高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案.docx

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高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案

高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案

  高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版

【同步教育信息】

一.本周教学内容:

二面角、两平面垂直的判定和性质

二.重点、难点:

重点:

1.二面||角的有关概念:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面||角,这条直线叫二面角的棱。

二面角的平面角的定义:

以二面||角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射||线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫直二||面角。

2.作二面角的平面角常有以下方法:

①若构||成二面角的两个面有特殊性(如等腰三角形或直||角三角形),可根据特殊图形的性质作出平面角。

②若已知二面角内一点到两||面的垂线,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面||角的平面角,称为垂面法。

③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线,用三垂||线定理或它的逆定理作出平面角,称为三垂线法。

④由定义找||到棱上有关点,分别在两个面内作出(或找出)垂直于棱的射线,得到||二面角的平面角。

⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时,||要先延展平面找到棱,用上述方法之一作出平面角。

3||.两个平面垂直的定义:

两个平面相交,所成二面角是直二面角。

作用:

①用于证明两个平面垂直,证明二面角的平面角是直角。

②两平面垂直,二面角为直二面角,平面角的二直线互相垂直。

4.

(1)两个平面垂直的判定定理||如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的判||定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面||的另一个平面的依据。

由判定定理的内容可知,证明面面垂直,可以转化为||证线面垂直。

(2)性质定理如果两个平面垂直,那么一||个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

简言为:

“面面垂直,则线||面垂直”。

难点:

1.二面角平面角的作法与计算。

2.判定定理和性质定理的应用。

【典型例题】

例1.如图。

AC为圆O的直径,B,D||为圆上在AC两侧的两个点,SA平面ABCD||,连SB,SC,SD,试写出图中所有互相||垂直的各对平面并说明理由。

解:

∵SA平面ABCD。

过SA的平面垂直于平面ABCD。

面SAB,面SAC,面SAD都与平面ABCD垂直。

又∵CDAD。

CDSD(三垂线定理)。

CD面SAD。

经过CD的平面垂直于平面SAD。

面CDS,面ACD分别垂直于平面SAD。

同理,面CBA,面SBC分别垂直于平面SBA。

但其中面SAD||面ACD,面CAB面SAB。

在第一种情况中已得到。

||

故共有五对平面互相垂直。

例2.在四面体ABCD中,DA面ABC,ABC=90。

,求二面角的正弦值。

证明:

过点A作AECD于E,AFBD于F如图。

∵AD面ABC

ADBC又∵ABC=90。

BCABBC面DAB。

DB是DC在面ABD内的射影。

∵AFDBAFCD(三垂线定理)。

又∵AECDCD平面AEF。

CDEF

∵CD面AEF

CD面BCD面AEF面BCD

由EFCD,AECDAEF为二面角B-DC-A的平面角

在中

又∵AFDB,AFCD,BDCD=DAF平面DBC,

例3.在6||0的二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为||1和2,求点P到直线a的距离。

分析:

设PA、PB||分别为点P到平面M、N的距离,过PA、PB作||平面,分别交M、N于AQ、BQ。

同理,有PBa,

∵PAPB=P,

a垂直于面PAQB于Q

又AQ、BQ平面PAQB

AQa,BQa。

AQB是二面角M-a-N的平面角。

AQB=60

连PQ,则PQ是P到a的距离,在平面图形PAQB中,有

PAQ=PBQ=90

P、A、Q、B四点共圆,且P||Q是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中,||∵PA=1,PB=2,BPA=180-60=120,由余弦定理得

AB2=1+4-212cos120=7

由正弦定理:

评注:

本例题中,通过||作二面角的棱的垂面,找到二面角的平面角。

例4||.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点。

||求截面MB1D与底面ABCD所成二面角的大小。

分析:

如图。

面||MB1D与面ABCD只相交于点D,因此,要求二面角的大小,需先找或作出它的棱||。

由公理2及二面角棱的定义知,这条棱必过点D||。

只要再找出两个面的另一个交点即可。

解:

∵M是A1A的中点,MAB1B是直角梯形。

延长其腰B1M与BA必相交于一点N。

∵MB1面B1DM,NMB1。

N面B1DM。

同理:

N面ABCD。

连结ND即为二面角的棱。

连结DB,∵NA=BA=AD,ADB=ADN=45。

BDN=90。

BDND。

∵B1B平面ABCD。

NDB1D(三垂线定理)。

B1DB是所求二面角的平面角。

在Rt△B1DB中,

【疑难解析】

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形。

1.定义||用于证明两个平面垂直,即它们组成的二面角是直二面角,||首先作出它的一个平面角,然后证出这个平面角是直||角。

2.判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且||是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。

3.||从两个平面垂直的判定定理和性质定理中,可看出平面与平面的垂直问题仍可转化||为直线与平面的垂直问题.即从线面垂直可得出面面垂直||。

反之,由面面垂直又可得出线面垂直.所以两个平面垂直的性质定理1||也可看作是直线与平面垂直的判定定理。

当面面垂||直时,作辅助线一般作交线的垂线,当线面垂直时可利||用三垂线定理求二面角、求线面角。

二面角的求法:

求解过程:

||1.作出二面角2.认定(证明)3.计算4.结论

作二面角最重要的||方法是应用三垂线定理或用定义。

无论用三垂线定理还是用定义作二面角||都是利用二面角所在的平面垂直棱这一性质,先找棱的一条||垂线(或者作一垂线)进一步作出二面角。

【模拟试题】

1.已知三棱锥SABC,||ASB=ASC=45,BSC=60,求证:

侧面BSA侧面CSA。

2.如图||,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面||角B-PA-C的平面角的正切值。

3.在6||0二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和||2,求点P到直线a的距离。

4.如图,在正三棱柱ABC-A1B||1C1中,EBB1,截面A1EC侧面AC1||。

(Ⅰ)求证:

BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1||;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数。

注意:

在下面横线上||填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ)。

(Ⅰ)证明:

在截面A1EC内,过E作EGA1C,G是垂足,

①||∵_______________________EG侧面AC1;取AC的中点F,||连结BF,FG,由AB=BC得BFAC,

②∵__||__________________BF侧面AC1;得B||F∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG。

③||∵_____________________||______BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形||,BE=FG,

④∵_________________________||________FG∥AA1,△AA1C∽||△FGC,

⑤∵_________________________

5.拿一张边长为10cm的正三角形纸片A||BC,以它的高AD为折痕,折成一个二面角,如图所示。

(1)指出这个二面角的面、棱、平面角;

(2)若二面角B-AD-C为直二面角,求B、C两点的距离;

(3)求AB与面BCD所成的角;

(||4)若二面角B-AD-C的平面角为120,求二面角A-BC-D的余弦值;

(5)||设二面角A-BC-D的大小为,试推导△ABC与△DBC面积关系式||。

6.已知正方体ABCD-A1B1C1||D1,E、F、G分别是AB、C1D1、B1C1的中点,求:

(1)直线AB与||平面A1ECF所成的角;

(2)求平面AFG和平||面AB1D1所成的角;(3)求二面角B1-A1C-C1。

【试题答案】

1.分析:

利用所成二面角是直二面角。

证明:

过B作BDSA||于D,过D在平面SAC内作EDSA交SC于E,连BE,BDE为||二面角BASC的平面角

∵ASC=ASB=45ED=SD=BD

设SD=a,则SB=SE=a

在BSE中BSE=60BE=a

在BDE中

BDE=90

二面角BASC为直二面角

侧面BSA侧面CSA

2.分析:

由PC平面ABC,知平面ABC平面PAC,从而B在||平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线||定理作出二面角的平面角。

解:

∵PC平面ABC

平面PA||C平面ABC,交线为AC作BDAC于D点,据面面垂直性质定||理,得BD平面PAC。

作DEPA于E,连BE||,据三垂线定理,则BEPA,从而BED是二面角B-PA-C的平面角。

设PC=a,依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形,

D是AC的中点,且

∵PC=CA=a,PCA=90,PAC=45

在Rt△DEA中,

则在中,

评注:

本题解法使用了三垂线定理来作出二||面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解。

||

3.分析:

设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离,过PA、P||B作平面,分别交M、N于AQ、BQ。

同理,有PBa,

∵PAPB=P,a面PAQB于Q

又AQ、BQ平面PAQBAQa,BQa.

AQB是二面角M-a-N的平面角.AQB=60

连PQ,则PQ是P到a的距离,在平面图形PAQB中,有

PAQ=PBQ=90

P、A、Q、B四点共圆,且PQ||是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中,∵PA=1,||PB=2,BPA=180-60=120,由余弦定理得

AB2=1+4-212cos120=7

由正弦定理:

评注:

本例题中,通过作二面角的||棱的垂面,找到二面角的平面角。

4.解:

(I)①∵面A1E||C侧面AC1,②∵面ABC侧面AC1,③∵B||E∥侧面AC1,④∵BE∥AA1,⑤∵AF=FC,,,

(II)解:

分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D。

∵CC1面A1C1B1,即||A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得D||A1A1C。

所以CA1C1所求二面角的平面角

∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,A1C1C=90

CA1C1=45,即所求二面角为45

5.解:

(1)二面角B-AD-C的面为:

面ABD,面ACD.棱为:

直线AD.||

∵BDAD,CDAD,平面角为BDC.

(2)在△BCD中,由

(1)知BD||C是二面角B-AD-C的平面角

BDC=90,又∵BD=CD

(3)∵AD面BCD,

ABD为直线AB与面BCD所成的角.

∵△ABC为正三角形,

ABD=60,即AB与面BCD成60角.

(4)当B-AD-C为120的二面角时,即BDC=120,

取BC中点M,连结DM、AM,如图

∵BD=DC,则DMBC.

∵AD面BCD,由三垂线定理,BCAM,

AMD是二面角A-BC-D的平面角.

在△BDC中,∵CDM=60,

S△DBC、S△ABC、三者中任知两个数||值便可求出第三个数值。

其中S△DBC的面积可视为△ABC在面DBC上的射||影面积。

6.解:

(1)正方体ABCD-A1B||1C1D1中E、F分别是AB、C1D1中点

A1E=EC=CF=FA1A1F∥CE

A1ECF为菱形EFA1C

设A1CEF=O,O为A1CEF中点

∵B1E=B1F在△B1EF中,有B1OEF

又EFA1CEF平面A1B1C

又EF平面A1ECF平面A1ECF平面A1B1C

在平面A1B1C||内作B1HA1C于H,则B1H平面A1ECF

∵A1B1∥AB

A1B1与平面A1ECF所成角等于AB与平||面A1ECF所成角等于B1A1H

设正方体棱长为1,则A1C=

B1H=(1*)/=(A1H==)

sinB1A1H=B1A1H=arcsin

即:

AB与平面A1ECF所成角是arcsin

由于平面的一条斜线在||这个平面的射影只有一条,所以,求直线和平面所成角时||,关键是找出它在这个平面的射影。

(2)分析:

由于平||面AFG和平面AB1D1有一个公共点,所以交于过A点的一条直线。

本题关键||是作出交线,求交线的方法:

①是根据公理1和公理2找到两平面的另一个公共点。

②是根据线面平行的性质,证明交线于其以知直线平行。

此题后面比较简便。

解:

∵F、G分别是D1C1和B1C1的中点

FG∥D1B1FG∥平面AD1B1

设面AFG面AB1D1=lFG∥l

连A1C1交B1D1和FG分别于M、N,

则M、N分别为B1D1和FG的中点。

∵AB1=AD1AMB1D1

∵AG=AF(△AFD1≌△AGB1)ANFG

∵B1D1∥FG∥lAMlANl

MAN为所求的二面角的平面角,设为

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1

AM==AN==MN=

cos====arccos

即平面AFG和平面AB1D1所成的角是arccos

(3)解法

(一):

连B1D1交A1C1于O1

∵CC1平面A1B1C1D1

CC1B1O1

又∵A1C1B1O1

B1O1平面A1CC1

作O1EA1C于E,连B1E,则B1EA1C

B1EO1为所求二面角B1-A1C-C1的平面角

在RT△B1O1E中,B1O1=,B1E=||(B1EA1C=A1B1B1C)

sin==;=60

解法

(二):

利用异面直线两点间距离公式,

作B1EA1C于E,C1FA1C于F

则异面直线B1E和C1F所成角等于二面角B1-A1C-C1的平面角||

∵B1E=C1F=,CF=EF=A1E=,

B1C1=1(注)

(注)Rt△A1C1C中,CC1=FCA1C

CF==

Rt△A1B1C中,A1B1=A1EA1C

A1E==EF=--=

B1C1=B1E+C1F+||EF-2B1EC1Fcos

cos===60

解法(三):

利用射影面积公式=SCOS

∵B1O1面A1CC1

△A1O1C为△A1B1C在面A1CC1上的射影

=1=

观察内容的选择||,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、||有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的,是相当有||趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,||兴趣很浓。

我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大||小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证||每个幼儿看得到,看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意||帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住||事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,||理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天||空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:

乌云像||大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是||乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊||叫起来,我抓住时机说:

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨,我||问:

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让||幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿||歌:

“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。

”这样抓住||特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象||变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。

我还在观察的基础上,引导幼儿联想,||让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟||的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。

通过||联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。

cos=

||这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要||求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热||爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友||谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外||,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜||活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

与当今“教师”一称最接近的“老师”||概念,最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《||示侄孙伯安》诗云:

“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,||说字惊老师。

”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师||”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则||称为“教师”或“教习”。

可见,“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会,||“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥||革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。

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