(2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是
(A)(-R,1)(B)(-3-1)
(C)(1,+3)(D)(-1,+3)
输出的s值为
8
5(D)5
3
(4)若x,y满足x<3,
'x+y》2,贝Ux+2y的最大值为
ywx,
(5)已知函数f(x)
=3x
1X
-1,则f(x)
3
(A)是奇函数,
且在
R上是增函数
(B)是偶函数,
且在
R上是增函数
(C)是奇函数,
且在
R上是减函数
(D)是偶函数,
且在
R上是减函数
(A)1
(B)3
(C)5
(6)
(D)9
设m,n为非零向量,则“存在负数,,使得m—n”是“m・nvO”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为
(A)3-、2
(B)23
(C)2.2
(D)2
(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的
原子总数N约为1O80.则下列各数中与M最接近的是
N
(参考数据:
Ig3沁0.4)
(A)1033(B)1053(C)1073(D)1093
第二部分(非选择题共110分)
:
■、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2
(9)若双曲线x2-止=1的离心率为73,则实数m=
m
(10)若等差数列和等比数列紅}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则鱼二
b2
(11)在极坐标系中,点A在圆少-2Tcosr-4鼻in^*4=0上,点P的坐标为(1,0),
则|AP|的最小值为.
(12)在平面直角坐标系xOy中,角a与角B均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。
若sin:
=—,贝Ucos(:
--)=
3
b,c的值依次为.
(14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵
坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工
人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3。
1记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Qi,Q2,Q3中最大的是。
2记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则pi,P2,P3中最大的是
三、解答题共6小题,共80分•解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
3在厶ABC中,NA=60°c=—a.
7
(I)求sinC的值;
(H)若a=7,求厶ABC的面积.
(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD丄平面ABCD,点M在线段PB
上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
(17)(本小题13分)
为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组
不服药。
一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*
表示服药者,“+”表示为服药者.
60
B!
A
*?
欷*:
•:
:
;!
*+\,++*
•/.?
•<>.**+十2*卜
••姬■•―一一4
・**••*•:
•■
1
O
1.7
(I)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
数,求°的分布列和数学期望E^);
(川)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小
(只需写出结论)
(18)(本小题14分)
21
已知抛物线C:
y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线I与抛物线C交于不同的两点M,N,
2
过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中0为原点.
(I)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(n)求证:
A为线段BM的中点.
(19)(本小题13分)
已知函数f(x)=ecosx-x.
(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
■JT
(n)求函数f(x)在区间[0,—]上的最大值和最小值.
(20)(本小题13分)
设{an}和{bn}是两个等差数列,记
Cn=max{bi-ain血力2n,-nn}(n=1,2,3,•厂)
其中max{xi,x2,--xs}表示xi,x2,^xs这s个数中最大的数.
(I)若an=n,bn=2n-1,求Ci,C2,C3的值,并证明{cn}是等差数列;
M;或者存在正整数
(H)证明:
或者对任意正数M,存在正整数m,当n沏时,§.
n
m,使得Cm,Cm+i,Cm+2,•是等差数列.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)答案
(3)C(4)D
⑺B(8)D
(10)1
(12)-1
9
(14)Q1P2
、
(I)A
(2)B
(5)A(6)A
、
(9)2
(II)1
(13)_1,一2,;(答案不唯一)
三、
(15)(共13分)
3
解:
(I)在厶ABC中,因为.A=60,c=3a,
7
所以由正弦定理得sinC二浊△_!
二工.
a7214
(n)因为a=7,所以c7=3.
7
由余弦定理a2^b2c2-2bccosA得723^2b3-,
2
解得b=8或b=-5(舍)
解:
(I)设AC,BD交点为E,连接ME•
因为PD//平面MAC,平面MAC「|平面PBD=ME,所以PD//ME.
因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点•
(II)取AD的中点O,连接OP,OE.
因为PA二PD,所以OP—AD.
又因为平面PAD_平面ABCD,且0P平面PAD,所以0P_平面ABCD.
因为0E平面ABCD,所以OP_0E.
因为ABCD是正方形,所以OE_AD.
如图建立空间直角坐标系O_xyz,则P(0,0,、、2),D(2,0,0),B(_2,4,0),
BD=(4,-4,0),PD=(2,0,=2).
『T
nBD=04x「4y二0设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),贝U,即_.
nPD=0[2x—V2z=0
令x=1,则y=1,z「2.于是n二(1,1八2).
TT
由题知—面角B-'PD-'A为锐角,所以它的大小为.
3
42I
(III)由题意知M(-1,2,),D(2,4,0),MC=(3,2,
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
(17)(共13分)
解:
(I)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,
15
所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为0.3.
50
(n)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:
A和C.
所以•的所有可能取值为0,1,2.
P(®CM,P(JrCCM,P(SC
C46C43C4
所以'的分布列为
0
1
2
P
1
2
1
6
3
6
121
故'的期望E()=0121.
636
(川)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差
(18)(共14分)
21
解:
(I)由抛物线C:
y=2px过点P(1,1),得p=—.
2
所以抛物线C的方程为y二x.
1
l的方程为y=kx+—(k式0),1与抛物线C的交点为M(X1,yJ,
2
N(X2,y2).
y=kx22
由2,得4k2x2(4k—4)x1二0.
.y2=x
xiX22
4k
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,y1).
直线ON的方程为,点B的坐标为(刘,'2必).
X2X2
因为
.y2y1_ym+y2y1—2x1X2
y12x1:
X2X2
11
(kx1)x2(kx2)x^2x1x2
(2k-2)x1x2扣2为)
X2
所以%•纱=2Xi.
X2
故A为线段BM的中点.
(19)(共13分)
解:
(I)因为f(x)二excosx-x,所以f(x)二eX(cosx-sinx)-1,f(0)=0•
又因为f(o)=1,所以曲线目二f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=「
(n)设h(=xx)ex,-则
h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)--2exsinx.
当x(0,扌)时,h(x):
:
0,
所以h(x)在区间[0,」]上单调递减.
2
n
所以对任意X(0,?
]有h(x):
:
h(0)=0,即f(x):
:
0.
n
所以函数f(x)在区间[0,—]上单调递减.
2
因此f(x)在区间[0,亍]上的最大值为f(0)-1,最小值为“亍)=一寺
(20)(共13分)解:
(I)g=bj-ai=1-1=0,c2二max{b-2a4,b2-2a2}=max{1-21,3-22}=-1,
c3=max{D-3a2,b3-3a3}=max{1-31,3-32,5-33}--2.
当n丄3时,(bk1—nak1)-(bk-nak)=(bk1-bj-n(ak1-ak)=2-n:
:
0,所以bk-nak关于k三N*单调递减.
所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,|,bn-ann}二dpn=1-n.
所以对任意n_1,Cn=1-n,于是Cn彳-Cn--1,
所以{Cn}是等差数列.
(n)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,贝U
bk-nak=b(k-1)d2-[a(kT)dj]n=DVn(d2-ndj(k-1).
[b_an,当d2兰nd|时,
①当a0时,取正整数m-,则当n-m时,ndj•d?
,因此c.=D-玄勺n.
此时,陥,陥1,Cm』H是等差数列.
2当a=0时,对任意n一1,
Cn二bi-ajn(n-1)max{d2,0}-a1(n「1)(max{d2,0}「aj.
此时,G,C2,C3,|l(,Cn,|l(是等差数列.
3当d1<0时,
rdo
当n-时,有ndj:
:
:
d2.
所以Cn丿-卸(n-1)(d2-ndi)二n(_dj•diyd2匕
nnn
"(-d1)dj7d2-Id-d21.
对任意正数M,取正整数m-max{M——也——d2-1ai——di———2,—2
Vd1
故当n_m时,Cn.M.
n