三角形全等之倍长中线含问题详解和练习.docx
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三角形全等之倍长中线含问题详解和练习
三角形全等之倍长中线
1.如图,AD为△ABC的中线.
(1)求证:
AB+AC>2AD.
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:
①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
4.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
求证:
∠AEF=∠EAF.
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
求证:
AD为△ABC的角平分线.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.
7.如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,△FEB为等腰直角三角形,∠FEB=90°,连接FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:
EG=CG且EG⊥CG.
【参考答案】
1.
(1)证明:
如图,
延长AD至E,使DE=AD,连接BE,
∴AE=2AD.
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC
在△ABE中,AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
(2)解:
由①可知
AE=2AD,BE=AC
在△ABE中,
ABBE∵AC=3,AB=5
∴53∴2<2AD<8
∴1
2.证明:
如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=EB,∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
3.证明:
如图,
延长CD到F,使DF=CD,连接BF.
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC(SAS)
∴BF=AC,∠3=∠A
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=AC
∴BE=BF
∵∠CBE是△ABC的一个外角
∴∠CBE=∠BCA+∠A
=∠BCA+∠3
∵AC=AB
∴∠BCA=∠CBA
∴∠CBE=∠CBA+∠3
=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF(SAS)
∴CE=CF,∠4=∠5
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
4.证明:
如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM.
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB(SAS)
∴∠CAD=∠M,AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠BEM
∴∠CAD=∠BEM
∵∠AEF=∠BEM
∴∠CAD=∠AEF
即∠AEF=∠EAF
5.证明:
如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM.
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME(SAS)
∴CF=BM,∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠3=∠M
∴∠3=∠F
∵AD∥EF
∴∠2=∠F,∠1=∠3
∴∠1=∠2
即AD为△ABC的角平分线.
6.解:
如图,延长AF交BC的延长线于点G.
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中
∴△ADF≌△GCF(AAS)
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠5=∠B
∵AB⊥AF
∴∠4+∠5=90°
∠B+∠G=90°
∴∠4=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG
=52.7
=2.3
7.证明:
如图,延长EG,交CD的延长线于M.
由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中
∴△FGE≌△DGM(AAS)
∴EF=MD,EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中,BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG,∠ECG=∠MCG=45°
∴EG=CG
全等三角形之倍长中线每日一题
1.(4月21日)已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.
求证:
AE⊥BE.
2.(4月22日)已知:
如图,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,垂足分别为A,D,连接EC,F为EC中点,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并说明理由.
3.
(4月23日)已知:
如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点C(不与点A,B,D重合),分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF,∠AEC=∠CFB=90°,连接DE,DF,EF.
求证:
△DEF为等腰直角三角形.
4.(4月24日)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并说明理由.
【参考答案】
1.证明:
延长AE交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC
∴∠D=∠DCF,∠DAE=∠F
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE(AAS)
∴AD=FC,AE=FE
∵AB=AD+BC
∴AB=CF+BC=BF
在△ABE和△FBE中
∴△ABE≌△FBE(SSS)
∴∠AEB=∠FEB=90°
即AE⊥BE
2.解:
AF⊥DF,AF=DF,理由如下:
延长DF交AC于点P.
∵BA⊥AC,ED⊥BD
∴∠BAC=∠EDA=90°
∴DE∥AC
∴∠DEC=∠ECA
∵F为EC中点
∴EF=CF
在△EDF和△CPF中
∴△EDF≌△CPF(ASA)
∴DE=CP,DF=PF
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形
∴AB=AC,DE=BD
∴ABBD=ACDE=ACCP
即AD=AP
在△DAF和△PAF中
∴△DAF≌△PAF(SSS)
∴∠DFA=∠PFA=90°,∠DAF=∠PAF=45°
∴AF⊥DF,AF=DF
3.证明:
延长ED到点G,使DG=DE,连接BG,FG.
∵D为线段AB的中点
∴AD=BD
在△EDA和△GDB中
∴△EDA≌△GDB(SAS)
∴EA=GB,∠A=∠GBD
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
∴AE=CE=BG,CF=FB,∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°
∴∠ECF=90°,∠GBF=∠GBD+∠FBD=90°
在△ECF和△GBF中
∴△ECF≌△GBF(SAS)
∴EF=GF,∠EFC=∠GFB
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
在△EFD和△GFD中
∴△EFD≌△GFD(SSS)
∴∠EDF=∠GDF=90°,∠EFD=∠GFD=45°
∴DE=DF
∴△DEF为等腰直角三角形
4.解:
AB=AF+CF,理由如下:
延长AE交DF的延长线于点G.
∵E为BC边的中点
∴BE=CE
∵AB∥DC
∴∠B=∠BCG,∠BAG=∠G
在△ABE和△GCE中
∴△ABE≌△GCE(AAS)
∴AB=GC
∵∠BAE=∠EAF
∴∠G=∠EAF
∴AF=GF
∵GC=GF+FC
∴AB=AF+CF
三角形全等之倍长中线(随堂测试)
1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是_______________.
2.已知:
如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥AB交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分∠BAC.
【参考答案】
1.32.证明略(提示:
延长AE到点G,使EG=EF,连接CG,
证明△DEF≌△CEG).
三角形全等之倍长中线(作业)
1.已知:
如图,在△ABC中,AB=4,AC=2,点D为BC边的中点,且AD是整数,则AD=________.
2.已知:
如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F.求证:
AB=EF.
3.已知:
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形.求证:
EF=2AD.
4.如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为
∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:
BF=CG.
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,连接AF,若∠DAF=∠EAF,求证:
AF⊥EF.
【参考答案】
1.2
2.证明略(提示:
延长FD到点G,使得DG=DF,连接AG,证明△ADG≌△EDF,转角证明AB=EF)
3.证明略(提示:
延长AD到点G,使得AD=GD,连接CG,证明△ABD≌△GCD,△EAF≌△GCA)
4.证明略(提示:
延长FE到点H,使得FE=EH,连接CH,证明△BFE≌△CHE,转角证明BF=CG)
5.证明略(提示:
延长AF交BC的延长线于点G,证明△ADF≌△GCF,转角证明AF⊥EF)