二项分布与正态分布练习题.docx

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二项分布与正态分布练习题

二项分布与正态分布

1．用电脑每次可以自动生成一个（0,1）内的实数，且每次生成每个实数都是等可能

1

的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于31的概率为（）

2

B.3

4

D.49

1

A.27

8

C.27

1

解析：

选C由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于3的概率为P＝

1212381－13＝32，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于31的概率为33＝287.故选

C.

2．（2019·汕头模拟）甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人

23能荣获一等奖的概率分别为3和4，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中

恰有一人获得一等奖的概率为

（）

A.34

2

B.23

C.57

D.152

12

解析：

选D根据题意，

恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得

乙获得，则所求概率是23×

33251－4＋4×1－3＝12，故选D.

3．（2018·厦门二模）袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取

1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（）

3

B.35

2

A.25

解析：

选D袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，

3232354

每次取到黄球的概率为5，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C32521－5＝125.

4．（2018·唐山二模）甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）

4

B.49

2

A.29

C.3

解析：

选D甲不跑第一棒共有A31·A3＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：

（1）乙跑第一棒，共有A3＝6种情况；

（2）乙不跑第一棒，共有A2·A2·A2＝8

5．（2019·福建四校联考）某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，

其数学考试成绩X近似服从正态分布N（100，a2）（a>0），试卷满分150分，统计结果显

分到110分之间的人数约为（）

A．400

B．500

C．600

D．800

解析：

选A

11

由题意得，P（X≤90）＝P（X≥110）＝10，所以P（90≤X≤110）＝1－2×10

＝45，所以P（100≤X≤110）＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约

2

为1000×＝400.故选A.

5

6．（2018·河北“五个一名校联盟”二模）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯

11闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，

25

则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为

1

B.15

1

A.10

2

（参考数据：

若X～N（μ，σ），有P（μ－σ

X≤μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ

B．0.6826

D．0.9544

解析：

选A∵X～N（800,502），∴P（700≤X≤900）＝0.9544，∴P（X>900）＝

1－0.92544＝0.0228，∴P（X≤900）＝1－0.0228＝0.9772.故选

A.

8．（2019·茂名一模）设X～N（1,1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）

2

（注：

若X～N（μ，σ），则P（μ－σ

2σ）＝95.44%）

A．7539

B．6038

C．7028D．6587

解析：

选D∵X～N（1,1），∴μ＝1，σ＝1.∵P（μ－σ

9．（2019·珠海一模）夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为（）

A．0.05B．0.0075

C．

D．

解析：

选C设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B

为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P（A）＝0.15，P（AB）＝0.05，∴P（B|A）＝

PAB0.051

PA＝0.15＝3.故选C.

10．（2019·江西名校联考）在如图所示的正方形中随机投掷

10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（－1,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附：

若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ

P（μ－2σ

A．1193B．1359

C．2718D．3413

解析：

选B对于正态分布N（－1,1），可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x11

＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为2×[P（－3

－2σ

所以点落入题图中阴影部分的概率P＝1＝0.1359，

投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.故选B.

11．（2019·南昌模拟）口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为．

解析：

口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则21231

P（A）＝6＝3，P（AB）＝6×5＝5，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P（B|A）

1

PAB53

＝PA＝1＝5.

3

答案：

3

5

12．（2019·郑州一中月考）科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，

3

是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为4，且每次考试相互独

立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为．

解析：

甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率

13．（2019·合肥名校联考）已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X>0）＝0.8，则P（X≥2）

解析：

随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴正态曲线关于x＝1对称，∴P（X≥2）＝P（X≤0）＝1－P（X>0）＝0.2.

答案：

0.2

14．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲

队的概率为0.6，比赛顺序是：

第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为．

解析：

设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：

第一局中乙胜甲（A1），其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙（A2），其概率为0.5；第三局中乙胜甲（A3），其概率为0.6；第四局中乙胜丙（A4），其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局22

的概率为：

P（A）＝P（A1A2A3A4）＝0.62×0.52＝0.09.

答案：

0.09

15．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：

质量/g

[5,15）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55]

数量

4

12

11

8

5

（1）若购进这批九节虾35000g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量（所得结果保留整数）；

（2）以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25）间的九节虾的数量为X，求X的分布列．

解：

（1）由表中数据可以估计每只九节虾的质量为

1

40×（4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50）＝29.5（g），因为35000÷29.5≈1186（只），

所以这批九节虾的数量约为1186只．

4＋122

（2）由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25）间的概率p＝40＝5，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

则P（X＝0）＝534＝68215，

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

81

216

216

96

16

625

625

625

625

625

16．（2019·惠州模拟）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果

2只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p＝3，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.

（1）求S6＝20且Si≥0（i＝1,2,3）的概率；

（2）记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望．

解：

（1）当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．

由Si≥0（i＝1,2,3）可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；

若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．

22222

则所求的概率P＝32×C2432×

1221222211632＋3×3×3×C2332×3＝81.

323

∴P（ξ＝10）＝C53×

12

132＋C52232×

13＝40，

3＝81，

P（ξ＝30）＝C54324×311＋C51321×

1430

3＝81，

5＝11，

＝81，

P（ξ＝50）＝C55325×310＋C50320×

∴ξ的分布列为

ξ

10

30

50

P

40

30

11

81

81

81

4030111850

∴E（ξ）＝10×81＋30×81＋50×81＝81

17．（2018·濮阳二模）近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T（单位：

时），并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．

由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N（μ，σ2），其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.

（1）计算μ，并利用该正态分布求P（1.51

（2）利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在（2,2.98）小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10000名客户，

记X为这10000人中目标客户的人数．

（ⅰ）求EX；

（ⅱ）问：

10000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？

附：

若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），

则P（μ－σ

0.24≈0.49.

解：

（1）μ＝0.4×（0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋

0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2）＝2，

从而T服从N（2,0.24），

又σ＝0.24≈0.49，

从而P（1.51

（2）（ⅰ）任意抽取1名客户，

该客户是目标客户的概率为P（2

11

＝2P（μ－2σ

由题意知X服从B（10000,0.4772），所以EX＝10000×0.4772＝4772.

（ⅱ）X服从B（10000,0.4772），

10000－k

P（X＝k）＝Ck100000.4772k（1－0.4772）

Ck100000.4772k·0.522810000－k（k＝0,1,2，⋯，10000）．

设当X＝k（k≥1，k∈N）时概率最大，

PX＝k>PX＝k＋1，则有

PX＝k>PX＝k－1，

0.5228C10000>0.4772C10000，得kk－1

0.4772C10000>0.5228C10000，解得k＝4772.

故10000人中目标客户的人数为4772的概率最大．

N（800,502），则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为（）