黄金分割专项练习30题.docx

1、黄金分割专项练习30题黄金分割专项练习 30 题（有答案）21定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC =BC ?AB ，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2，ABC 中， AB=AC=1 ，A=36，BD平分 ABC 交AC于点 D1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；2）求出线段 AD 的长2如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD （ABAD ）4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比5（1）已知线段 AB的长为 2，P是AB 的黄金分割点，求 AP的长； （

2、2）求作线段 AB 的黄金分割点 P，要求尺规作图，且使 APPB 6如图，线段 AB 的长度为 12（1）线段 AB 上的点 C 满足系式 AC 2=BC ?AB ，求线段 AC 的长度；（选做）（ 2）线段 AC 上的点 D 满足关系式 AD2=CD?AC，求线段 AD 的长度；2（选做）（ 3）线段 AD 上的点 E满足关系式 AE2=DE ?AD ，求线段 AE 的长度； 上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设 x 和 l）7如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=36 ， 1=2，请问点 D是不是线段 AC 的黄金分割点请说明理由8在ABC中，AB=AC=2，BC=

3、 1，A=36，BD平分ABC，交于 AC于D试说明点 D是线段 AC的黄 金分割点9在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形 ABCD 中，当时，称矩形 ABCD为黄金矩形 ABCD 请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD ；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF=EB ； 以线段 AF 为边作正方形 AFGH 则点 H 是 AB 的黄金分割点为什么说上述的方法作出的点 H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说11如图，已知 ABC 中，D是AC

4、边上一点， A=36 ， C=72 ， ADB=108 求证：（1） AD=BD=BC ；（ 2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点12已知AB=2 ，点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且 AD 2=BD ?AB ，求 的值13如果一个矩形 ABCD（AB BP，设以 AP 为边长的正方形面积为 S1，以 PB 为宽和以 AB 为 长的矩形面积为 S2，试比较 S1 与 S2 的大小18如图，在平行四边形 ABCD 中，E为边 AD 延长线上的一点，且 D为AE 的黄金分割点，即 ，BE 交 DC 于点 F，已知 ，求 CF 的长19图 1 是一张宽与长之比为 的矩形纸片，我们称这样的矩

5、形为黄金矩形同学们都知道按图 2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC ，那么 EFDC 这个矩形还是黄金 矩形吗？若是，请根据图 2 证明你的结论；若不是，请说明理由20（如图 1），点P将线段 AB 分成一条较小线段 AP和一条较大线段 BP，如果 ，那么称点 P为线段 AB 的黄金分割点，设 =k，则 k就是黄金比，并且 k0.618（1）以图 1 中的 AP 为底，BP 为腰得到等腰 APB（如图 2），等腰 APB 即为黄金三角形， 黄金三角形的定义为： 满足 0.618 的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：

6、；（2）如图 1，设 AB=1 ，请你说明为什么 k 约为 0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的 “黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成面积为 S1和面积为 S2的两部分（设 S1GD ）29三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1，在 ABC 中，已知： AB=AC ，且 A=36 （1）在图 1 中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法） ；（2） BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（ 3）设 ，试求 k 的值；的值4）如

7、图 2，在 A1B1C1中，已知 A1B 1=A 1C1， A 1=108，且 A1B1=AB ，请直接写出30如图 1，点 C将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C为线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行 课题学习时，由黄金分割点联想到 “黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形 分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在 ABC 中，若点 D为 AB 边上的黄金分割点（如图 2），则直线 CD 是ABC 的黄金分割 线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线

8、是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现： 过点 C任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F， 连接 EF（如图 3），则直线 EF 也是 ABC 的黄金分割线请你说明理由（4）如图 4，点 E是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E作EFAD ，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平行四边形 ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD黄金分割专项练习 30 题参考答案 :1（ 1）证明： AB=AC=1 ， ABC= C= （ 180 A）= （18036

9、）=72， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D， ABD= CBD= ABC=36 ， BDC=180 36 72=72，DA=DB ， BD=BC ， AD=BD=BC ， 易得 BDC ABC ，2BC：AC=CD ：BC，即 BC 2=CD ?AC ，2 AD 2=CD ?AC ，点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）设 AD=x ，则 CD=AC AD=1 x，2 AD 2=CD ?AC ，2x2=1 x，解得 x1= ，x2= ，即 AD 的长为2解：（ 1）设 AB=xcm ，则 AD= （ 20x） cm，根据题意得 x（ 20x）=99，整理得 x 2 20x+99=0

10、 ，解得 x1=9，x2=11，当 x=9 时， 20 x=11；当 x=11 时， 20 11=9，而 AB AD ，所以 x=11，即 AB 的长为 11cm ；（2）不能理由如下：设 AB=xcm ，则 AD= （ 20 x）cm， 根据题意得 x（ 20x）=101 ，2整理得 x220x+101=0 ，因为 =202 4101=4BC），且使 AC是AB 和BC的比例中项 （即AB： AC=AC ：BC ），则 C 点为 AB 的黄金分割点7解： D 是 AC 的黄金分割点理由如下：在 ABC 中， AB=AC ， A=36 ， ABC= ACB= =72 1= 2， 1= 2= A

11、BC=36 在 BDC 中， BDC=180 2 C=72， C=BDC ， BC=BD A= 1， AD=BC ABC 和BDC 中， 2=A， C=C， ABC BDC，又 AB=AC ，AD=BC=BD ，2 AD 2=AC ?CD ，即 D是AC 的黄金分割点8证明： AB=AC ， A=36 ， ABC= （18036） =72，BD 平分 ABC ，交于 AC 于 D， DBC= ABC= 72=36 ， A= DBC ，又 C= C， BCD ABC ， AB=AC ，=，=AB=AC=2 ， BC= 1，（ 1）2=2（2AD ）， 解得 AD= ，AD ：AC= （ ）：2点

12、 D 是线段 AC 的黄金分割点9证明：在 AB 上截取 AE=BC ，DF=BC ，连接 EF AE=BC ，DF=BC ， AE=DF=BC=AD ， 又 ADF=90 ， 四边形 AEFD 是正方形BE= ，矩形 BCFE 的宽与长的比是黄金分割比，矩形 BCFE 是黄金矩形 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10解：设正方形 ABCD 的边长为 2，在 Rt AEB 中，依题意，得 AE=1 ，AB=2 ， 由勾股定理知 EB= = = ， AH=AF=EF AE=EB AE= 1，HB=AB AH=3 ；AH2=（ ）2=62 ，AB ?HB=2 （3 ）=62 ，2AH

13、 =AB ?HB，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点 11证明：（1） A=36 ， C=72， ABC=180 36 72=72， ADB=108 ， ABD=180 36108=36， ADB 是等腰三角形， BDC=180 ADC=180 108=72，BDC 是等腰三角形， AD=BD=BC （2） DBC= A=36 ， C= C， ABC BDC，BC：AC=CD ：BC ，2BC =AC ?DC ， BC=AD ，2 AD 2=AC ?DC ，点 D 是线段 AC 的黄金分割点212解： D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB ，点 D 是 AB 的黄金分割点而点 C 是

14、 AB 的黄金分割点，AC= AB= 1， AD=AB AB= AB=3 或 AD= 1，AC=3 ，CD= 1（ 3 ）=2 4， = = 或 = = 13解：矩形 ABFE 是黄金矩形AD=BC ， DE=AB ， = = 1= = = = 1= = 矩形 ABFE 是黄金矩形14解： D 为 AB 的黄金分割点AD BD ），AD=AB=10 10， EC+CD=AC+CD=AD ， EC+CD= （10 10）cm 15解：设他的肚脐到脚底的长度为 xm 时才是黄金身段，根据题意得 x： 1.70=0.618，即 x=1.70 0.6181.1（m） 答：他的肚脐到脚底的长度为 1.1

15、m 时才是黄金身段16解：（ 1）在 RtAPD 中， AP=1 ， AD=2 ，由勾股定理知 PD= = = ， AM=AF=PF AP=PD AP= 1，DM=AD AM=3 故 AM 的长为 1，DM 的长为 3 ；（ 2）点 M 是 AD 的黄金分割点由于 = ，由于 = ，点 M 是 AD 的黄金分割点17解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，2AP =BP AB ，2又 S1=AP ， S2=PB AB ，S1=S218解：四边形 ABCD 为平行四边形， CBF= AEB ， BCF= BAE ， BCF EAB ， ，即 ， ，即 ，把 AD= ， AB= +1

16、 代入得， = ， 解得： CF=2故答案为： 219解：矩形 EFDC 是黄金矩形，证明：四边形 ABEF 是正方形， AB=DC=AF ，又 ，又 ，即点 F 是线段 AD 的黄金分割点，矩形 CDFE 是黄金矩形20解：（1）满足0.6180.618的矩形是黄金矩形；2）由 =k 得， BP=1k=k ，从而 AP=1 k ，由 得， BP2=APAB，2即k =（ 1k ） 1，解得 k=k0， k= 0.618；3）因为点 P 是线段 AB 的黄金分割点，所以设 ABC 的 AB 上的高为 h，则直线 CP 是 ABC 的黄金分割线（4）由（ 2）知，在 BC 边上也存在这样的黄金分

17、割点 Q，则 AQ 也是黄金分割线，设 AQ 与 CP 交于点 W，则过 点 W 的直线均是 ABC 的黄金分割线，故黄金分割线有无数条21解：根据已知条件得下半身长是 1600.6=96cm ，设选择的高跟鞋的高度是 xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得： x7.5cm故她应该选择 7.5cm 左右的高跟鞋穿上看起来更美 22解：设正方形 ABCD 的边长为 2a， 在 Rt AEB 中，依题意，得 AE=a ，AB=2a ， 由勾股定理知 EB= = a，AH=AF=EF AE=EB AE= （ 1）a，HB=AB AH= （3 ）a；AH2=（62 ）a2，AB ?HB=2

18、a （ 3 ）a=（62 ） a2，2AH =AB ?HB，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点23证明：设正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，BE=1 AE= = ，又 BE=BE=1 ， AB =AE BE= 1，AB点 B 是线段 AB 的黄金分割点24证明：正方形 ABCD 的边长为 2，E为 BC 的中点， BE=1 AE= = ， EF=BE=1 ， AF=AE EF= 1，AM=AF= 1，AM ：AB= （ 1）：2，点 M 是线段 AB 的黄金分割点25解：（ 1） BD=DC=AC 则 B=DCB ， CDA= A设 B=x ，则 DCB=x ， CDA= A=2x 又 BOC=108 ， B+A=108 x+2x=108 ，x=36 B=36 ；（2） 有三个： BDC ， ADC ，BACDB=DC ， B=36 ，DBC 是黄金三角形，（或 CD=CA ， ACD=180 CDA A=36 CDA 是黄金三角形 或 ACE=108 ， ACB=72 又 A=2x=72 ， A= ACB BA=BC BAC 是黄金三角形 BAC 是黄金三角形，BC=2， AC= 1BA=BC=2 ， BD=AC= 1，AD=BA BD=2 （ 1）=3 ， 存在，有三个符合条件的点 P1、 P2、P3）以 CD 为底