直线与椭圆位置关系经典.docx

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直线与椭圆位置关系经典

知识与归纳：

1..点与椭圆的位置关系

直线与椭圆（教师版）

x2y2

x2y2

x2y2

点P（x0，y0）在椭圆1内部的充要条件是0

01；在椭圆外部的充要条件是

001；

a2b2

x

y

22

在椭圆上的充要条件是001.

a2b2

a2b2

a2b2

2.直线与椭圆的位置关系.

x2

设直线l：

Ax+By+C=0，椭圆C：

2

a

y1，联立l与C，消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元

2

b2

二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，

则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.3.

计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1（x1，y1），P2（x2，

y2）|P1P2|=

（x1

x）2

（y1

y）2

1k2xx

11y

k21

y2（k为直线斜率）形式（利用根与

2

2

1

2

系数关系

（推导过程：

若点

A（x1,y1），B（x2,y2）

在直线

ykxb（k

0）上，

则y1

kx1

b，y2

kx2

b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB（xx）2（yy）2（xx）2（kxkx）2（1k2）（xx）2

1212121212

（1k2）[（xx）24xx]

1212

22112212

或者AB

（x1x2）（y1y2）（x1x2）（y1y2）（12）（y1y2）

（11）[（yy）24yy

]。

）

kkk

2

1212

k

一，直线与椭圆的位置关系

例题1、判断直线kx

x2y2

y30与椭圆1的位置关系

164

ykx3

解：

由

x2y2

可得（4k2

1

1）x2

24kx200

16（16k25）

164

（1）当

16（16k25）

0即k

5或k

5

时，直线kx

x2y2

y30与椭圆1相交

44164

（2）当

16（16k25）

5

0即k或k

5

时，直线kx

x2y2

y30与椭圆1相切

44164

（3）当

16（16k25）0即5k5时，直线kxy3

x2y2

0与椭圆1相离

44

x2y2

164

例题2、若直线y

kx1（k

R）与椭圆1恒有公共点，求实数m的取值范围

5m

解法一：

y

由x2

5

m

kxy2

m

1且m

1

可得（5k2

1

5

m）x2

10kx

55m0，

m5k21

0即m

5k211

解法二：

直线恒过一定点

（0,1）

当

m

5时，椭圆焦点在

x轴上，短半轴长

b

m，要使直线与椭圆恒有交点则

m

1即1

m

5

当

m

5时，椭圆焦点在

y轴上，长半轴长

a

5可保证直线与椭圆恒有交点即

m

5

综述：

m1且m5

解法三：

直线恒过一定点

（0,1）

0212

要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部1即m1

5m

m1且m5

[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决

定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则

（1）直线与椭圆相交0

（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所

以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定

点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：

如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法

22

xoyo

三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：

点

M（xo,yo）在椭圆内部或在椭圆上则221

ab

二、弦长问题

x2y2

例3、已知椭圆1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿

21

ABF2的面积

解法一：

由题可知：

直线

lAB方程为2xy20

y2x2

410

由x2y2

可得9y2

2

1

4y4

0，y1y2

（y1

y）2

4y1y2

9

21

1

SF1F2y1y2

2

410

9

解法二：

45

F2到直线AB的距离h

5

y2x2

102

由x2y2

可得9x2

1

16x6

1

，又AB

2

k2xx

1

2

9

21

1

SABh

2

410

9

21

[评述]在利用弦长公式AB

1kx1x212y1

k

y2（k为直线斜率）或焦（左）半径公式

ABPF1

PF2

aex1

aex2

2a2e（x1

x2）

时，应结合韦达定理解决问题。

例题4、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点

A，B两点，求弦AB的长．

F1作倾斜解为的直线交椭圆于

3

分析：

可以利用弦长公式AB

1k2xx

（1k2）[（x

x）2

4x1x2]求得，

1

2

1

2

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：

（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2

AB1

kx1x2

（1k2）[（x

x）2

4x1x2]

．因为a

6，b

3，所以c

33．因为焦点在x轴上，

1

2

x2y2

所以椭圆方程为1，左焦点

F（3

3,0），从而直线方程为y

3x9．

369

由直线方程与椭圆方程联立得：

13x2

723x

368

0．设

x1，

x2为方程两根，所以

x1x2

723

，

1

2

13

x1x2

368

，k

13

3，从而AB

1k2xx

（1k2

）[（x1

x2）

48

2

4x1x2]．

13

（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．

x2y2

由题意可知椭圆方程为1，设

AF1

m，BF1

n，则

AF2

12m，

BF2

12n．

在AF1F2中，

6

2

AF2

369

2

AF1

2

F1F2

2AF1

F1F2

cos

3

，即（12

6

m）2

m236

32m631；

2

48

所以m．同理在BF1F2中，用余弦定理得n，所以ABmn．

434313

一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

例1过椭圆1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

164

解法一：

设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：

（4k2

1）

x2

8（2k2

k）x

4（2k

1）2160

又设直线与椭圆的交点为A（

x1,y1），B（x2,y2），则

x1,x2是方程的两个根，于是

x1x2

8（2k2k）

4k21，

xx

4（2k2k）

又M为AB的中点，所以12

2

1

2，

4k21

解得k，

2

故所求直线方程为

x2y40。

解法二：

设直线与椭圆的交点为A（x1,y1），B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点，

x

1

x

2

1

2

所以x1x24，y1y22，

2

又A、B两点在椭圆上，则

24y2

16，2

4y2

16，

两式相减得

（x1

x2）

4（y2

y2）0，

2

1

2

y1y2

所以

x1x2

x14（y1

x2

y2）

11

，即kAB，

22

故所求直线方程为

x2y40。

解法三：

设所求直线与椭圆的一个交点为A（

x,y

），由于中点为M（2，1），

则另一个交点为B（4-x,2

y），

x24y216

因为A、B两点在椭圆上，所以有

（4x）2

4（2

，

y）216

两式相减得x2y40，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为

x2y40。

二、求弦中点的轨迹方程问题

x2y2

例2过椭圆1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。

6436

2

解法一：

设弦PQ中点M（

x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

2

2

则有9x1

9x2

2

16y1

2

16y2

576

576

，两式相减得

9（x1

x2）

2

1

16（y2

2

y2）0，

又因为x1x2

2x，y1y2

2y，所以9

2x（x1

x2）

162y（y1

y2）0，

y1y29xy09xy

所以，而kPQ，故。

x1x2

16y

x（8）

16yx8

化简可得

9x2

72x

16y2

0（x

8）。

解法二：

设弦中点M（

x,y），Q（x

1,y1

），由x

x18

，y

2

y1

可得x1

2

2x8，

y12y，

22

x1y1

4（x

4）2

4y2

又因为Q在椭圆上，所以1，即1，

64366436

（x4）2y2

所以PQ中点M的轨迹方程为1（x8）。

169

三、弦中点的坐标问题

例3求直线y

x1被抛物线y2

4x截得线段的中点坐标。

解：

解法一：

设直线y

x1与抛物线y2

4x交于

A（x1,

y1），

B（x2

y2

），其中点

P（x0

y0）

，由题意

yx1

得，

y24x

消去y得（x

1）2

4x，即x2

6x10，

所以x0

x1x22

3，y0

x01

2，即中点坐标为

（3,2）。

解法二：

设直线y

x1与抛物线y2

4x交于

A（x1

y1），

B（x2,

y2），其中点

P（x0

y0

），由题意得

y

2

14x1

2

2

，两式相减得y2

2

y14（x2

x1），

y24x2

（y2y1）（y2y1）

所以4，

x2x1

所以y1y2

4，即y0

2，x0y0

13，即中点坐标为

（3,2）。

例题5、已知

x2y2

P（4,2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求直线l的方程．

369

分析：

本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y（或x），得到关于x（或y）

的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出

x1x2，x1x2（或

y1y2，

y1y2）的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：

方法一：

设所求直线方程为

y2k（x

4）

．代入椭圆方程，整理得

（4k2

1）

x2

8k（4k

2）x

4（4k

2）2

360①

设直线与椭圆的交点为

A（x,y），B（x,y），则x、x是①的两根，∴xx

8k（4k2）

112212

124k21

∵P（4,

2）

为AB中点，∴4

x1x22

4k（4k4k2

2），k1

1

．∴所求直线方程为x

2

2y80．

方法二：

设直线与椭圆交点

A（x1,

y1），

B（x2,

y2）．∵P（4,2）为AB中点，∴x1x2

8，y1y24．

2

又∵A，B在椭圆上，∴x1

2

4y1

2

36，x2

2

4y2

36两式相减得

2

（x1

2

x2）

2

4（y1

2

y2）0，

即（x1

x2）（x1

x2）

4（y1

y2）（y1

y2）

0．∴y1y2

x1x2

（x14（y1

x2）

y2）

1

．∴直线方程为x

2

2y80．

方法三：

设所求直线与椭圆的一个交点为

A（x,

y），另一个交点

B（8

x,4

y）．

∵A、B在椭圆上，∴x2

4y236①。

（8x）2

4（4

y）236②

从而A，B在方程①－②的图形

x2y8

0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为

x2y80．

说明：

直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是

（33

0）、（3

3,0）的椭圆截直线x

2y8

0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

例题6、已知椭圆

4x2y2

1及直线y

xm．

（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

210

5

，求直线的方程．

解：

（1）把直线方程y

xm代入椭圆方程

4x2y21得

4x2

xm21，

即5x2

2mxm210．

2m245

m21

16m2

200，解得

5m5．

22

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为

x1，

x2，由

（1）得x1x2

2mm1

2

，x1x2．

55

2

根据弦长公式得：

11

2

2m4

5

m21

5

210

5

．解得m

0．方程为yx．

说明：

处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决

直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例题7、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，

|PQ|=

10

，求椭圆方程.

2

【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，

故可设椭圆方程为：

mx2+ny2=1（m>0，n>0）简便.

【规范解答】设椭圆方程为：

mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），

yx

由mx2

1

ny2

中消去y并依x聚项整理得：

（m+n）·x2+2nx+（n-1）=0，Δ=4n2-4（m+n）·（n-1）>0，即m+n-mn>0，

1

OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：

2x1x2+（x1+x2）+1=0，

2（n1）

∴

2

2

mn

2n10

2

mn

m

n2①

又|PQ|=

（x1

x）2

（y1

y）2

（x1

x）2

[（x11）

（x2

1）]2

＝2（x1

x）2

2（x1

x）2

4x1x2

2

2

2

22n

mn

4n110②

mn2

m1m3

联立①②并解之得：

2或2

n3n1

22

经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.

【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：

mx2+ny2=1（m>0，n>0），m与n的大小关系，决定了焦点位置.

三，对称问题

例题8、已知椭圆

x2y2

C：

1，试确定m的取值范围，使得对于直线

l：

y

4xm，椭圆C上有不同的两

43

点关于该直线对称．

分析：

若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：

（1）直线ABl；

（2）弦AB的中点M在l上．

利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．

解：

（法1）设椭圆上

A（x1,

y1），

B（x2,

y2）两点关于直线l对称，直线AB与l交于

M（x0

y0）点．

∵l的斜率kl

4，∴设直线AB的方程为y

1xn．由方程组y

1xn,4

消去y得

4x2y2

1,

43

13x2

8nx

16n2

480

4n12n

①。

∴x1x2

8n

．于是x0

13

x1x22

4n

，y0

13

4n

1

x0n

4

13

12n

，

13

即点M的坐标为

（,

1313

）．∵点M在直线

y4x

m上，∴n

4m．解得n13

m．②

4

将式②代入式①得

13x2

26mx

169m2480③

22213213

∵A，B是椭圆上的两点，∴

13

（26m）4

4

13（169m

13

48）

0．解得m．

1313

（法2）同解法1得出n

m，∴x0

4

（m）m，134

y

x

m

113

00

44

1（m）

4

13m

4

3m，即M点坐标为（m,

3m）．

（m）2

（3m）2

213

213

∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴1．解得m．

431313

（法3）设

A（x1,

y1）

，B（x2

y2）是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为

（x0

y0）．

x

2

∵A，B在椭圆上，∴1

22

y

x

11，2

2

y

21．两式相减得

3（x1

x2）（x1

x2）

4（y1

y2）（y1

y2）0，

4343

即32x0

（x1

x2）

42y0

（y1

y2）

0．∴y1y2

x1x2

3x04y0

（x1

x2）．

又∵直线AB

l，∴kABkl

1，∴

3x04

4y0

1，即y0

3x0①。

又M点在直线l上，∴y04x0m

②。

由①，②得M点的坐标为（m,

3m）．以下同解法2.

说明：

涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

（1）利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程．

22

x0y0

（2）利用弦AB的中点

M（x0

y0）在椭圆内部，满足1，将

x0，

y0利用参数表示，建立参数不等式．

ab

四，最值问题

例题9、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=

3

，已知点P（0，

2

3

）到这个椭圆上的点的最

2

远距离是7，求这个椭圆的方程.

【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.

【规范解答】由e=

3

可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：

2

x2

4b2

y1，即有x2=4b2-4y2.

2

b2

设M（x，y）是椭圆上任意一点，且-b≤y≤b，∴|PM|2=-3（y+

b］，求二次函数的最值.

1）2+4b2+3，由于y∈［-b，b］，于是转化为在闭区间［-b，

2

当b<

1时，y=-b，|PM|2有最大值b2+3b+9，令b2+3b+9=（7）2，解得b=7-31，舍去.

24422

11x