高考全国1卷理科数学试题及答案word精校解析版1.docx
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高考全国1卷理科数学试题及答案word精校解析版1
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
理科数学
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置•用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑•
2、选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效
3、填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•
4、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
第I卷
一.选择题：
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的•
1•设集合Ax
2x
4x3
0,x
2x3
0，则AI
B
3
3
3
3
（A）
3,-
（B）
3-
（C）
1-
（D）
-,3
2
2
2
2
2•设（1
i）x1
yi
，其中
x,y是实数，
则
x
yi
（A）1
（B）
J2
（C）
43
（D）2
3•已知等差数列
an
前9项的和为27,
a10
8
，则
a100
（A）100（B）99（C）98（D）97
4•某公司的班车在7:
00,8:
00,8:
30发车，小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）
（B）
（C）I
（D）
5•已知方程
2
y
c2
3mn
1表示双曲线,
且该双曲线两焦点间的距离为
4,则n的取值范围是
（A）1,3（B）1,、、3（C）0,3（D）0,、、3
6.如图，某几何体的二视图是二个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
28
的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
3
（A）17
（B）18（C）20（D）28
7.函数y
2x2
在2,2的图像大致为
（A）ac
bc
cc
（B）abba（C）
alogbC
blogac（D）logac
logbC
9.执行右面的程序框图，如果输入的x0，
y1,n
1，则输出x,y的值满足
（A）y2x（B）y3x（C）y
4x（D）y5x
10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线
两点.已知|AB|=42,|DE|=2,5,则C的焦点到准线的距
离为
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
11.平面
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,〃平面CB1D1,
I平面
ABCD=m,I平面ABB1A1=n则m、n所成角的正弦
值为
（a）¥
31
（c）E（d）3
开始
12.已知函数
f（x）sin（x+）（0,
）,x为f（x）的零点,x为yf（x）图像
244
的对称轴，且
f（x）在
单调，则的最大值为
1836
（A）11
（B）9
（C）7（D）5
二、填空题：
本大题共
3小题,每小题5分
13•设向量a=（m,1）,b=（1,2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=
14.（2xx）5的展开式中，x3的系数是
•（用数字填写答案）
15.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5，贝Ua1a2--an的最大值为
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,
乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时.生产
一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材
元.
料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分为
12分）
ABC的内角A,
B,C的对边分别为a,b,
c,已知2cosC（acosB+bcosA）
c.
（I）求C；
（II）若cx7,
ABC的面积为313，求
2
ABC的周长.
18.（本小题满分为
12分）如图，在以A,B,
C,D,E,F为顶点的五面体中，面
ABEF为正方
形，AF=2FD,
AFD90o，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
（I）证明：
平面
ABEF平面EFDC;
（II）求二面角
E-BC-A的余弦值.
19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购
买,则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种
机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:
，记X表示2
台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数
（I）求X的分布列；
，在n19与n20之中选其一，应选用哪
（II）若要求P（Xn）0.5,确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据
个？
22
20.（本小题满分12分）设圆xy2x150的圆心为A，直线I过点B（1，0）且与x轴不重合，I交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线|交C1于M，N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
X2
21.（本小题满分12分）已知函数fxx2eax1有两个零点.
（I）求a的取值范围；（II）设x1,x2是fx的两个零点证明：
捲X22.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
1
如图，△OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以0为圆心，—OA为半径作圆
2
（I）证明：
直线AB与O0相切；
（II）点C,D在O0上，且A,B,C,D四点共圆，证明：
AB//CD.
（II）直线C3的极坐标方程为
（II）求不等式fx1的解集
23.（本小题满分
10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系x
xacost
y中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.
y1asint
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
p=4COS
（I）说明Ci是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；
0，其中0满足tan0=2，若曲线Ci与C2的公共点都在C3
24.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲
已知函数fxx12x3.
（I）画出yfx的图像；
2016年高考全国1卷理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
B
A
A
D
C
C
B
A
B
1.Axx24x30x1x3,Bx2x30xx|
故AIB
x
3-x
2
3.
故选D.
2.由1ix1
yi可知:
x
xi1
yi，
故
X1，解得：
X
1
xy
y
1
所以，|x
yi
Jx
2
y
近.
故选B.
3.由等差数列性质可知：
S
9a1
a
9
2a5
—9a527,
故
a53,
22
而aio8，因此公差d色°生1
105
二印00印090d98.
故选C.
4.如图所示，画出时间轴：
8:
30
7:
307:
407:
508:
008:
108:
20
ACDB
AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才
能保证他等车的时间不超过
10分钟
根据几何概型，所求概率
10101P
402
小明到达的时间会随机的落在图中线段
故选B.
22
5.弓冷——1表示双曲线，则m2n3m2n0
mn3mn
由双曲线性质知：
c2
m2n3m2n4m2，其中c是半焦距
•••焦距2c22m4,
解得m1
故选A.
表面积是
S=74
8
7.f28e
2.820，排除A
1
丄后的三视图
8
-的球面面积和三个扇形面积之和
8
212
22+322=17
4
故选A.
82.721，排除B
x0时，
2x
x2xe
x4xex，当
0,1时,
4
因此fx
o,1单调递减，排除C
故选D.
8.对A:
由于0
••函数yxc在R上单调递增，因此a
acbc,A错误
对B:
由于
10,•函数yxc1在1,上单调递减，
c1c1cc
abbaab,B错误
—和，只需blnb
blnbalna
对C:
要比较alogbc和blogac,只需比较创匹和9竺，只需比较lnblna
和alna
因此fa
alnablnb0
11
alnablnb
又由0c1得Inc0,
lncInc
alnablnb
blogacalogbc,C正确
对D:
要比较
lnclnc
lnb
logac和logbc，只需比较和
lna
而函数
yInx在1,上单调递增，故
ab1InaInb0—
Ina
丄
Inb
又由0
c1得lnc0」匹匹
InaInb
logaclogbC,D错误
2r
②
故选C.
9.如下表:
循环节运
行次数
n1
xxx
2
yyny
判断
22“
xy36
是否
输出
nnn1
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
1
2
2
否
否
3
第三次
3
2
6
是
是
输出x3,y6，满足y4x
故选C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为y22pxp0，设圆的方程为x2题目条件翻译如图：
设AXo,2-2,Df，5,
点AXo,22在抛物线y22px上，82
点D在圆x2y2「2上，•5
点Ax0,22在圆x2
2「2小2
r上，•••Xo8r
11.
联立①②③解得：
p4，焦点到准线的距离为p4.
故选B.
如图所示：
•••//平面CB1D1，•若设平面CB1D1I平面ABCD
则mJ/m
又•••平面ABCD//平面AQGU，结合平面B1D1CI平面ABQPB1D1
•B1D1/m，故B1D1//m
同理可得：
CD,n
故m、n的所成角的大小与RD、CDi所成角的大小相等，即CDiB的大小.
而BiCB1D1CDi（均为面对交线），因此CD1B1
，即sinCD1B1
3
故选A.
12.由题意知:
n.
+k|n
4
n,n
+k2n+_
42
则2k1，其中kZ
亠n5n^、中5nT…
Qf（x）在，单调，，12
18363618122
若
11,
n
，此时f（x）sin11x
4
，f（x）在
4
-,3n递增，在
1844
爲递减，不满
足f（x）在
—单调
18‘36
若
9,
n,n
，此时f（x）sin9x-
44
，满足f（x）在
-,5n单调递减
1836
故选B.
接下来用排除法
15
6416
216000
13.-214.10
13.由已知得：
abm1,3
rr
2r
2r
a
b
a
b
2
k
232m2121222,
解得m
14.设展开式的第
1项为Tk
k0,1,2,3,4,5
Tk1C52x
5k
C：
25kx2
54c4254x勺
10x3
k
当53时，k4，即T5
2
故答案为10.
15.由于an
是等比数列，设an
aiqn1，其中
a1是首项,
q是公比.
a1
a3
10
2
a1a1q
a2
a4
3
aeaiq
10
，解得:
5
a1
a2
17249n
224
3或4时,
49
一取到最小值6,
4
此时
49
~4
取到最大值26.
町行域为:
所以a1a2...an的最大值为64.
16.设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造
线性规则约束为
1.5x+0,5j<15（]x■+0.3j?
W905兀+3丿W6Q0
日
目标函数z2100x900y
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为（60,100）（0,200）（0,0）（90,0）
17.解：
⑴2cosCacosBbcosAc
由正弦定理得：
2cosCsinAcosBsinBcosAsinC
2cosCsinABsinC
AB
C
n,A、B、C0,n
sinA
B
sinC0
2cosC
1,
c1
cosC-
2
C0,
n
•C-
3
⑵由余弦定理得：
c2a2b22abcosC
7
2a
b22ab1
a
2b
3ab7
S
1
亦
sinCab
33
ab
2
4
2
•••ab6
2
•ab187
ab5
•△ABC周长为abc57
18•解：
（1）•/ABEF为正方形•-AFEF
•/AFD90
•AFDF
•••DFIEF=F
•AF面EFDC
AF面ABEF
•平面ABEF平面EFDC
⑵由⑴知
DFECEF60
•••ABIIEF
AB平面EFDC
EF平面EFDC
•••ABII平面ABCD
AB平面ABCD
•/面ABCDI面EFDCCD
•ABIICD
•CDIIEF
•四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点，如图建立坐标系，设FDa
B0，2a，0
Ci小，
A2a，2a，0
lit
tit
a
tut
EB
0,2a,0,BC
2a,-a,
AB
2
2
2a，0，0
n
ttt
2ayi
0
m
EB
0加
n
ttir
，即
a
3
m
BC
0
x
2ay
az0
2
2
m
3
0,1
设面BEC法向量为mx，y，z
X3，yi0，z1
rttirnBC：
=0
Bn
a
X2
2ay2
rtun
•即
2
2
nAB
0
2ax2
0
r
n0,
.3,4
设面ABC法向量为nx2，y2，Za
BCA的大小为
设二面角E
X20，y2、3，Z24
cos
219
19
irrmntr—r
•二面角EBCA的余弦值为2上
19
19解：
⑴每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11
记事件A为第-
台机器
3年内换掉i
7个零件
i123,4
记事件Bi为第二台机器
3年内换掉i
7个零件
i1,2,3,4
由题知PA
PA
PA4PB1
PB3
PB40.2,PA>PB20.4
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为
X，则X的可能的取值为16,17,18,
19,20,21,22
PX
16
PA
PB1
0.20.2
0.04
PX
17
PA
PB2
PA2P
B10.20.40.40.20.16
PX
18
PA
PB3
PA2P
B2PA3PB10.20.20.20.20.40.40.24
PX
19
PA1
PB4
PA2P
B3PA3PB2PA4PB10.20.20.20.20.4
0.2
0.4
0.24
PX
20
PA2
PB4
PA3P
B3PA4PB20.40.20.20.40.20.20.2
Px
21
PA
PB4
PA4P
B30.20.20.20.20.08
Px
22
PA4
PB4
0.20.2
0.04
0.2
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
:
0.16：
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04；
n>0.5,Q0.040.160.240.5,0.040.160.240.24》0.5
⑵要令
则n的最小值为19
⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当n19时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040
5000.0810000.04
4080
当n20时，费用的期望为20200
20.
（1）圆A整理为x12
y216,A坐标
1,0，如图,
ZEBD，由
QBE//AC，则ZC
ZEBDZD,贝UEBED
AEEBAEEDAD4
AC
AD,则ZDZC,
所以E的轨迹为一个椭圆,
方程为
2
y
；1,（y0）;
4
因为
PQ丄I
1；设I：
X
my1，
，设PQ：
y
，联立I与椭圆Ci
x
2x
4
my
2
y_
3
得3m2
1
6my
则|MN|
1m2|yM
yN
I22
..36m363m4
3m24
2，
3m4
圆心A到PQ距离d
|m
.1
|2m|
1m2，
所以应选用n19
4、、3m24
SmPNQ
12,8、一3
24厂24
3m24
21.（I）
f'（x）（x1）ex2a（x1）（x1）（ex2a）.
（i）设a
x
0,则f（x）（x2）e,f（x）只有一个零点.
（ii）设a
0,则当x（,1）时，f'（x）0;当x（1,）时，f'（x）0•所以f（x）在（
1）
上单调递减，在（1,）上单调递增.
又f
（1）e,f
（2）a，取b满足b0且blna，则
2
f（b）|（b2）a（b1）2
a（b2
lb）
0,
故f（x）存在两个零点.
（iii）设a0，由f'（x）
0得x
1或x
ln（
2a）.
卄e
右a，则ln（2a）1,
故当x
（1,
）时,
f'（x）0,因此f（x）在（1,）上单调递增.又
当x1时，f（x）0，所以f（x）不存在两个零点.
e
若a，则ln（2a）1，故当x（1,ln（2a））时，f'（x）0；当x（ln（2a）,）时,
f'（x）0•因此f（x）在（1,ln（2a））单调递减，在（ln（2a）,）单调递增•又当x1时,f（x）0，所以f（x）不存在两个零点.
综上，a的取值范围为（0,）.
（）不妨设X1
X2,由（I）知X1
（
1）,X2
（1,
）,2
X2
（,1）,
f（x）在（,1）上
单调递减，所以
x-1x2
2等价于
f（X1）
f（2
X2）,
即f（2
X2）
0.
由于f（2X2）
2
X2e
X2a（x2
2
1）,而f（X2）
（X2
2）eX2
a（x2
1）20,
所以
f（2X2）
X2e2x2
（X22）ex2.
设g（x）
xe2x（x
2）ex，则g（x）（x1）（e2xex）.
所以当x
1时，g（x）
0,而g
（1）0,故当x1时，g（x）
从而g（x2）
f（2X2）
0，故x-ix22.
22•⑴设圆的半径为r
，作OKAB于K
•/OAOB,
AOB120
0.
A30,OKOAsin30
OA
r
2
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