高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案.docx
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高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案
高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
二面角、两平面垂直的判定和性质
二.重点、难点：
重点：
1.二面||角的有关概念：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面||角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：
以二面||角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射||线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二||面角。
2.作二面角的平面角常有以下方法：
①若构||成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直||角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。
②若已知二面角内一点到两||面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面||角的平面角，称为垂面法。
③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂||线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找||到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到||二面角的平面角。
⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，||要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。
3||.两个平面垂直的定义：
两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：
①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4.
（1）两个平面垂直的判定定理||如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判||定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面||的另一个平面的依据。
由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为||证线面垂直。
（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一||个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
简言为：
“面面垂直，则线||面垂直”。
难点：
1.二面角平面角的作法与计算。
2.判定定理和性质定理的应用。
【典型例题】
例1.如图。
AC为圆O的直径，B，D||为圆上在AC两侧的两个点，SA平面ABCD||，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相||垂直的各对平面并说明理由。
解：
∵SA平面ABCD。
过SA的平面垂直于平面ABCD。
面SAB，面SAC，面SAD都与平面ABCD垂直。
又∵CDAD。
CDSD（三垂线定理）。
CD面SAD。
经过CD的平面垂直于平面SAD。
面CDS，面ACD分别垂直于平面SAD。
同理，面CBA，面SBC分别垂直于平面SBA。
但其中面SAD||面ACD，面CAB面SAB。
在第一种情况中已得到。
||
故共有五对平面互相垂直。
例2.在四面体ABCD中，DA面ABC，ABC＝90。
若
，求二面角的正弦值。
证明：
过点A作AECD于E，AFBD于F如图。
∵AD面ABC
ADBC又∵ABC＝90。
BCABBC面DAB。
DB是DC在面ABD内的射影。
∵AFDBAFCD（三垂线定理）。
又∵AECDCD平面AEF。
CDEF
∵CD面AEF
CD面BCD面AEF面BCD
由EFCD，AECDAEF为二面角B－DC－A的平面角
在中
在
又∵AFDB，AFCD，BDCD＝DAF平面DBC，
例3.在6||0的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为||1和2，求点P到直线a的距离。
分析：
设PA、PB||分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作||平面，分别交M、N于AQ、BQ。
同理，有PBa，
∵PAPB＝P，
a垂直于面PAQB于Q
又AQ、BQ平面PAQB
AQa，BQa。
AQB是二面角M－a－N的平面角。
AQB＝60
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有
PAQ＝PBQ＝90
P、A、Q、B四点共圆，且P||Q是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在△PAB中，||∵PA＝1，PB＝2，BPA＝180－60＝120，由余弦定理得
AB2＝1＋4－212cos120＝7
由正弦定理：
评注：
本例题中，通过||作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
例4||.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点。
||求截面MB1D与底面ABCD所成二面角的大小。
分析：
如图。
面||MB1D与面ABCD只相交于点D，因此，要求二面角的大小，需先找或作出它的棱||。
由公理2及二面角棱的定义知，这条棱必过点D||。
只要再找出两个面的另一个交点即可。
解：
∵M是A1A的中点，MAB1B是直角梯形。
延长其腰B1M与BA必相交于一点N。
∵MB1面B1DM，NMB1。
N面B1DM。
同理：
N面ABCD。
连结ND即为二面角的棱。
连结DB，∵NA＝BA＝AD，ADB＝ADN＝45。
BDN＝90。
BDND。
∵B1B平面ABCD。
NDB1D（三垂线定理）。
B1DB是所求二面角的平面角。
在Rt△B1DB中，
【疑难解析】
两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形。
1.定义||用于证明两个平面垂直，即它们组成的二面角是直二面角，||首先作出它的一个平面角，然后证出这个平面角是直||角。
2.判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且||是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。
3.||从两个平面垂直的判定定理和性质定理中，可看出平面与平面的垂直问题仍可转化||为直线与平面的垂直问题．即从线面垂直可得出面面垂直||。
反之，由面面垂直又可得出线面垂直．所以两个平面垂直的性质定理1||也可看作是直线与平面垂直的判定定理。
当面面垂||直时，作辅助线一般作交线的垂线，当线面垂直时可利||用三垂线定理求二面角、求线面角。
二面角的求法：
求解过程：
||1.作出二面角2.认定（证明）3.计算4.结论
作二面角最重要的||方法是应用三垂线定理或用定义。
无论用三垂线定理还是用定义作二面角||都是利用二面角所在的平面垂直棱这一性质，先找棱的一条||垂线（或者作一垂线）进一步作出二面角。
【模拟试题】
1.已知三棱锥SABC，||ASB＝ASC＝45，BSC＝60，求证：
侧面BSA侧面CSA。
2.如图||，PC平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面||角B－PA－C的平面角的正切值。
3.在6||0二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和||2，求点P到直线a的距离。
4.如图，在正三棱柱ABC－A1B||1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1||。
（Ⅰ）求证：
BE＝EB1；（Ⅱ）若AA1＝A1B1||；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。
注意：
在下面横线上||填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）证明：
在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足，
①||∵_______________________EG侧面AC1；取AC的中点F，||连结BF，FG，由AB＝BC得BFAC，
②∵__||__________________BF侧面AC1；得B||F∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。
③||∵_____________________||______BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形||，BE＝FG，
④∵_________________________||________FG∥AA1，△AA1C∽||△FGC，
⑤∵_________________________
5.拿一张边长为10cm的正三角形纸片A||BC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，如图所示。
（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（2）若二面角B－AD－C为直二面角，求B、C两点的距离；
（3）求AB与面BCD所成的角；
（||4）若二面角B－AD－C的平面角为120，求二面角A－BC－D的余弦值；
（5）||设二面角A－BC－D的大小为，试推导△ABC与△DBC面积关系式||。
6.已知正方体ABCD－A1B1C1||D1，E、F、G分别是AB、C1D1、B1C1的中点，求：
（1）直线AB与||平面A1ECF所成的角；
（2）求平面AFG和平||面AB1D1所成的角；（3）求二面角B1－A1C－C1。
【试题答案】
1.分析：
利用所成二面角是直二面角。
证明：
过B作BDSA||于D，过D在平面SAC内作EDSA交SC于E，连BE，BDE为||二面角BASC的平面角
∵ASC＝ASB＝45ED＝SD＝BD
设SD＝a，则SB＝SE＝a
在BSE中BSE＝60BE＝a
在BDE中
BDE＝90
二面角BASC为直二面角
侧面BSA侧面CSA
2.分析：
由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，从而B在||平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线||定理作出二面角的平面角。
解：
∵PC平面ABC
平面PA||C平面ABC，交线为AC作BDAC于D点，据面面垂直性质定||理，得BD平面PAC。
作DEPA于E，连BE||，据三垂线定理，则BEPA，从而BED是二面角B－PA－C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，
D是AC的中点，且
∵PC＝CA＝a，PCA＝90，PAC＝45
在Rt△DEA中，
则在中，
评注：
本题解法使用了三垂线定理来作出二||面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
||
3.分析：
设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、P||B作平面，分别交M、N于AQ、BQ。
同理，有PBa，
∵PAPB＝P，a面PAQB于Q
又AQ、BQ平面PAQBAQa，BQa．
AQB是二面角M－a－N的平面角．AQB＝60
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有
PAQ＝PBQ＝90
P、A、Q、B四点共圆，且PQ||是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在△PAB中，∵PA＝1，||PB＝2，BPA＝180－60＝120，由余弦定理得
AB2＝1＋4－212cos120＝7
由正弦定理：
评注：
本例题中，通过作二面角的||棱的垂面，找到二面角的平面角。
4.解：
（I）①∵面A1E||C侧面AC1，②∵面ABC侧面AC1，③∵B||E∥侧面AC1，④∵BE∥AA1，⑤∵AF＝FC，，，
（II）解：
分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D。
∵CC1面A1C1B1，即||A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得D||A1A1C。
所以CA1C1所求二面角的平面角
∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，A1C1C＝90
CA1C1＝45，即所求二面角为45
5.解：
（1）二面角B－AD－C的面为：
面ABD，面ACD．棱为：
直线AD．||
∵BDAD，CDAD，平面角为BDC．
（2）在△BCD中，由
（1）知BD||C是二面角B－AD－C的平面角
BDC＝90，又∵BD＝CD
（3）∵AD面BCD，
ABD为直线AB与面BCD所成的角．
∵△ABC为正三角形，
ABD＝60，即AB与面BCD成60角．
（4）当B－AD－C为120的二面角时，即BDC＝120，
取BC中点M，连结DM、AM，如图
∵BD＝DC，则DMBC．
∵AD面BCD，由三垂线定理，BCAM，
AMD是二面角A－BC－D的平面角．
在△BDC中，∵CDM＝60，
S△DBC、S△ABC、三者中任知两个数||值便可求出第三个数值。
其中S△DBC的面积可视为△ABC在面DBC上的射||影面积。
6.解：
（1）正方体ABCD－A1B||1C1D1中E、F分别是AB、C1D1中点
A1E＝EC＝CF＝FA1A1F∥CE
A1ECF为菱形EFA1C
设A1CEF＝O，O为A1CEF中点
∵B1E＝B1F在△B1EF中，有B1OEF
又EFA1CEF平面A1B1C
又EF平面A1ECF平面A1ECF平面A1B1C
在平面A1B1C||内作B1HA1C于H，则B1H平面A1ECF
∵A1B1∥AB
A1B1与平面A1ECF所成角等于AB与平||面A1ECF所成角等于B1A1H
设正方体棱长为1，则A1C＝
B1H＝（1*）/＝（A1H＝＝）
sinB1A1H＝B1A1H＝arcsin
即：
AB与平面A1ECF所成角是arcsin
由于平面的一条斜线在||这个平面的射影只有一条，所以，求直线和平面所成角时||，关键是找出它在这个平面的射影。
（2）分析：
由于平||面AFG和平面AB1D1有一个公共点，所以交于过A点的一条直线。
本题关键||是作出交线，求交线的方法：
①是根据公理1和公理2找到两平面的另一个公共点。
②是根据线面平行的性质，证明交线于其以知直线平行。
此题后面比较简便。
解：
∵F、G分别是D1C1和B1C1的中点
FG∥D1B1FG∥平面AD1B1
设面AFG面AB1D1＝lFG∥l
连A1C1交B1D1和FG分别于M、N，
则M、N分别为B1D1和FG的中点。
∵AB1＝AD1AMB1D1
∵AG＝AF（△AFD1≌△AGB1）ANFG
∵B1D1∥FG∥lAMlANl
MAN为所求的二面角的平面角，设为
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1
AM＝＝AN＝＝MN＝
cos＝＝＝＝arccos
即平面AFG和平面AB1D1所成的角是arccos
（3）解法
（一）：
连B1D1交A1C1于O1
∵CC1平面A1B1C1D1
CC1B1O1
又∵A1C1B1O1
B1O1平面A1CC1
作O1EA1C于E，连B1E，则B1EA1C
B1EO1为所求二面角B1－A1C－C1的平面角
在RT△B1O1E中，B1O1＝，B1E＝||（B1EA1C＝A1B1B1C）
sin＝＝；＝60
解法
（二）：
利用异面直线两点间距离公式，
作B1EA1C于E，C1FA1C于F
则异面直线B1E和C1F所成角等于二面角B1－A1C－C1的平面角||
∵B1E＝C1F＝，CF＝EF＝A1E＝，
B1C1＝1（注）
（注）Rt△A1C1C中，CC1＝FCA1C
CF＝＝
Rt△A1B1C中，A1B1＝A1EA1C
A1E＝＝EF＝－－＝
B1C1＝B1E＋C1F＋||EF－2B1EC1Fcos
cos＝＝＝60
解法（三）：
利用射影面积公式＝SCOS
∵B1O1面A1CC1
△A1O1C为△A1B1C在面A1CC1上的射影
＝1＝
观察内容的选择||，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、||有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有||趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，||兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大||小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证||每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意||帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住||事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，||理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天||空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像||大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是||乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊||叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我||问：
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让||幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿||歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住||特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象||变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，||让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟||的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过||联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
cos＝
||这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要||求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热||爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友||谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外||,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜||活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
与当今“教师”一称最接近的“老师”||概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《||示侄孙伯安》诗云：
“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，||说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师||”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则||称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，||“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥||革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
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