初中数学中的解方程.docx
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初中数学中的解方程
代数部分
第三章：
方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：
求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：
在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：
ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为
1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
例题：
.解方程：
（1）
1
x
1
x
2
x
1
x
x
3
3
（2）
3
2
2
解：
解：
（3）【05湘潭】
关于x的方程mx+4=3x+5
的解是x=1，则m=
。
2、一元二次方程
（1）
一般形式：
ax2
bx
c
0a
0
（2）
解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
求根公式ax2
bx
c
0a
0
x
bb2
4ac
b2
4ac
0
2a
错误！
未找到引用源。
、解下列方程：
（1）x2－2x＝0；
（2）45－x2＝0；
（3）（1－3x）2＝1；
（4）（2x＋3）2－25＝0.
（5）（t－2）（t+1）=0；
（6）x2＋8x－2＝0
（7）2x2－6x－3＝0；
（8）3（x－5）2＝2（5－x）
解：
错误！
未找到引用源。
填空：
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋3
x
＋（
）＝（＋
）2
x
2
（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系
当0时有两个不相等的实数根，
当
0时
有两个相等的实数根
当
0时
没有实数根。
当△≥0时
有两个实数根
例题．一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程：
（1）
1（x
3）2
2；
（2）2x2
3x1；（3）
4（x
3）2
25（x
2）2
2
例2、解下列方程：
（1）x2
a（3x
2a
b）0（x为未知数）；
（2）x2
2ax
8a2
0
（．无锡市）若关于
x
的方程x
2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足（
）
3
A.k＞1
B.k
≥1
C.k
＝1
D.k
＜1
4.（常州市）关于x的一元二次方程x2
（2k1）x
k
10根的情况是（
）
（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情况无法判定
5．（浙江）已知方程x22pxq0有两个不相等的实数根，则p、q满
足的关系式（）
A、p2
4q0
B、p2
q0
C、p2
4q0
D、p2
q0
6.根与系数的关系：
x1＋x2=
b，x
1x2
=c
a
a
例题：
（浙江富阳市）已知方程
3x2
2x
110的两根分别为x1
、x2，则1
1
x1
x2
的值是（
）
A、2
B、11
C、
2
D、11
11
2
11
2
例3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程
x2
x5
0的两个根小3
根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x的方程：
（p1）x22pxp30有两个相等的实数根，求p的值。
例5、已知a、b是方程x22x10的两个根，求下列各式的值：
（1）a2b2；
（2）11
ab
分式方程的解法步骤：
（1）一般方法：
选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2）换元法
例题：
错误！
未找到引用源。
、解方程：
4
1
2
1
的解为
x
4
x2
x2
4
根为
x2
0
5x6
错误！
未找到引用源。
、【北京市海淀区】当使用换元法解方程
（
x）2
2（
x）
3
0时，若设y
x
，则原方程可变形为（
）A．y2＋
x
1
x
1
x
1
y2－
y＋＝
．y
．y2－
y－＝
y
＋＝
．
2＋
y－＝
230B
230C
230D
230
（3）、用换元法解方程x2
3x
x
2
3
4时，设yx2
3x，则原方程可化为（）
3x
（A）
3
4
0
3
1
1
y
（）
40
（）
40
（）
40
y
B
y
y
Cy
3y
Dy
3y
例、解下列方程：
（2）
2
1
1
1；
（2）x2
2
6x
2
5
1
x2
x
x
x2
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）
（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用
例题：
错误！
未找到引用源。
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：
顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）
解：
错误！
未找到引用源。
乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解
错误！
未找到引用源。
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解
错误！
未找到引用源。
绵阳】已知等式
（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成
【05
立，求A、B的值
解
错误！
未找到引用源。
【05南通】某校初三（
2）班40名同学为“希望工程”捐款
共捐
款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
1
234
人
数
6
7
表格中捐款
2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2
元的有x名同学,捐款3
元的有y名同学,根据题意,可得方程组
x
y
27
x
y
27
x
y
27
x
y
27
A、
3y
66
B、
3y
100
C、
2y
66
D、
2y
100
2x
2x
3x
3x
解
错误！
未找到引用源。
已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
错误！
未找到引用源。
一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积
为800平方米.求截去正方形的边长.解：
四、方程组
4、方程组：
三元一次方程组
代入消元
二元一次方程组
加减消元
二元（三元）一次方程组的解法：
代入消元、加减消元
x
y
7,
x
2y
0
例题：
解方程组
y
8.
3x
2y
8
2x
例7、解下列方程组：
2x
3y
3
x
y
2z
1
（2）2xyz5
（1）
2y
；
x
5
x
y
3z
4
例8、解下列方程组：
代入消元一元一次方程
加减消元
xy1123
3x2y10
xy7
3x2
xy4y2
3x4y0
（1）
；
（2）
2
y2
25
xy12
x
列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审题：
2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：
工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：
甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：
工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：
路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：
甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：
甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时：
甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：
增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：
三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法：
就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：
就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的
内在联系，找出等量关系。
3、列表法：
就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：
就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，
这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再
单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成
这项工程各需几天？
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又
增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快
28千米，恰好在全程的
1处追上甲连。
3
求乙连的行进速度及追上甲连的时间
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；
每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额
下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、
四月份平均每月增长的百分率是多少？
例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年
期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税后利息=1002.25%100
2.25%20%
100
2.25%（1
20%）
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是
450元，问该储户存入了多
少本金？
例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出
20件，每件盈利40元，为了扩大
销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬
衫每降价1元，商场平均每天可多售出
2件。
若商场平均每天要盈利
1200元，每件衬衫应
降价多少元？
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