部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版.docx

1、部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版12 数余的扩充实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在 非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数 的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中 确实存在不同于有理数的数无理数。在引人无理 数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张 .理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数 q 的形式(这里 p ， q 是互p质的整数，且 p 0)；2 掌握无理数的表现形

2、式：无限不循环小数，与 相关的数，开方开不尽得到的数等；3. 有理数对加 、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无 理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是 无理数；4 明确无理数的 真实性 .克菜因认为： “数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚 慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学 能给予以上的一切 . ”想一想：下列说法是否正确？1带根号的数是无理数；2两个无理数的和、差、 积、商一定还是无理数；3一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；4一个无理数的平方一

3、定是有理数 .例题与求解【例 1】 已知 a 2 (b 4)2 a b 2c 0则 (ac)b 的平方根是 .(湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题)解题思路： 运用式子的非负性 ，求出 a ，b ， c的值【例 2】 若 a ， b 是实数，且 a2 b 1 2 2b 4 则 a b 的值是 （ ）.A 3 或 3 B 3 或 1 C 3 或 1 D 3 或 1 （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路 ：由算术根的双非负性， 可得 b 10，2 2b0，求出b 1代入原式中可得 a 2 由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：1a中 a0； a0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法

4、 .【例 3】 已知实数 m ， n， p 满足等式 m 199 n 199 m n 3m 5n 2 p 2m 3n p ，求 p 的值（北京市竞赛试题） 解题思路： 观察发现（ m 199 n），（199 m n）互为相反数，由算术平方根定义、性质探 寻解题的切入点 1 3 1 3 1 9【例 4】已知a ，b是有理数，且 （1 3）a （1 3）b 21 1 9 3 0，求a ，b的值3 2 4 12 4 20解题思路： 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于 a，b的方程组 .实数有以下常用性质：若 a ， b 都是有 理数， c 为无理数，且 a b c 0 ，则

5、a b 0;若 a，b，c，d都是有理数， c， d为无理数，且 “a c b d ，则ab，c d要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾怎样证明 2 是无理数？例 5】 一个问题的探究问题：设实数 x ， y， z 满足 xyz 0且 x y z 0.111111x122 y2 zxyz求证：111(a 1b)2 (b 1c)2 (c 1a)2 为 有在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：(1) 设 a ， b ， c 为两两不相等的有理数，求证：理数四川省成都市中

6、考试题)解题思路：解答此题 的关键是将 Sn 变形为一个代数式的平台。能力训练贵州省贵阳市中考试题）2设 a 3 3，b是a2的小 数部分，则 （b 2）3的值为（ 2013 年全国初中数学竞赛试题 ）山东省济南市中考试题）4观察下列各式：1 1 2 3 4 12 3 1 1，21 2 3 4 5 22 3 2 1 ，1 3 4 5 6 32 3 3 1，（A B）（: A B） （2x y）:（x y）猜测： 1 2005 2006 2007 2008 .（辽宁省大连市中考试题）5 已知有理 数A，B，x，y满足 A B 0，（A B）（: A B） （2x y）:（x y），那么 A（:

7、A B） _.A. 3x（: 2x y） B. 3x（: 4x 2y） C. x（: x y） D. 2x（: 2x y） （ 2013年“实中杯”数学竞赛试题）6若 x， y为实数，且 x 2 y 2 0，则 （ x）2009的值为 （ ） yA. 1 B 1 C2 D 2（天津市中考试题）7一个自然数的算 术平方根为 a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 （ ） A. a B a2 1 C a2 1 D a 1（山东省潍坊市中考试题）28若 x 1 1 x （x y） ，则 x y 的值为 （ ） A 1 B 1 C 2 D 3（湖北省荆门市中考试题）9已知 x a bm是 m的立方根

8、，而 y 3 b 6 是x的相反数，且 m 3a 7，求 x与 y的平方和的立方根10. 计算： 11 11 22 2 （广西竞赛试 2n个 1 n个 2题）11.若a，b满足3 a 5b 7，求 S 2 a 3b的取值范围（全国初中数学联赛试题）B 级1 x 与 y 互为相反数，且 x y 3 那么 x2 2xy 1的值为 （全国初中数学竞赛试题）2若 2x 1 4x 128，则 x 的值为海南省竞赛试题)3已知实数 a满足 2004 a a 2005 a ，则 a 20042 广东省竞赛试题)A 1“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)8下面有 3 个结论：存在两个不同的无理数，它们的差是整

9、数；2存在两个不同的无理数，它们的积是整数；3存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数其中，正确的结论有 ( ) 个重庆市竞赛试题)江苏省竞赛试题)“CASIO杯”武汉市竞赛试题)10. 设 y ax b ，a， b，c，d 都是有理数， x是无理数 . 求证： cx d(1) 当 bc ad 时， y 是有理数；(2) 当 bc ad 时， y 是无理数11. 已知非零实数 a ， b 满足 2a 4 b 2 (a 3)b2 4 2a. 求 a b 值“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)16 16专题 12 数余的扩充实数的概念与性质1土4 提示：由条件得 a20,b40,ab2c

10、0，则 a 2， b 4， c 1故（ ac）b 4 1 1 1 2 （一 1） 16，16的平方根为土 433解得5 b 415S= 1 - 1 - 1 -1 - 1 2009- 12008 2009 2009故 S 的整数部分为 2008.A级1. 22.9 提示： a2 3 3 2 3 9, 2 3 8 3 9 3 27 3，则 b=3 9-2, b+2=3 9 3故 b 2 3 9 94. 20052 3 2005 16.B7.B8.C9.210. 原式 = 11 1 10n 11 1 2 11 1= 11 1 10n -11 1 n个 n个 n个 n个 n个11 1 (10n -1)

11、= 11 1 99 9=33 3 n个n个n个n个11. 由题中条件3 a 5b 72 a 3b S3 + 5 得19 a 21 5S 2 - 3 得19b14 3S又a 0， b 0，则 21 5S 014-3S 021 14解得 - 21 S 14 53B组1. - 54xy0提示：由条件 x y 3 ，解得3x23y223 2 3 32222. 2 提示：由 2x 1 4x 128得2x 1 22x27，故有 (x+1) +2x=7 , 所以 x的值为 2.3.2005 提示：由条件得： a2005，则 a 2005 2004，从而有：2a2 - 2004 = 20054.15.C 提示

12、：由条件得： a3，则 b 2 (a 3)b2 0 ， a+b=1。6. C 提 示 ： 因 为 1 2 1 ， 1 3 2 ， 所 以 0 1 1 . 故 ba，因此 ba0， 1 a 1 a 4a a a8. D 举例： 3 1， 3 -1满足； 5， 1满足339. 设 a2 2005 b，则 b2 - a2 =2005 ，而 2005 = 5 401,5,401 均为质数， a，b为正整数，10.(1) c 、d不能同时为 0，否则 y 无意义，若 c=0，由 bc=ad，d0，得 a=0, 此时 y=b 为有理数； d若 d=0，则 C0，由 bc=ad，得 b=0，此时 y ax

13、a 为有理数， 若 c0，且 d0，由 bc=ad，得 a bc， cx c d 代入 y 得 y b 为有理数d(2) 假设 bcad时， y为有理数，则( cx+d) y=ax+b，即( cy a) x+( dyb)=0 ，因 cya，dyb为有理数， x 为无理数，故有 cya=0, dy b=0，从而 bc=cdy=(cy)d=ad，这与已知条件 bcad 矛盾， 从而 y 不是有理数， y 一定是无理数11( a3)b20， a30， a 3 原式可化为 2a 4 |b 2| (a 3)b2 4 2a，即 |b 2 | (a 3)b2 0，解得 a=3, b=2，故 a+b=3+( 2)=1