强；原因：
预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。
实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3.动态模型：
描述对象特征随时间（空间）的演变过程，分析对象特征的变化规律，预报对象特征的未来性态，研究控制对象特征的手段；微分方程建模：
模根据函数及其变化率之间的关系确定函数，根据建模目的和问题分析作出简化假设，按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻，预防
传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
5.不同年龄组的繁殖率和死亡率不同，以雌性个体数量为对象（假设性别比为1:
1）,是一种
差分方程模型。
6.连续形式：
y（t）表示某种群t时刻的数量（人口）
dy
dt
离散形式：
yn表示某种群第n代的数量（人口）
yn1ynryn（1护）,n1,2,|||
Nm
*r*r1
衡点为yNm•yn1（r1）yn1yn的平衡点为x1—,其中
（r1）Nmr1b
b1r,Xnryn/（1r）Nm,f（x）bx（1x）,此时的差分方程变为
Xn1bXn（1Xn）f（Xn）n1,2，川
*1*由xf（x）bx（1x）可得平衡点x*1,x*0.
b
在平衡点x*0处，由于f（0）b1,因此，x*0不稳定.
I**
在在平衡点x1—处，因f（x）b（12x）2b,所以
b
*I*1
（i）f（x）1b3当b3时，平衡点x1—不稳定；
b
**1
（ii）f（x）11b3当1b3时，平衡点x1—不稳定.
b
第三部分课后习题
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。
（a,b,c为常数，x,y为变量）
（1maxf3x〔+5x27x3
m）
x12x26x3
5x1x28x3s.t
3为4x212
x1,x20
n
（2）maxfCjXj
ji
n
aijXjb（is.tj1
Xj0（j1,2,
m2
⑶minfaixi
i1
s.t.Xiyic2（i
8
20
1,2,,m）
n）
nbj2yj,
ji
1,2,,m;j1,2,
2.将下述线性规划问题化为标准形式。
（1minZ
Xi
2x2
3x3
2x1
X2
X3
9
3x1
X2
2X3
4
4x1
2x2
3x3
6
x10,2x26,x3取值无约束
⑵maxZ|x||y|
xy2
x3
X,y无约束
（3）min
f
2x1
X22X3
Xi
X2
X34
s.t.
Xi
X2
X36
X
i
0,X2
0,x3无约束
5.
1.
（4）maxf2x1x2
X1
2x1s.t.
X1
X2X3X4
3x25x3
2x3
3X3X4
2x41
X1,X30,X20,X4无约束
3.用单纯形法求解线性规划问题。
maxf2x15x2
X1
2x212
s.t.
3为2x218
x1,x20
22
4.检验函数f（X）100（X2X1）
x为极小点。
证明
f（x）0.0025的
求出函数f（x）2X12
全局极小点?
6.应用梯度法于函数
答案：
（1）是
（1X1）2在x
G为奇异当且仅当
X，G是正定的。
x；2x1x2
2
f（x）10x1
第三部分
（2）不是
2.
令WX1,X3
引入松弛变量x4,x6及剩余变量
答案：
（1）
X3'X3'',X2‘%?
X5,
2x3
T
（1,1）处有g0,G正定，从而
X2X120.005，从而证明对所有满足
X14的所有平稳点；问哪些是极小点？
是否为
2
X2,取X
（1）
升级会员 