二次函数与等腰三角形.docx
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二次函数与等腰三角形
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题
【学习目标】
这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。
解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。
此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.
【教学过程】
解题思路：
等腰三角形的存在性的解题方法：
①几何法三步：
先分类；再画图；后计算．②代数法三步：
先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.
一、考点突破
例1、如图，已知抛物线y=﹣
+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？
若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例3、如图，已知抛物线
（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【变式题组】
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，
），顶点坐标为N（﹣1，
），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？
若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，点
，
分别是
轴正半轴，
轴正半轴上两动点，
，
，以
，
为邻边构造矩形
，抛物线
交
轴于点
，
为顶点，
轴于点
．
（
）求
，
的长（结果均用含
的代数式表示）；
（
）当
时，求该抛物线的表达式；
（
）在点
在整个运动过程中，若存在
是等腰三角形，请求出所有满足条件的
的值．
作业巩固
1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB.
（1）求b＋c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在
（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标..
3、如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
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