数据结构kruskal算法求最小生成树.docx
《数据结构kruskal算法求最小生成树.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数据结构kruskal算法求最小生成树.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数据结构kruskal算法求最小生成树
、问题简述
题目：
图的操作。
要求：
用kruskal算法求最小生成树。
最短路径：
①输入任意源点，求到其余顶点的最短路径。
②输入任意对顶点，求这两点之间的最短路径和所有路径。
二、程序设计思想首先要确定图的存储形式。
经过的题目要求的初步分析，发现该题的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。
其次是kruskal算法。
该算法的主要步骤是：
GENERNIC-MIT（G,W）
1.A←
2.whileA没有形成一棵生成树
3do找出A的一条安全边（u,v）;
4.A←A∪{（u,v）};
5.returnA
算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。
在每步决定是否把边（u,v）添
加到集合A中，其添加条件是A∪{（u,v）}仍然是最小生成树的子集。
我们称这样的边为A的安全边，因为可以安全地把它添加到A中而不会破坏上述条件。
然后就是Dijkstra算法。
Dijkstra算法基本思路是：
假设每个点都有一对标号（dj,pj），其中dj是从起源点s到点j的最短路径的长度（从顶点到其本身的最短路径是零路（没有弧的路），其长度等于零）；pj则是从s到j的最短路径中j点的前一点。
求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下：
1）初始化。
起源点设置为：
①ds=0,ps为空;②所有其他点:
di=∞,pi=?
;③标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。
2）检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置：
dj=min[dj,dk+lkj]
dj中最小的一个i：
式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。
3）选取下一个点。
从所有未标记的结点中，选取
di=min[dj,所有未标记的点j]
点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。
4）找到点i的前一点。
从已标记的点中找到直接连接到点i的点j*，作为前一点,设置：
i=j*
5）标记点i。
如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，转到2）再继续。
而程序中求两点间最短路径算法。
其主要步骤是：
①调用dijkstra算法。
②将path中的第“终点”元素向上回溯至起点，并显示出来。
程序结构框图为：
三、程序具体实现
1、kruskal函数：
因为kruskal需要一个有序的边集数组，所以要先对边集数组排序。
其次，在执行中需要判断是否构成回路，因此还另有一个判断函数seeks，在kruskal中调用seeks。
2、dijkstra函数：
因为从一源到其余各点的最短路径共有n-1条，因此可以设一变量vnum作为计数器控制循环。
该函数的关键在于dist数组的重新置数。
该置数条件是：
该顶点示被访问过，并且新起点到该点的权值加上新起点到源点的权值小于该点原权值。
因此第一次将其设为：
if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]但是在实
际运行中，发现有些路径的权值为负。
经过分析发现，因为在程序中∞由32767代替。
若cost[u][w]==32767，那么cost[u][w]+dist[u]肯定溢出主负值，因此造成权值出现负值。
但是如果cost[u][w]==32767，那么dist[w]肯定不需重新置数。
所以将条件改为：
if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]=32767）。
修改之后，问题果然解决。
3、printpath1函数：
该函数主要用来输出源点到其余各点的最短路径。
因为在主函数调用该函数前，已经调用了dijkstra函数，所以所需的dist、path、s数组已经由dijkstra函数生成，因此在该函数中，只需用一变量控制循环，一一将path数组中的每一元素回溯至起点即可。
其关键在于不同情况下输出形式的不同。
4、printpath2函数：
该函数主要用来输出两点间的最短路径。
其主要部份与printpath1函数相同，只是无需由循环将所有顶点一一输出，只需将path数组中下标为v1的元素回溯至起点并显示出来。
四、源程序
#defineMAXE100
structedges
{intbv;
inttv;intw;};typedefstructedgesedgeset;
intseeks（intset[],intv）
{inti;
i=v;
while（set[i]>0）i=set[i];
returni;
}
kruskal（edgesetge[],intn,inte）
{intset[MAXE],v1,v2,i,j;
for（i=1;ii=1;
j=1;
while（j<=e&&i<=n-1）
{v1=seeks（set,ge[j].bv）;
v2=seeks（set,ge[j].tv）;
if（v1!
=v2）
{printf（"（%d,%d）:
%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w）;
set[v1]=v2;
i++;
}
j++;
}
}
voidinsertsort（edgesetge[],inte）
{inti,j;
for（i=2;i<=e;i++）
if（ge[i].w{ge[0]=ge[i];
j=i-1;
while（ge[0].w{ge[j+1]=ge[j];
j--;
}
ge[j+1]=ge[0];
}
}
voiddijkstra（intcost[MAXE][MAXE],intdist[MAXE],intpath[MAXE],ints[MAXE],intn,intv0）
{intu,vnum,w,wm;
for（w=1;w<=n;w++）
{dist[w]=cost[v0][w];
if（cost[v0][w]<32767）
path[w]=v0;
}
vnum=1;
while（vnum<=n-1）
{wm=32767;
u=v0;
for（w=1;w<=n;w++）
if（s[w]==0&&dist[w]{u=w;
wm=dist[w];
}
s[u]=1;vnum++;
for（w=1;w<=n;w++）
if（s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w]=32767）{dist[w]=dist[u]+cost[u][w];
path[w]=u;
}
}
}
voidprintpath1（intdist[],intpath[],ints[],intn,intv0）
{inti,k;
for（i=1;i<=n;i++）if（s[i]==1）{k=i;
while（k!
=v0）
{printf（"%d<-",k）;
k=path[k];
}
printf（"%d:
%d\n",k,dist[i]）;
}
else
printf（"%d<-%d:
32767\n",i,v0）;
}
voidprintpath2（intdist[],intpath[],intv0,intv1）
{intk;
k=v1;while（k!
=v0）
{printf（"%d<-",k）;
k=path[k];
}
printf（"%d:
%d\n",k,dist[v1]）;
}
main（）
{edgesetge[MAXE];
intcost[MAXE][MAXE],dist[MAXE],path[MAXE],s[MAXE],a,n,e,i,j,k,v0,v1;printf（"inputthenumberofpoint:
"）;
scanf（"%d",&n）;
printf（"inputthenumberofedges:
"）;
scanf（"%d",&e）;
printf（"inputtheedges:
\n"）;
for（i=1;i<=e;i++）
scanf（"%d,%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv,&ge[i].w）;
printf（"pleasechoise\n"）;
printf（"1.kruskal\n"）;
printf（“2.shortpath\n”）;
printf（“3.shortpathbetweentwopoint\n”）;
printf（“4.exit\n”）;
scanf（"%d",&a）;
while（a!
=4）
{switch（a）
{case1:
insertsort（ge,e）;
kruskal（ge,n,e）;
break;
case2:
printf（"inputthestartpoint:
"）;
scanf（"%d",&v0）;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
cost[i][j]=32767;
for（k=1;k<=e;k++）
{i=ge[k].bv;
j=ge[k].tv;
cost[i][j]=ge[k].w;
}
for（i=1;i<=n;i++）
s[i]=0;
s[v0]=1;
dijkstra（cost,dist,path,s,n,v0）;printpath1（dist,path,s,n,v0）;
break;
case3:
printf（"inputthestartpoint:
"）;
scanf（"%d",&v0）;
printf（"inputtheendpoint:
"）;
scanf（"%d",&v1）;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
cost[i][j]=32767;
for（k=1;k<=e;k++）
{i=ge[k].bv;
j=ge[k].tv;
cost[i][j]=ge[k].w;
}
for（i=1;i<=n;i++）
s[i]=0;
s[v0]=1;
dijkstra（cost,dist,path,s,n,v0）;
printpath2（dist,path,v0,v1）;
break;
}
printf（"pleasechoise\n"）;
printf（"1.kruskal\n"）;
printf（“2.shortpath\n”）;
printf（“3.shortpathbetweentwopoint\n”）;
printf（“4.exit\n”）;
scanf（"%d",&a）;
}
}
五、程序调试
将如下图输入：
6
5
36
依次输入：
6（六个顶点）
10（十条边）
1，2，6
1，3，1
1，4，5
2，3，5
2，5，3
3，4，5
3，5，6
3，6，4
4，6，2
5，6，6
显示菜单。
选择1输出：
（1，3）：
1
4，
6）：
2
2，
5）：
3
3，
6）：
4
2，
3）：
5
选择2
输入1（起点）输出：
1：
327672<-1:
63<-1:
14<-1:
55<-3<-1:
76<-3<-1:
5
选择3
输入1（起点）
5（终点）
输出:
5<-3<-1:
7选择4退出。
六、附录
3阶B_树中，画
将序列3，7，2，1，4，6，8，9，10，5插入到初始为空的平衡树和出插入过程，然后依次删除每个元素，画出删除过程。
平衡树插入过程如下所示：
3
3
3
3
7
2
7
2
7
1
3
3
3
27
2
7
LR
2
6
14
1
4
1
47
6
3
3
3
26
2
6
RR
2
6
14
71
4
7
1
48
8
8
79
9
3
3
3
26
RR
2
8
2
8
14
8
1
69
1
69
7
9
4
710
4
710
10
5
6
RL38
2479
1510
平衡树删除过程如下所示：
6
删3
6
删76
38
2
8
2
8
2479
1
47
9
1
49
1510
510
510
6
删
26
6
RR29
1
9
LR
4
9
14810
4810
15810
5
5
删16
删
46
删65
49
59
9
5810
8
10
8
10
8
删8
59
RL59
9
RR
510
1010
删95删105删510
B-树的插入过程如下所示：
插入33插入737插入23插入1327127
插入
4
3
插入636
插入836
1
2
471
24
71247
8
插入
9
6
插入
106
3
8
38
1
2
47
9
12479
10
插入56
38
12457910
升级会员 