中考考点二次函数知识点汇总全.docx
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中考考点二次函数知识点汇总全
内容:
1、一元一次函数;
2、一元二次函数;
3、反比例函数
★二次函数知识点
一、二次函数概念:
1•二次函数的概念:
2
一般地,形如y=axbxc(a,b,c是常数,a=0)的函数,叫做二次函数。
这
里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a=0,而b,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
2
2.二次函数『二狀bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次
数是2•⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式:
2.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
2
:
⑤y二axbxc
22-.2-2
①y=ax:
②y=axk‘③y=ax_h‘④y=ax_hk
三、二次函数的性质:
1、
2
y=ax的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,。
)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;xcO时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值°.
a<0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;xc0时,y随x的增大而增大;X=0时,y有最大值0•
2.yrax?
<的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,c)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;xv0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.
a<0
向下
(0,c)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;xcO时,y随x的增大而增大;x—0时,y有最大值c.
2
3.y=ax-h的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,0)
X=h
x〉h时,y随x的增大而增大;xch时,y随x的增大而减小;x—h时,y有最小值0.
a<0
向下
(h,0)
X=h
XAh时,y随x的增大而减小;xvh时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0.
2
4.
y=ax-hk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,k)
X=h
x>h时,y随x的增大而增大;xch时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k.
a<0
向下
(h,k)
X=h
x>h时,y随x的增大而减小;xvh时,y随x的增大而增大;X=h时,y有最大值k.
5.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同,只是顶点的位置不同•
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
⑵配方法:
运用配方法将抛物线的解析式化为y=ax-h彳•k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是x=h.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点
四、二次函数图象的平移:
2
i.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=ax_hk,确定其顶点坐标h,k;
2
⑵保持抛物线y=ax的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2.平移规律:
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”
22
方法二:
⑴y=axbxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,y=axbxc变成
22
y=axbxcm(或y=axbxc_m)
⑵y二ax?
•bx•c沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,y二ax?
•bx•c变成
22
y二a(xm)b(xm)c(或y二a(x「m)b(x「m)c)
22
五、二次函数y=ax-hk与y二axFxy的比较
22
从解析式上看,y=ax-hk与y=axbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,
xA2.4ac£
I2a丿4a,其中六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a二次函数八狄Fx弋中,a作为二次项系数,显然a=0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a:
:
:
0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b:
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下,当b0
3.
bb
°°
时,2a,即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b=°时,2a,即抛物线的对称轴就是y轴;当b:
:
:
°
-—>°
时,2a,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
b
x=——
(3)ab的符号的判定:
对称轴2a在y轴左边则ab°,在y轴的右侧则ab:
:
:
°,概括的说就是
“左同右异”
3.常数项c:
⑴当c°时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当
c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为°;⑶当c:
:
:
0时,抛物线与
22
二ax-hk关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax・hk;
4.
y=-ax2bx-c;
;
关于原点对称:
y=a^bxc关于原点对称后,得到的解析式是
22
y=ax—hk关于原点对称后,得到的解析式是yyX•h
2
得到的解析式是yyx-hk
2
5.关于点m,n对称:
y"x_hk关于点m,n对称后,得到的解析式是
2
y=-axh「2m:
.-2n「k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变•求
抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
八、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
2
一元二次方程ax2・bx・c=O是二次函数y=axbxc当函数值y时的特殊情况.
AB二X2-xj二
.b24ac
图象与x轴的交点个数:
①当A=b2-4ac0时,图象与x轴交于两点Axi,0,Bx2,0(x<"x2),其
2
中的Xi,x2是一元二次方程ax•bx弋=0a=0的两根•这两点间的距离
②当盘=0时,图象与x轴只有一个交点;③当.■:
.0时,图象与x轴没有交点.
1'当a0时,图象落在X轴的上方,无论X为任何实数,都有y;
2'当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y”:
°.
2
2.抛物线y=axbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(°,c);
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yFx?
Fx<中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判
断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个
交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式axbxc(^"0)本身就是所含字母x的二次函数;下
面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
A>0
抛物线与x轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一兀二次方程有两个不相等实根
\=0
抛物线与X轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一兀二次方程有两个相等的实数根
也<0
抛物线与X轴无交占
八、、
二次三项式的值恒为正
一兀二次方程无实数根.
九、函数的应用
刹车距离
丿何时获得最大利润
最大面积是多少
I
★二次函数考查重点与常见题型
1考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
22
已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)xm~m~2的图像经过原点,则m的值是()。
2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数y=kx•b的图像在第一、二、三象限内,那么函
2
数八也bx-1的图像大致是()
3、考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性
5
的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为3,求这条抛物线的解析式。
4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线y=axbxc(a丰0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一3
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
5•考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
y_ax2+bx+C,VI2丿
例1
(1)二次函数yYxbxc的图像如图1,则点a在()
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(0)的图象如图2所示,?
则下列结论:
①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B•2个C•3个D•4个
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(x1,0),且1①a0;③4a+c<0;④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为()
A1个B.2个C.3个D.4个答案:
D会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()
A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)答案:
C例4.已知:
二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(xi,0),B(x2,0)两点(xivx?
),
交y轴负半轴于C点,且满足3A0=0B
M,使锐角/MCONACO若存在,请你求出
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数的图象上是否存在点M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.
(1)解:
如图•••抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,0),
则x1•x2=3<0,又Tx1/•x2>0,x1<0,T30A=OB/•x2=-3x1.
•••x1•x2=-3x12=-3.•••x12=1.
x1<0,•x仁-1.•••.x2=3.
•••点A(-1,0),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3•.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
⑵存在点M使/MC0
⑵解:
点A关于y轴的对称点A'(1,O),
•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).•符合题意的x的范围为-1x(元)?
与产品的日销售量y(件)之间的关
当点M的横坐标满足-1x(元)
1
2
3
5
0
0
y(件)
2
2
1
5
0
0
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)
?
此时每日销售利润是多少元?
要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
15kb=25,
【解析】
(1)设此一次函数表达式为y=kx+b」「2k•b=20解得k=-1,b=40,?
即一次函数表达式
为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元:
w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)
2+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
★二次函数知识点汇总^
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
9.抛物线y=ax'bx•c中,a,b,c的作用
b
①b=0时,对称轴为y轴;②a0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
b
0
③a(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧•
2
⑶c的大小决定抛物线y=axbxc与y轴交点的位置
2
当x=0时,y=c抛物线y=axbxc与y轴有且只有一个交点(o,C):
聲0
.如抛物线的对称轴在
①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴;③cV0,与y轴交于负半轴
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2
y=ax
当aa0时
开口向上当av0时开口向下
x=0(y轴)
(0,0)
y=ax2+k
x=0(y轴)
(0,k)
y=a(x-hf
x=h
(h,0)
2
y=a(x—h)+k
x=h
(h,k)
y=ax2+bx+c
b
x--—
2a
b4ac-b2
(2a'4a)
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立
y轴右侧,则
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
y=a^bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式
(2)顶点式:
y=ax-hk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:
y^ax-X1X-X2.
12.直线与抛物线的交点
2
(1)y轴与抛物线y=axbxc得交点为(0,c)
⑵与y轴平行的直线x二h与抛物线y=ax'•bx•c有且只有一个交点(h,ah2bhc).
⑶抛物线与x轴的交点:
二次函数ybx•c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、X2,是对应
2
一元二次方程axbx0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
的判别式判定:
①有两个交点:
=”0:
=抛物线与X轴相交;②有一个交点(顶点在X轴
上)U.)=0=抛物线与X轴相切;③没有交点=二:
:
:
0=抛物线与X轴相离•
⑷平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)—样可能有0个交点、1个交点、2个交点•当有2个交点时,
2
两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是axbxk的两个实数根.
2
(5)一次函数y=kx.nk=0的图像l与二次函数y=ax.bx.ca=0的图像G的交点,由方程组
y=kxn
y-ax?
bxc的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时二I与G有两个交点;②方程组只有一组解时二1与G只有一个交点;③方程组无解时二1与G没有交点•
2
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线y=axbxc与x轴两交点为Axi,0,Bx2,0,由于
2
x1、x2是方程ax•bx•c=0的两个根,故
13.
二次函数与一元二次方程的关系:
有一个交点、没有交点;当
⑵二次函数yFxc的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、
2
二次函数y=axbxc的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=°时自变量x的值,即一元
2
次方程axbxc=0的根.
们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解(最新原创助记口诀)
知识点四,正比例函数和一次函数
1、一般地,如果(k,b是常数,k^O),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数『=也+&中的b为0时,『=也(k为常数,k式0)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数y=坎•b的图像是经过点(0,b)的直线;正比
例函数y=kx的图像是经过原点(o,0。
的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
yi
0/
I
/
图像经过一、二、三象限,y随x的增
大而增大。
0/x
b<0
y:
0x
I
图像经过一、三、四象限,y随x的增
大而增大。
/
/
K<0
b>0
y
J
\
\■
图像经过一、二、四象限,y随x
的增大而减小
0x
\
b<0
y」
\
L
图像经过二、三、四象限,y随x
的增大而减小。
0
\-10-页共18页
注:
当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数y二也有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数y=kxb有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k=o)中的常数k。
确定一个一次函数,需
要确定一次函数定义式y二也F(k=o)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
k
y=—
1、反比例函数的概念:
一般地,函数x(k是常数,k=0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式
也可以写成y二也的形式。
自变量x的取值范围是x=0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实
数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们
关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x=0,函数y=0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即
双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例函数的性质
反比例函数
k
y=—(k式0)
x
k的符号
k>0
k<0
图像
y
I
J
L
ox
Ox
r
性质
1x的取值范围是xH0,
y的取值范围是yH0;
2当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内,y随X的增大而减小。
1x的取值范围是x^0,
y的取值范围是y^0;
2当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内,y随X的增大而增大。
k
y=一
4、反比例函数解析式的确定:
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数X中,只有一
个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念:
一般地,如果特y=ax-bxc(a,b,c是常数,a=0),特别注意a不为零
那么y叫做X的二次函数。
y二axbxc(a,b,c是常数,a=°)叫做二次函数的一般式。
b
x=——
2、二次函数的图像:
二次函数的图像是一条关于2a对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线y=axbxc与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Db
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、MD三点可粗
略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,
画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:
口诀-----一般两根三顶点
2
(1)一般一般式:
y=axbxc(a,b,c是常数,a=0)
2
(2)两根当抛物线y=axbxc与x轴有交点时,即对应二次好方程ax2bx°有实根xi和
22
x2存在时,根据二次三项式的分解因式axbx•c=a(x-xi)(x-X2),二次函数y=axbxc可
转化为两根式y=a(x-Xi)(x-X2)。
如果没有交点,则不能这样表示。
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点顶点式:
y=a(x-h)2•k(a,h,k是常数,a=°)
知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最
2
b4ac—bb
x=_y最值=v—
小值),即当2a时,4a。
如果自变量的取值范围是x^x2,那么,首先要看2a
围内,则需要考虑函数在X1乞XEx2范围内的增减性,如果在此范围内,y随X的增大而增大,则当X=X2
则当x=Xi时,y最大=axi+b