(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}
=115+215+315=25;
(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.
习题3
已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.
解答:
依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得
c=3716=.
由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}
=12c1-34c=24c-3==.
习题4
一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
解答:
随机变量X的可能取值为3,4,5.
P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,
所以X的分布律为
X
3
4
5
pk
1/10
3/10
3/5
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下:
X
10
20
30
40
pi
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.
解答:
因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为:
P{3X>60}, 即P{X>20},
P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=.
就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为.
习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:
(1)X的概率分布;
(2)P{X≥5};
(3)在两次调整之间能以的概率保证生产的合格品数不少于多少?
解答:
(1)P{X=k}=(1-p)kp=k×,k=0,1,2,⋯;
(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞k×=5;
(3)设以的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足
P{X≥m}=,即P{X≤m-1}=.由于
P{X≤m-1}=∑k=0m-1k=1-m,
故上式化为1-0.9m=, 解上式得 m≈≈5,
因此,以的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.
习题7设某运动员投篮命中的概率为, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.
解答:
此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1.
X=0表示未投中,其概率为 p1=P{X=0}==,
X=1表示投中一次,其概率为 p2=P{X=1}=.
则随机变量的分布律为
X
0
1
P
习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.
解答:
设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为
P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,
P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.
X的分布律为
X
0123
P
351120
习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.
解答:
由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.
设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为
P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.
习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.
解答:
因为X∼b(2,p),
P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.
因为Y∼b(3,p), 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.
习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.
解答:
以X记纺锭断头数, n=800,p=,np=4,
应用泊松定理,所求概率为:
P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,
≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!
+422!
)≈.
习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.
解答:
\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即
λ11!
e-λ=λ22!
e-λ⇒λ=2,
∴P{X=0}=e-2,
∴p=(e-2)4=e-8.
随机变量的分布函数
习题1F(X)={0,x<,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.
解答:
离散.
由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.
习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数.
解答:
首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).
其次,F(x)单调不减且右连续,即
F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F
(1)=1,
且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,
所以F(x)是随机变量的分布函数.
习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=,P{X=3}=,P{X=5}=,
试写出X的分布函数F(x),并画出图形.
解答:
由题意知X的分布律为:
X
135
Pk
0.30.50.2
所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<,1≤x<,3≤x<51,x≥5.
F(x)的图形见图.
习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<,-1≤x<,1≤x<31,x≥3,
试求:
(1)X的概率分布;
(2)P{X<2∣X≠1}.
解答:
(1)
X
-113
pk
0.40.40.2
(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.
习题5设X的分布函数为
F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<,x≥,
求P{},P{解答:
P{ F(x)=A+Barctanx(-∞试求:
(1)系数A与B;
(2)X落在(-1,1]内的概率.
解答:
(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1, 可知
{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,
于是 F(x)=12+1πarctanx, -∞(2)P{-1(1)-F(-1)
=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]
=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.
习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.
解答:
F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<,x≥a
连续型随机变量及其概率密度
习题1设随机变量X的概率密度为
f(x)=12πe-(x+3)24(-∞解答:
应填3+X2.
由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).
习题2已知X∼f(x)={2x,0解答:
P{X≤}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫=x2∣=,
P{X=}=P{X≤}-P{X<}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.
当X≤0时,F(x)=0;
当0当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故
F(x)={0,x≤0x2,0习题3设连续型随机变量X的分布函数为
F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:
(1)A,B的值;
(2)P{-1解答:
(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;
又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.
(2) P{-1(1)-F(-1)=1-e-2.
(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.
习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).
解答:
由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1, 即
∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,
而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx
=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A
或 ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2.
从而f(x)=12e-∣x∣,-∞当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;
当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt
=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,
从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.
习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度
f(x)={100x2,x≥1000,其它,
某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.
解答:
设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为
P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx
=-100x∣150+∞=100150=23,
从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.
习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.
解答:
设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数
n=10,p=P{X≥4}=15=,
所以 P{Y=1}=C101××≈.
习题7
设X∼N(3,22).
(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};
(2)设d满足P{X>d}≥, 问d至多为多少?
解答:
因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).
(1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2,
亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.
(2)由P{X>d}≥可得1-P{X≤d}≥, 即 P{X≤d}≤.
于是Φ(d-32)≤,Φ(3-d2)≥.查表得3-d2≥, 所以d≤.
习题8
设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过的次数不小于3的概率.
解答:
先求任意误差的绝对值超过的概率p,
p=P{∣X∣>}=1-P{∣X∣≤}
=1-P{∣X10∣≤=1-[Φ-Φ]
=1-[2Φ-1]=1-[2×]==.
设Y为100次测量中误差绝对值超过的次数,则Y∼b(100,.
因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ, 所以
P{Y≥3}≈1-50e-50!
-51e-51!
-52e-52!
=1-3722-5≈.
习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定.根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:
工人每月需完成多少件产品才能获奖?
解答:
用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).
设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=, 即
1-P{X所以1-F(x)=, 即 1-Φ(x-400060)=, 所以Φ(x-400060)=.
查标准正态人分布表得Φ=, 因此 x-400060≈, 即x=4077件,
就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.
习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.
(1)求P{X≤105},P{100(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤.
解答:
已知血压X∼N(110,122).
(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ=,
P{100 =Φ-Φ=2Φ-1≈.
(2)使P{X>x}≤, 求x, 即1-P{X≤x}≤, 亦即 Φ(x-11012)≥,
查表得x-10012≥, 从而x≥.
习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于.
解答:
X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).
设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<, 而
P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<,
即Φ(x-1706)>, 查标准正态表得x-1706>, 故x>183.98cm.
因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于.
习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:
分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:
(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?
(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?
解答:
设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).
哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.
(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ
(2)=, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ=,
所以有60分钟时应走第二条路.
(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ=,
P{X<45}=Φ(45-504)=Φ=1-Φ==
所以只有45分钟应走第一条路.
随机变量函数的分布
习题1已知X的概率分布为
X
-2
-1
0
1
2
3
pi
2a
1/10
3a
a
a
2a
试求:
(1)a;
(2)Y=X2-1的概率分布.
解答:
(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,
∴a=1/10.
(2)
Y
-1
0
3
8
pi
3/10
1/5
3/10
1/5
习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.
解答:
因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,
所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815
故Y的分布律列表表示为
Y
-101
P
习题3
设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0), 试求随机变量Y的密度函数.
解答:
fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,
当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.
习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).
解答:
f(x)={1,0≤x≤10,其它,
f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得
f(x)={fX(lny)∣ln′y,1习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.
解答:
因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).
FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)
=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,
所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是
fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.
习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度:
(1)Y=1X;
(2)Y=∣X∣.
解答:
(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.
①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}
=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),
故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);;
②当y<0时,FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),
故这时fY(y)=1y2f(1y);
③当y=0时,FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),
故这时取fY(0)=0, 综上所述
fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.
(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.
①当y>0时,FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)
这时fY(y)=f(y)+f(-y);
②当y<0时,FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;
③当y=0时,FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,
故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.
习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量,且有T∼N,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.
解答:
已知T∼N,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32, 是单调函数,所以
fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+24⋅95
=910πe-81100(y-37)2.
习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:
Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.
解答:
因X在任一有限区间[a