概率论与数理统计朱开永同济大学出版社习题一答案.docx
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概率论与数理统计朱开永同济大学出版社习题一答案
习题一
1．下列随机试验各包含几个基本事件？
（1）将有记号a,b的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的盒子里（每个盒子可容纳两个球）
解：
用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。
两个球看作是可动物，一个
一个地放入盒中；a球可放入的任一个，其放法有C313种，b球也可放入三个盒子的
任一个，其放法有C313种,由乘法原理知：
这件事共有的方法数为C31C319种。
（2）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：
用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。
三粒种子
发芽共有C21C21C128种不同情况。
（3）从五人中任选两名参加某项活动。
解：
从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，
所以此试验的基本事件个数nC5210。
（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。
解：
此随机试验是把从0到100任一种分看作一个基本事件，n101。
（5）将a,b,c三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。
解：
可用乘法原理：
三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一
个一个放入盒子内（按要求）。
a球可放入三个盒子中的任一个有
C31
3
种方法。
b球因
为试验要求每只盒子只装一个球，
所以a球放入的盒子不能再放入
b球，b球只能放入其余
（无a球的盒子）两个中任一个，其放法有
C21
2个。
c只能放入剩下的空盒中，其放法
只有一个。
三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为
C31
C2116种。
2．事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”
事件B表示“五件产品都是合格品”
，
则A
B,AB各表示什么事件？
A、B之间有什么关系？
解：
设Ak“五件中有k件是不合格品”
B
“五件都是合格品”。
此随机试验
E的样
本空间可以写成：
S
A1,A2,A3,A4,A5,B
而AA1
A2
A3
A4
A5
ABS,AB
，A与B是互为对立事件。
3.
随机抽验三件产品，设
A表示“三件中至少有一件是废品”，设
B表示“三件中至少
1
有两件是废品”，C表示“三件都是正品”，问A,B,C,AB,AC各表示什么事件？
解：
A“三件都是正品”，B“三件中至多有一件废品”，
C“三件中至少有一件废品”，ABA,AC.
4.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A1表示“第一次射击击中飞机”，A2表示“第
二次射击击中飞机”，试用A1,A2及它们的对立事件表示下列各事件:
B“两弹都击中飞机”；C“两弹都没击中飞机”D“恰有一弹击中飞机”；
E“至少有一弹击中飞机”。
并指出B,C,D,E中哪些是互不相容，哪些是对立的。
解：
BA1A2,CA1A2,DA1A2A1A2,EA1A2，B与C,B与D,
D与C,C与E是互不相容的，C与E是相互对立的.
5．在某班任选一名学生。
记A“选出的是男生”;B“选出的是运动员”;
C“选出的是北方人”。
问：
（1）ABC,ABC各表示什么事件？
（2）CB,ABC各表示什么意义。
（3）在什么条件下，ABCA.
解：
（1）ABC=“选出的是南方的不是运动员的男生”。
（2）CB表示该班选出北方的学生一定是运动员。
ABC表示选出的不是运动员的男生是南方的。
（3）当ABC时ABCA.
6、设A1,A2,A3,A4是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：
（1）这四个事件都发生；
（2）这四个事件都不发生；
（3）这四个事件至少有一个发生；
（4）A1,A2都发生，而A3,A4
都不发生；
（5）这四个事件至多一个发生。
（6）这四个事件恰有一个发生。
解：
（1）A1A2A3A4;
（2）A1A2
A3A4;
（3）A1
A2
A3
A4;
（4）A1A2A3A4;
（5）A2A3A4
A1A3A4
A1A2A4
A1A2A3;
（6）A1A2A3A4
A1A2A3A4A1
A2A3A4
A1A2A3
A4.
2
7．
从一副扑克牌（
52张，不计大小王）中任取
4张，求取得4张花色都不相同的概率。
解：
从52张牌中任取
4张共有情况C524种，每一种情况看作每一种基本事件，
所以此试验
的样本空间中基本事件的个数n
C524。
设事件
A“任取的4张花色都不相同”，
A中包含的基本事件个数
K可以用乘法原理求，
事件A完成要从四种花色中各取一张，
故k134
P（A）
k
134
0.1055.
n
C524
8．某房间里有
4个人，设每个人出生于
1月至12月中每一个月是等可能的。
求至少有1
人生日在10月的概率。
解：
设事件A
“至少有
1人生日在10月”
A“4个人生日都不在10
月”
4
P（A）
1P（A）1
11
10.7
0.3.
12
9．
袋中有
10只形状相同的球，其中
4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取
球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。
解：
此随机试验E为：
从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取
3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为
P103
即其基本事件共有n
P103
个,
设事件“第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数
k求法如下：
首先事件
A表示第三
次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，
可从4个红球中任取一个放入，共有C41种放法；
前两个位置任从剩下的
9个球中取两个放在不同的位置，其放法有
P92种。
由乘法原理可知
k
12
P（A）
k
C41P92
2
C4P9
n
P103
.
5
10．
将一枚硬币连续抛掷
10次，求至少有一次出现正面的概率。
解：
设事件A“至少出现一次正面”
，A
“全不出现正面”
若一枚硬币连续——
10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验
E的基本事件个数
n
210，A所包含的基本事件个数
k
1.
则P（A）1P（A）
k
1
1
0.999.
1
210
n
3
11．盒中有
10个乒乓球，其中
6只新球，4只旧球。
今从盒中任取
5只，求正好取得3只
新球2只旧球的概率。
解：
从盒中
10
只球任取
5只的取法共有C105
种，即为此随机试验的基本事件的个数，
nC105
.
设事件A
“正好取得3只新球
2只旧球”
事件A所包含的基本事件的个数
k的考虑方法：
先从6只新球中任取
3只，其取法有C63种；
再从4只旧球中任取2只，其取法有C42种。
由乘法原理得
kC63C42,
P（A）
k
C63C42
10
0.476.
n
C105
21
12.10件产品中有
6件正品，4
件次品。
甲从10件中任取
1件（不放回）后，乙再从中任
取1件。
记A
“甲取得正品”；B“乙取得正品”。
求
P（A）,
P（B/A）,
P（B/A）.
解：
求P（A）的问题是甲从
10个球中任取1球，其方法有10种，事件A是甲取得
1件是正
品，只能从
6件正品中任取
1件，所以取法是6种。
P（A）
6
3
10
5
求P（B/A）问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率，
样本空间
1是：
甲从
10件产品中取出一件正品后，再从剩下的
9件产品中任取
1件的问
题。
此时基本事件个数
mC91
9
在此1中正品是5件，事件B包含的基本事件个数
k15.
P（B/A）
5
A“甲
，求P（B/A）的问题可用上面两种方法，所不同的是
9
取得一件是次品”，
P（B/A）
6
2
9
.
3
13．甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：
甲、乙两城市一年中雨天的比例分别
是20％和18％，两地同时下雨的比例为
12％：
（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；
（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。
解：
设事件A
“甲市为雨天”
;事件B
“乙市为雨天”。
则
P（A）0.20
P（B）
0.18
P（AB）
0.12所求的问题：
（1）P（A/B）
P（AB）
0.12
2
0.67
P（AB）
0.12
3
P（B）
0.18
3
;
（2）P（B/A）
0.20
0.6;
P（A）
5
4
（3）
P（AB）
P（A）
P（B）P（AB）0.2
0.180.12
0.26.
14．
甲袋中有
3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有
10个白球，6个红球，9个黑
球。
今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。
（1）
事件A
“取得
2个红球”;
（2）
事件B
“取得的两球颜色相同”
解：
（1）
随机试验为从甲袋
25个球中任取
1球，从乙袋
25个球任取
1个，其基本事件
总数n
C251C251
625.
由乘法原理知道事件
A包含的基本事件个数
kC71C61
7642.
p（A）
k
42
.
n
625
用A1,A2,A3分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用
B1,B2,B3分别表示从乙袋取得
白球、红球、黑球。
则
A
A2B2。
A2与B2相互独立。
P（A）
7
6
42
P（A2）P（B2）
25
625
25
（2）
BA1B1A2B2
A3B3
Ak与Bk（k1,2,3）相互独立,
且
A1B1,A2B2,A3B3三种情况互不相容，
则
P（B）
P（A1B1）
P（A2B2）
P（A3B3）P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）P（B3）
3
10
7
6
15
9
207
25
25
25
25
25
25
.
625
15.制造某种零件可以采用两种不同的工艺：
第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序
时出现不合格品的概率分别为0.1,0.2,0.3；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各
道工序时出现不合格品的概率均为0.3。
如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到
一级品的概率为0.9,而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。
试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。
（注：
各道关系出现不合格品时相互独立的）
解：
设事件A“采用第一种工艺获得一级品”;事件B“采用第二种工艺获得一级品”;
第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为Ak（k1,2,3）,
由题设知道：
P（A1）1P（A1）10.10.9.
P（A2）1P（A2）10.20.8.P（A3）1P（A3）10.30.7.
第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为Bk（k1,2）.
5
由题设知道：
P（B1）1
P（B1）10.3
0.7P（B2）.
P（A）
P（A1A2A3）0.9
P（A1）P（A2）P（A3）0.9
0.9
0.80.7
0.90.45
P（B）
P（B1B2）0.8P（B1）P（B2）0.8
0.70.7
0.8
0.39
所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。
16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取
5件进行检验。
按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。
试分别求该箱产品被判为一级品（记为A），二级品（记为B）,次品（记为C）的概率。
解：
随机试验E是100
件产品任取
5件，其基本事件的个数
nC1005
。
事件A包含的基本事件个数
nA求法是：
从
95件没缺陷的产品取
5件的个数nA
C955
P（A）
nA
C955
0.76
n
C5
100
事件B包含的基本事件个数
nB求法：
从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为
C51
再从95
件无缺陷的产品中任取
4件，个数为
nB
C51C954，由乘法原理知
P（B）
nB
0.22
n
C
A
B
P（C）
P（A
B）
P（A）P（B）
（因为A,B互不相容）
P（C）1
P（C）
1
P（A
B）
1
P（A）
P（B）
1
0.760.22
0.02.
17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在
1小时内每台机床出故障的概率为
0.01，
其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。
解：
此问题是独立重复试验问题。
设事件A
“10台机床中任
3台出故障”，
P（A）
C103（0.01）3（0.99）7
0.0001.
18．据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为
0.8。
现在10人同时服用这种中
草药治疗该疾病，求至少对
6人有疗效的概率。
解：
设事件A
“至少对6人有疗效”,P（A）
10
C10k
0.8k0.210k
0.967.
k6
19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为
0.95，求至少有一道工
6
序不合格的概率。
解：
设事件A“至少有一道工序不合格”;A“两道工序后都合格”.
P（A）
1
P（A）
10.952
0.0975.
20．已知
P（A）
0.2,P（B）
0.45,
P（AB）
0.15
求：
（1）P（AB）,P（AB）
P（AB）;
（2）
P（A
B）,
P（A
B）,
P（A
B）;
（3）
P（A/B）,P（B/A）,
P（A/B）.
解：
（1）
P（AB）
P（A
AB）
P（A）
P（AB）
0.05;
P（AB）
P（B
AB）P（B）
P（AB）
0.3;
P（AB）
1
P（A
B）1
0.5
0.5
.
（2）
P（AB）
P（A）P（B）
P（AB）
0.2
0.45
0.15
0.5
P（A
B）
P（A）
P（AB）
0.8
0.15
0.95
P（A
B）
P（AB）
1P（AB）0.85.（3）
P（A/B）
P（AB）
0.15
1
P（B）
0.45
;
3
P（B/A）
P（AB）
0.15
3
P（A/B）
P（AB）
0.05
1
.
P（A）
0.2
;
P（B）
0.55
4
11
21、某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为
11，在刮风的条件下下雨的概
30
率为7。
求即刮风又下雨的概率。
8
解：
设事件A
“某地某月刮大风”
;
B
“某地某月下雨”.
P（AB）
P（A）P（B/A）
117
77.
308
240
22.某学校学生四级英语考试的通过率为
90%,其中60%的学生通过六级英语考试
试求
从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.
解：
设A=“通过四级英语考试
”,
B=
“通过六级英语考试
”,
由题意,可知P（A）
0.9,
P（B|A）
0.6,
P（B）P（AB）
P（A）P（B/A）=0.54
23.设两两独立的三个事件
A,B,C满足条件：
ABC
P（A）
P（B）
P（C）
1,且已知
2
7
P（ABC）
9,求P（A）.
16
解：
P（A
B
C）
P（A）
P（B）
P（C）P（AB）
P（BC）P（AC）P（ABC）
3P（A）
P（A）P（B）
P（B）P（C）
P（A）P（C）
3P（A）
3P2（A）
9，即16P2（A）
16P（A）3
0,则P（A）
1,或P（A）
3,
16
4
4
所以P（A）
1.
4
24．从1,2,3,4
中任取一个数，记为
X，再从1,2,,X中任取一个数，记为
Y，求P（Y2）.
解：
P（Y
2）
1
1
1
1
1
1
13.
4
2
4
3
4
4
48
25．有外观相同的三极管6只，按流量放大系数分类，4只属于甲类，两只属于乙类，不放回的抽取三极管两次，每次只抽一只。
求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下，第二次
又抽到甲类三极管的概率。
解：
设事件A
“
升级会员 