实验报告简谐振动的研究.docx
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实验报告简谐振动的研究
实验报告
姓名：
张伟楠班级：
F学号：
实验成绩：
同组姓名：
边杨实验日期：
08.02.25指导教师：
批阅日期：
简谐振动的研究
【实验目的】
1.观察简谐振动的现象；
2.测定弹簧的倔强系数；
3.测定振动周期T随振子质量变化的情况；
4.学习使用气垫导轨、焦利氏秤和计时仪器；
5.测定弹簧的有效质量
【实验原理】
1、胡克定律
在弹性限度内，弹簧的伸长量x与其所受的拉力F成正比，这就是胡克定律：
比例系数k称为弹簧的倔强系数．在本实验中k可以由焦利氏秤测得。
2、弹簧振子的简谐运动方程
本实验中所用的是倔强系数分别为k1和k2的弹簧，k1和k2分别由焦利氏秤测得．k1和k2联结在一个质量为M的物体上，它们在光滑的水平气垫导轨上作简谐振动，弹簧的另外两端是固定在气垫导轨上．记M的平衡位置为坐标原点，该点x=0．如果忽略阻尼和弹簧质量，则当M距平衡位置为x时，只受弹性恢复力k1x和k2x的作用，根据牛顿第二定律，其运动方程为：
方程的解为：
其中
是振动系统的固有角频率，A是振幅，j0是初位相．w0由系统本身决定，也称固有频率，A和f0由初始条件决定．系统的固有周期
本实验通过改变M测出相应的T，用以考察T与M的关系．
3、弹簧质量的影响
当弹簧的质量不可忽略时，振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和，振动系统的角频率可记作
为弹簧的有效质量，在数值上等于弹簧质量的三分之一．
实验要求测定弹簧的倔强系数，并测定振动周期T随振子质量和振幅m变化的情况。
4、简谐振动的机械能
k=m
/
由此计算弹性系数。
【实验数据记录、实验结果计算】
1.利用焦利氏秤测量弹簧的倔强系数
砝码质量/g
0
5.11
10.08
15.08
20.07
25.22
45.15
弹簧1
4.49
5.60
6.66
7.73
8.80
9.91
14.15
弹簧2
10.92
13.08
15.27
17.41
19.59
21.86
30.56
弹簧3
13.68
15.80
17.87
19.93
22.05
24.19
32.53
由
可得
作1号弹簧的
关于m的图像：
LinearRegressionforData1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A4.503110.00584
B0.213892.63837E-4
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
10.00977<0.0001
------------------------------------------------------------
转换单位有：
得
=4.58N/m
作弹簧2的
关于m的图像：
LinearRegressionforData1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A10.873570.01838
B0.435558.29908E-4
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
0.999990.03057<0.0001
------------------------------------------------------------
转换单位有：
得
=2.25N/m
作弹簧3的的
关于m的图像：
LinearRegressionforData1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A13.662110.0102
B0.417664.6082E-4
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
10.016947<0.0001
------------------------------------------------------------
转换单位有：
得
=2.35N/m
2.振子质量M与振动周期T的关系
◆气垫导轨水平情况：
号数
1
2
3
4
5
6
振子质量M/g
168.09
173.11
178.03
183.08
188.11
193.06
10个周期10T/ms
10389.6
10525.8
10656.0
10787.1
10919.1
11045.1
折合一周期的平方/
1.07944
1.10792
1.13550
1.16362
1.19227
1.21994
由简谐振动的周期公式：
可得
做M关于
的图像：
LinearRegressionforDATA1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A-23.85570.28672
B177.803930.24915
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
10.029296<0.0001
------------------------------------------------------------
直线斜率为177.8557（g/
）
有
由1中测得的数据：
有
相对误差为：
2.767%
◆气垫导轨倾斜情况
号数
1
2
3
4
5
6
振子质量M/g
168.09
173.11
178.03
183.08
188.11
193.06
10个周期10T/ms
10387.0
10521.0
10651.8
10783.9
10914.8
11041.2
折合一周期的平方/
1.
1.
1.
1.
1.
1.
由简谐振动的周期公式：
可得
做M关于
的图像：
LinearRegressionforData1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A-23.95650.14842
B178.018940.12907
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
10.015166<0.0001
------------------------------------------------------------
直线斜率为178.01894（g/
）
有
由1中测得的数据：
有
相对误差为：
2.90%
◆对比实验测得的弹簧有效质量和理论有效质量
号数
1
2
3
弹簧质量/g
5.44
10.56
10.83
理论有效质量/g
1.81
3.52
3.61
1中测得的弹簧倔强系数/N/m
4.58
2.25
2.35
可得弹簧1、2的有效总质量M=5.33g
设振子质量为M，弹簧1、2的有效质量为
有公式：
所以，在
与振子质量M的关系图中，
体现为在纵坐标上的截距
在上面的关系图中，截距为A=-23.9565
所以实验测得的弹簧有效质量为：
=23.96g
与理论值的相对误差为349.5%（这个巨大误差将在后面具体讨论）
3.振幅与周期的关系
号数
1
2
3
4
5
6
振幅A/cm
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
10T/ms
10386.7
10387.0
10388.8
10390.3
10390.7
10387.2
作振幅与周期的关系图：
LinearRegressionthroughoriginforDATA1_B:
Y=B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A0--
B0.047950.01046
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
0.460880.498976<0.0001
------------------------------------------------------------
LinearRegressionforDATA1_B:
Y=A+B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A1.038691.61766E-4
B8.62857E-68.30756E-6
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
0.460881.73765E-460.35763
------------------------------------------------------------
不过原点的直线拟合斜率为8.62857E-6s/cm
相关系数r=0.46088。
4.振幅与振子最大速度的关系
实验中选用的滑块质量
=192.55g
挡光片间隔
=10.02
0.02mm
号数
1
2
3
4
5
6
振幅A/cm
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
振幅的平方
/
0.
0.01000
0.02250
0.04000
0.06250
0.09000
挡光时间间隔
/ms
33.68
17.11
11.38
8.54
6.81
5.67
算得的最大速度
/m/s
0.2975
0.5856
0.8804
1.17
1.47
1.76
最大速度的平方
0.08850
0.3429
0.7751
1.369
2.1611
3.10
作振幅平方与最大速度平方的关系图：
LinearRegressionthroughoriginforDATA1_B:
Y=B*X
ParameterValueError
------------------------------------------------------------
A0--
B34.455820.04633
------------------------------------------------------------
RSDNP
------------------------------------------------------------
0.999990.005526<0.0001
------------------------------------------------------------
直线斜率B=34.45582（
）
相关系数r=0.99999
由此可得弹簧的倔强系数
由1中测得的数据：
有
相对误差为2.90%
5.弹簧并联测量周期
用电子天平测量弹簧的质量：
号数
1
2
3
弹簧质量/g
5.44
10.56
10.83
1中测得的弹簧倔强系数/N/m
4.58
2.25
2.35
情况1：
振子左边是弹簧2，右边是弹簧1
测得10
=10255.2ms
算得
=1025.52ms
情况2:
振子左边是弹簧2和3并联，右边是弹簧1
测得10
=8881.15ms
算得
=888.115ms
可得
由上面的倔强数据可得
相对误差为0.37%
【对实验结果中的现象或问题进行分析、讨论以及感想】
1.对测量弹簧的有效质量的误差分析
在测量系统振子质量与周期平方的关系后，接着做了弹簧的有效质量的计算，详情请见第8页。
可得弹簧1、2的有效总质量M=5.33g
由电子天平直接测量并计算得到的弹簧1、2的有效总质量为M=5.33g，然而有实际的
关系图的截距得出弹簧的有效质量为23.96g，这使得我的实验结果与理论结果的相对误差达到了惊人的349.5%。
看到这个数据，我感到非常的惊奇，毕竟我在这次实验中的感觉是很好的，几次线性拟合的相关系数都在0.99999以上，然而在这里的误差是不可想象的。
就其原因，应该归结为：
弹簧相对于振子的质量实在太小，振子周期的测量的微小偏移都会导致直线在M轴上的截距大大变化。
所以导致如此大的误差。
不过我还是觉得可能是我自己理论计算的问题，因为这个误差毕竟太大了，但是检查了半天也没检查出那里的公式推倒错了，于是只好作罢。
2.在测量振幅与周期的过程中，我的到了一系列几乎平行于横轴的点，过这些点的直线拟合的斜率为8.62857E-6，我认为其实这样已经能比较充分地说明在谐振中，周期与振幅没有关系的这一结论了。
然而，观察到其周期随着振幅的增长还是有微小的增长。
分析其原因，是由于空气阻力的原因。
振幅越大，则振子的最大速度也就越快，那么受到的空气阻力也就越大，甚至增长速度大于v的增长速度，所以，振幅越大，导致空气阻力对振动周期的时间延长越大。
所以表现为周期随着振幅的增长而有所增长的现象，然而，毕竟空气阻力远远小于弹簧的弹力，这也是我们能做成功这个实验的前提。
3.实验里要用到的一个常量就是重力加速度g，但是实验室并没有明确给出重力加速度的大小，于是自己取了9.80
。
感觉以后实验室里应该为我们提供这些常量。
我没有选到声速的测量那个实验，但希望至少那里应该给出当时的室温，以及声速在某些特定温度下的传播速度。
要不然是无法得出结论的。
4.最后谈谈自己的感想。
自己高中曾做过这个实验，但是当时并没有做得如此透彻，虽然大体上还是有印象，但是有很多细节都是在这次做实验的时候才重新找到感觉的。
以前做实验都是一个人，这次做实验还有一位搭档，然我找到了团队合作的感觉。
在实验数据的测量中，我尽力做到了精益求精，记得在测量弹簧1的弹性系数时，自己的手不小心将连反射镜的线拉了一下，感觉影响到了测量数据，我毅然重做了一遍。
这种精神我并不常有，但看到我的实验数据在Origin上的完美直线时，我认识到这种精益求精的态度是正确的，并希望在以后的学习生活中有意识地去培养这种精神。
【附页】
思考题的解答
1．滑块的振幅在振动过程中不断减少，是什么原因？
对实验结果有无影响？
答：
振幅不断减小是因为滑块在振动过程中受到了空气阻力的影响，使得系统的机械能降低，并体现在振幅逐渐减小，最大速度逐渐减小的现象中。
非理想阻尼振动在理论上是对系统的周期有影响的，但是这种影响在目前这种条件下是可以忽略的。
2．如果M~T2图不是一条直线，说明什么？
答：
首先除去操作的问题，因为这没有回答的价值。
下面的讨论建立在操作没有大碍的基础上。
在理论力学里，质量和周期平方成正比仅仅出现在谐振中，如果M~
图不是一条直线，那只能说明振动系统不是谐振，表明振子受到阻力很明显了。
这时应该检查一下气垫导轨的气孔问题，或者是弹簧问题等等。
3．为测准弹簧的伸长量，你采取了那些方法？
有效吗？
答：
我就采取了实验为我么提供的3线合一的方法，还比较有效。
当让测量弹簧的伸长量还有很多方法，例如几何光学放大原理等等，但是由于实验成本以及可使用度，还是原来的方法最为实在。
最后感谢助教老师在实验中为我的指导，祝您工作顺利！
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