一元一次方程知识点整理.docx
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一元一次方程知识点整理
七年级上一元一次方程知识点整理
一、本章知识点梳理：
知识点一：
方程的相关概念
知识点二：
解方程
知识点三：
用方程解应用题
二、各知识点分类讲解
知识点一：
方程的有关概念
（1）概念总结
1.方程：
含有未知数的等式就叫做方程.
注意未知数的理解，
等，都可以作为未知数
2．一元一次方程：
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
⑴方程：
含有未知数的
叫做方程；
使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；
求方程解的叫做解方程.
注意:
重点区分:
方程的解与解方程.
注：
⑴方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①
时，方程有唯一解
；
②
时，方程有无穷解；
③
时，方程无解。
⑵一元一次方程：
在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为
.
3.判断一元一次方程的条件
1.首先是一元一次方程。
2.其次是必须只含有一个未知数
3.未知数的指数是1
4.分母中不含有未知数
例1:
判定下列那些方程，那些是一元一次方程？
，
，
注意：
1、分式的含义，分式不能在方程中出现。
2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。
3、
是字母，但不是未知数，是一个常数。
（2）典型例题
例1、下列方程①
②
③2（x+1）+3=
④3（2x+5）-2（x-1）=4x+6.一元一次方程共有（）个.A.1B.2C.3D.4
例2、如果（m-1）x|m|+5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．
例3、一个一元一次方程的解为2，请写出一个这样的一元一次方程.
知识点二：
解方程
1：
等式的基本性质
等式的性质
（1）：
等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍是等式。
用式子形式表示为：
如果a=b，那么a±c=b±c。
等式的性质
（2）：
等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式。
用式子形式表示为：
如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么
=
⑴等式：
用等号“=”来表示关系的式子叫等式.
⑵性质：
等式的性质①如果
，那么
；
等式的性质②如果
，那么
；如果
，那么
.
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：
（其中m≠0）
特别须注意：
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：
将其化为：
。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
典型例题
例1、已知等式
，则下列等式中不一定成立的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
例2、下列说确的是（ ）
A、在等式ab=ac中，两边都除以a，可得b=cB、在等式a=b两边都除以c2+1可得
C、在等式
两边都除以a，可得b=cD、在等式2x=2a一b两边都除以2，可得x=a一b
例3、将等式4x=2x+8变形为x=4,下列说确的是（）
A运用了等式的性质1，没有运用等式的性质2
B运用了等式的性质2，没有运用等式的性质1
C既运用了等式的性质1，又运用等式的性质2
D等式的两条性质都没有运用
3.解一元一次方程的一般步骤
常用步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
注意变号，防止漏乘；
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式基本性质1
移项要变号，不移不变号；
合并同类项
把方程化成ax＝b（a≠0）的形式
合并同类项法则
计算要仔细，不要出差错；
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
的解x＝
等式基本性质2
计算要仔细，分子分母勿颠倒
典型例题
例1.巧解含有绝对值的方程|x－2|－3＝0
思路点拨：
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。
解法一：
移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：
x＝5或x＝－1。
解法二：
移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：
3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
例2.运用拆项法解方程：
思路点拨：
注意到，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
解：
原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得。
系数化为1，得
例3.利用整体思想解方程：
思路点拨：
因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。
解：
移项通分，得：
化简，得：
移项，系数化1得：
一元一次方程练习题
1、2（x－5）＋（x－4）＝3（2x－1）－（5x＋3）2、
3、
4、
5、k取什么整数时，方程2kx-4=（k+2）·x的解是正整数？
6、小在解方程
（x为未知数）时，误将-2x看成2x得到的解为
，
请你求出原来方程的解
知识点三：
列一元一次方程解应用题
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
二、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答。
三、常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型
基本数量关系
等量关系
（1）和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
（2）等积变形问题
变形前后体积相等
（3）行程问题
相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题
同地不同时出发：
前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：
前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
（4）打折销售问题
售价=标价（原价）×折数/10
商品利润＝商品售价－商品进价
利润率＝×100％
售价＝进价×（1＋利润率）
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
（5）工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
各部分工作量之和＝1
（6）数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系
（7）储蓄问题
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×（1－利息税率）
（8）按比例分配问题
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）
（9）日历中的问题
日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值围是1≤a≤31，且都是正整数
四、各类型题型分类讲解
1.和、差、倍、分问题：
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1：
兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
解：
设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，移向得：
2x-x=15-18
∴x=-3
答：
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
（点拨：
-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__________.
2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.
2.等积变形题型
等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
1形状面积变了，周长没变；
2原料体积＝成品体积。
典型例题：
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000
.求原来正方形铁皮的边长。
2、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。
求窗的高和宽。
（不考虑木料加工时损耗）
3、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？
3.行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
例1甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140+90）x+480=600
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+480
例2已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。
1.A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？
2、（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？
变式：
几分钟后两人二次相遇？
（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？
又经过几分钟两人二次相遇？
3、（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？
4、（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？
4.打折销售问题
知识点1：
打折销售中的售价=标价（也叫原价）×
变形公式：
打折销售中的售价=原价×（1-降价的百分数）=原价×（1+提价的百分数）
典型例题
例题1：
原价100元的商品打8折后价格为元；
例题2：
1）原价100元的商品提价40%后的价格为元；
2）某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是；
练习1：
原价X元的商品打8折后价格为元；
练习2：
500元的9折价是______元，x折是_______元.
练习3：
1）原价X元的商品提价40%后的价格为元；
2）原价100元的商品提价P%后的价格为元；
3）某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元；
知识点2：
利润=售价-进价
例题：
进价A元的商品以B元卖出，利润是元
变形：
售价=利润+进价
某商品的每件销售利润是72元，进价是120，则售价是__________元.
知识点3：
利润率=
=
例题：
一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价是2400元，那么彩电的标价是多少元？
练习：
1）某商品利润率13﹪，进价为50元，则利润是________元.
2）某商品的标价是1200元，打八折售出价后仍盈利100元，则该商品的进价是多少元？
知识点4：
利润=利润率×成本
例题：
某服装商店以135元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%，第二件亏损25%，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？
这二件衣服的成本价会一样吗？
算一算？
知识点5：
定价＝成本×﹙1＋期望的利润率﹚﹙利润率也称利润百分数，售价也称卖价﹚
例题：
某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价）,另一台空调调价后售出则要亏本10%（相当于进价）,而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出（）
A.即不获利也不亏本B.可获得1%;C.要亏本2%D.要亏本1%
练习：
（1）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打[]．
A．6折B．7折C．8折D．9折
（2）某商品的进价为1000元,售价为1500元,由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,则商店最低降____元出售此商品.
（3）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，则这种服装每件的成本是 元．
5.工程问题：
工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
例1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（
+
）×3+
=1
1.甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？
6.数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
例1．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多l0．求原来的两位数．
7.储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
（3）利润＝
×100%
例1.国家规定存款利息的纳税方法是：
利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？
1、某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
（不计利息税）
分析：
等量关系：
本息和=本金×（1+利率）
解：
设半年期的实际利率为x，
250（1+x）=252.7，
x=0.0108所以年利率为0.0108×2=0.0216
8.比例分配问题：
这类问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和＝总量。
例1.三个正整数的比为1：
2：
4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？
解：
设一份为x，则三个数分别为x，2x，4x
分析：
等量关系：
三个数的和是84
9、日历问题：
日历中的数量关系
1.在日历表中，一个月的日期按从星期日至星期六的顺序排列的，最小数为1，最大数由各月决定，一般为30或31，二月是28或29.
2.日历中每一横排数字之间的规律:
每一横排相邻两个数字之间相差1.
3.日历中每一竖排数字之间的规律:
每一竖排相邻两个数字之间相差7.
4.日历中从左向右斜（左斜）一列之间的规律：
左斜的一列相邻数字之间相差8.
5.日历中从右向左斜（右斜）一列之间的规律：
右斜的一列相邻数字之间相差6.
例题1、在某月历中，一个竖列上相邻的三个数的和是60，求出这三个数.
变式1：
在某月历中，一个竖列上相邻的四个数的和是50，求出这四个数.
变式2：
小彬假期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是84，小彬几号回家？
变式3：
爷爷的生日那天的上、下、左、右4个日期的和为80，你能说出我爷爷的生日是几号吗？
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