部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版.docx

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部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版

12数余的扩充

———实数的概念与性质

阅读与思考

人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。

数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。

在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.

理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：

1.把握无理数的定义：

无理数是无限不循环小数，不能写成分数q的形式（这里p，q是互

p

质的整数，且p≠0）；

2．掌握无理数的表现形式：

无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；

3.有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；

4．明确无理数的真实性.

克菜因认为：

“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”

想一想：

下列说法是否正确？

1带根号的数是无理数；

2两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；

3一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；

4一个无理数的平方一定是有理数.

例题与求解

【例1】已知a2（b4）2ab2c0．则（ac）b的平方根是.

（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）

解题思路：

运用式子的非负性，求出a，b，c的值．

【例2】若a，b是实数，且a2b122b4．则ab的值是（）.

A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：

由算术根的双非负性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：

1a中a≥0；②a≥0.

运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.

【例3】已知实数m，n，p满足等式m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．

（北京市竞赛试题）解题思路：

观察发现（m199n），（199mn）互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．

131319

【例4】已知a，b是有理数，且（13）a（13）b211930，求a，b的值．

32412420

解题思路：

把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a，b的方程组.

实数有以下常用性质：

①若a，b都是有理数，c为无理数，且abc0，则a＝b＝0;

②若a，b，c，d都是有理数，c，d为无理数，且“acbd，则a＝b，cd．

要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数

是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾

怎样证明2是无理数？

例5】一个问题的探究

问题：

设实数x，y，z满足xyz≠0．且xyz0.

1

1

1

1

1

1

x12

2y

2z

x

y

z

求证：

111

（a1b）2（b1c）2（c1a）2为有

在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：

（1）设a，b，c为两两不相等的有理数，求证：

理数．

四川省成都市中考试题）

解题思路：

解答此题的关键是将Sn变形为一个代数式的平台。

能力训练

贵州省贵阳市中考试题）

2．设a33，b是a2的小数部分，则（b2）3的值为

（2013年全国初中数学竞赛试题）

山东省济南市中考试题）

4．观察下列各式：

1123412311，

2

1234522321，

1345632331，（AB）（:

AB）（2xy）:

（xy）

猜测：

12005200620072008.

（辽宁省大连市中考试题）

5．已知有理数A，B，x，y满足AB0，（AB）（:

AB）（2xy）:

（xy），那么A（:

AB）＝___.

A.3x（:

2xy）B.3x（:

4x2y）C.x（:

xy）D.2x（:

2xy）（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

6．若x，y为实数，且x2y20，则（x）2009的值为（）．

y

A.1B．－1C．2D．－2

（天津市中考试题）

7．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）．

A.aB．a21C．a21D．a1

（山东省潍坊市中考试题）

2

8．若x11x（xy），则xy的值为（）．

A．－1B．1C．2D．3

（湖北省荆门市中考试题）

9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反数，且m3a7，求x与y的

平方和的立方根．

10.计算：

1111222．（广西竞赛试2n个1n个2

题）

11.若a，b满足3a5b7，求S2a3b的取值范围．

（全国初中数学联赛试题）

B级

1．x与y互为相反数，且xy3．那么x22xy1的值为．

（全国初中数学竞赛试题）

2．若2x14x128，则x的值为

海南省竞赛试题）

3．已知实数a满足2004aa2005a，则a20042＝

广东省竞赛试题）

A．－1

“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

8．下面有3个结论：

①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；

2存在两个不同的无理数，它们的积是整数；

3存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数

其中，正确的结论有（）个．

重庆市竞赛试题）

江苏省竞赛试题）

“CASIO杯”武汉市竞赛试题）

10.设yaxb，a，b，c，d都是有理数，x是无理数.求证：

cxd

（1）当bcad时，y是有理数；

（2）当bcad时，y是无理数．

11.已知非零实数a，b满足2a4b2（a3）b242a.求ab值．

“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

1616

专题12数余的扩充

实数的概念与性质

1

土4提示：

由条件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，则a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）

b－4111＝[2×（一1）]＝16，16的平方根为土4．

33

解得

5b41

5

S=1-1-1-

1-12009-1

200820092009

故S的整数部分为2008.

A级

1.2

2.9提示：

a233239,238393273，则b=39-2,b+2=393

故b2399

4.20052320051

6.B

7.B

8.C

9.2

10.原式=11110n1112111=11110n-111n个n个n个n个n个

111（10n-1）=111999=333n个

n个

n个

n个

11.由题中条件

3a5b7

2a3bS

①×3+②×5得

19a215S

①×2-②×3得

19b

143S

又∵

a≥0，b≥0，

则215S0

14-3S0

2114

解得-21S1453

B组

1.-5

4

xy0

提示：

由条件xy3，解得

3

x

2

3

y2

2

3233

2

22

2.2提示：

由2x14x128得2x122x

27，故有（x+1）+2x=7,所以x的值为2.

3.2005提示：

由条件得：

a≥2005，则a20052004，从而有：

2

a2-2004=2005

4.1

5.C提示：

由条件得：

a≥3，则b2（a3）b20，a+b=1。

6.C提示：

因为121，132，所以011.故b

abab

c-a=6-2-2-16-21，而6-213-220，

所以621，故c>a，因此b

11212

7.D由条件得：

a10，∴a>0，1a1a4

aaa

8.D举例：

31，3-1满足①②；5，1满足③

33

9.设a22005b，则b2-a2=2005，而2005=5×401,5,401均为质数，a，b为正整数，

10.

（1）c、d不能同时为0，否则y无意义，若c=0，由bc=ad，d≠0，得a=0,此时y=b为有理数；d

若d=0，则C≠0，由bc=ad，得b=0，此时yaxa为有理数，若c≠0，且d≠0，由bc=ad，得abc，cxcd代入y得yb为有理数．

d

（2）假设bc≠ad时，y为有理数，则（cx+d）y=ax+b，即（cy－a）x+（dy－b）=0，因cy－a，dy－b为

有理数，x为无理数，故有cy－a=0,dy－b=0，从而bc=cdy=（cy）d=ad，这与已知条件bc≠ad矛盾，从而y不是有理数，y一定是无理数．

11．∵（a－3）b2≥0，∴a－3≥0，∴a≥3．原式可化为2a4|b2|（a3）b242a，即|b2|（a3）b20，解得a=3,b=－2，故a+b=3+（－2）=1．