3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？
请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人
以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起
来更美？
（精确到十分位）
22．已知线段AB，按照如下的方法作图：
以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？
请说明理由．
23．如图，用纸折出黄金分割点：
裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠
使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
24．如图，用纸折出黄金分割点：
裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然
后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则
25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
1写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
2求AD的长；
3在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？
若存在，在备用图中画出点P，简
说明理由．
26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：
黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美
感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：
作一个正方形ABCD；
第二步：
分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：
以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：
过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金
三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：
两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？
只需说明结果，不用证明．
答：
CM与AB之间的数量关系是．
28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：
如图
（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：
如图
（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG>GD）
29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：
AB=AC，且∠A=36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？
如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
的值．
4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出
30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：
在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？
为什么？
（2）请你说明：
三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：
过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD
黄金分割专项练习30题参考答案:
1．
（1）证明：
∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，
2
∴BC：
AC=CD：
BC，即BC2=CD?
AC，
2
∴AD2=CD?
AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
2
∵AD2=CD?
AC，
2
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为
2．解：
（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，
当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，
而AB>AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，
2
整理得x2﹣20x+101=0，
因为△=202﹣4×101=﹣4<0，所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得20﹣x=x，
解得x=10（﹣1），
则20﹣x=10（3﹣），
所以矩形的面积=10（﹣1）?
10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：
（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
2
∴AD=AC?
CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∵AC=2，
∴AD=﹣14．解：
（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，
（2）作法：
①画线段AB作为三角形底边；
②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．
③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；
4分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．
（3）证明：
设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．
=．
5．解：
（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，
或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；
2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．
6．解：
（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，2
∵AC2=BC?
AB，
2∴x=1×（1﹣x），
2整理得x2+x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去），
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
2
∵AD=CD?
AC，
2
∴x=l×（l﹣x），
∴x1=，x2=（舍去），
∴线段AD的长度AC；
（3）同理得到线段AE的长度AD；
上面各题的结果反映：
若线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：
AC=AC：
BC），则C点为AB的黄金分割点
7．解：
D是AC的黄金分割点．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴，
∴，
2
∴AD2=AC?
CD，即D是AC的黄金分割点
8．证明：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
∴
∵AB=AC，
∴=，
=
∵AB=AC=2，BC=﹣1，
∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，
AD：
AC=（）：
2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
9．证明：
在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．
BE=，
∴，
∴，
∴，
∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．解：
设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，
HB=AB﹣AH=3﹣；
∴AH2=（）2=6﹣2，
AB?
HB=2×（3﹣）=6﹣2，
2
∴AH=AB?
HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：
AC=CD：
BC，
2
∴BC=AC?
DC，
∵BC=AD，
2
∴AD2=AC?
DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
2
12．解：
∵D在AB上，且AD=BD?
AB，
∴点D是AB的黄金分割点
而点C是AB的黄金分割点，
∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，
∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，
∴==或==．
13．解：
矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴==﹣1==．
∴==﹣1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．
14．解：
∵D为AB的黄金分割点
AD>BD），
∴AD=
AB=10﹣10，
∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：
设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：
1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：
他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．
16．解：
（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，
DM=AD﹣AM=3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于=，
由于=，
∴点M是AD的黄金分割点．
17．解：
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
2
∴AP=BP×AB，
2
又∵S1=AP，S2=PB×AB，
∴S1=S2．
18．解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，
∴△BCF∽△EAB，
∴，即，
∴，即，
把AD=，AB=+1代入得，=，解得：
CF=2．
故答案为：
2．
19．解：
矩形EFDC是黄金矩形，
证明：
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
20．解：
（1）满足
≈0.618
≈0.618
的矩形是黄金矩形；
2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
2
即k=（1﹣k）×1，
解得k=
∵k>0，
∴k=≈0.618；
3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以
设△ABC的AB上的高为h，则
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由
（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
21．解：
根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：
x≈7.5cm．
故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：
设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB?
HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
2
∴AH=AB?
HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
23．证明：
设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
又∵B′E=BE=1，
∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，
∴AB″
∴点B″是线段AB的黄金分割点．
24．证明：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1
∴AE==，∵EF=BE=1，
∴AF=AE﹣EF=﹣1，
∴AM=AF=﹣1，
∴AM：
AB=（﹣1）：
2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
25．解：
（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：
△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
∴，
∴，
∵BC=2，∴AC=﹣1．
∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，
∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底
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