5年级14容斥原理难版.docx
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5年级14容斥原理难版
第14讲
容斥问题
知识梳理
森林中住着很多动物,据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀,我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数,蝙蝠听说又来统计兽类了,急忙跑过去对大象说;“我没有羽毛,我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问:
“森林中共有鸟类和兽类多少种?
”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果,高兴地向狮子大王汇报:
“这还不简单!
森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗?
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B=A+B-A∩B
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
典型例题
容斥原理1
【例1】★一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
【解析】依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
15+12-4=23
【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人?
【解析】100-(62+34-11)=15
【例2】★一个班有学生48人,每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。
已知参加跑步的有37人,参加跳高的有40人,请问:
这两项比赛都参加的学生有多少人?
【解析】两项比赛都参加的学生人数,就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分,排除掉重复部分,所得的就是全体参赛人数,也就是全班学生人数。
40-(48-37)=29人。
【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人?
【解析】用左边的圆表示订少年报的64人,右边的圆表示订小学报的48人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然,两种报刊都订的人数被统计了两次:
64+48=112人,比总人数多112-96=16人,这16人就是两种报刊都订的人数。
【例3】★★实验小学各年级都参加的一次书法比赛中,四年级与五年级共有20人获奖,在获奖者中有16人不是四年级的,有12人不是五年级的。
该校书法比赛获奖的总人数是多少人?
【解析】由“16人不是四年级的”可知:
16人是五年级和其他年级的;由“12人不是五年级的”可知:
12人是四年级和其它年级的。
用16+12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和,再减去20就得两个其他年级的人数,这样其他年级的人数是:
(16+12-20)÷2=4人,该校参加书法比赛获奖的总人数是4+20=24人。
【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会,其中24名运动员不是六年级的,28名运动员不是五年级的,已知五、六年级运动员共有32名,求五、六年级和中低年级运动员各有多少名?
【解析】(24+28-32)÷2=10
【例5】★在100个外语教师中,懂英语的有75人,懂日语的有45人,其中必然有既懂英语又懂日语的老师。
问:
只懂英语的老师有多少人?
【解析】显然,两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次,在懂日语的45人中又统计过一次。
因此,75+45=120人,比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。
然后,从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人,就是只懂英语的人数了:
75-20=55人。
【小试牛刀】40人都在做加试的两道题,并且至少做对了其中的一题。
已知做对第一题的有30人,做对第二题的有21人。
只做对第一题的有多少人?
【解析】19人
【例6】★★在1至1000这1000个自然数中,能被5或11整除的自然数一共有多少个?
【解析】如下图,小圆表示能被11整除的自然数,大圆表示能被5整除的自然数。
如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加,阴影部分的自然数事实上被加了两次。
因此要想求出:
能被5或11整除的自然数的个数就应该:
能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数-既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。
【解析】能被5整除的自然数有多少个?
1000÷5=200有200个。
能被11整除的自然数有多少个?
1000÷11=90……10有90个。
既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个?
1000÷55=18……10有18个。
所以能被5或11整除的自然数的个数是:
200+90-18=272个。
【小试牛刀】60名同学面向老师站成一横排。
老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
请问:
现在面向老师的学生还有多少名?
【解析】从1到60中,4的倍数一共有:
60÷4=15个,6的倍数一共有:
60÷6=10个,既是4的倍数又是6的倍数有:
60÷12=5个。
一次都不转的学生是:
60-(15+10-5)=40个,转两次的学生有5个,所以面向老师的学生还有40+5=45个。
【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子,从一端开始每隔4厘米作一个记号,同时每隔6厘米也作一个记号,然后将标有记号的地方剪断,请问:
绳子一共被剪成了多少段?
【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号,这样一共有:
240÷4-1=59个记号;每隔6厘米作一个记号,这样一共有:
240÷6-1=39个记号。
而两者每隔12厘米重复一个记号,这样一共重复了:
240÷12-1=19个记号。
因此绳子上共有记号数是:
59+39-19=79,所以绳子一共被剪成了79+1=80段。
容斥原理2
【例8】★★某校有28名学生参加市运动会,参加跑步类项目的有15人,参加跳类项目的有13人,参加投掷类项目的有14人,既参加跑又参加跳项目的有4人,既参加跑又参加投掷项目的有6人,既参加跳又参加投掷项目的有5人,三种项目都参加的有2人,试说明,这个报名表有误。
【解析】按照赞加各个项目的详细人数,该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人,与实际参加人数不符,所以这个报名表有误。
【小试牛刀】 某校六
(1)班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:
三项都参加的有多少人?
【解析】参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。
注意:
这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3
【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中,不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个?
【解析】能被3整除的自然数有多少个?
1000÷3=333……1有333个。
能被5整除的自然数有多少个?
1000÷5=200有200个。
能被7整除的自然数有多少个?
1000÷7=142……6有142个。
既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个?
1000÷15=66……10有66个。
既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个?
1000÷21=47……13有47个。
既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个?
1000÷35=28……20有28个。
能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个?
1000÷(3×5×7)=9……55有9个。
能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有:
333+200+142-(66+47+28)+9=457个。
所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有:
1000-543=457
【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个?
【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。
由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数。
由容斥原理知:
在1—1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
【例10】★★如下图,在长方形ABCD中,AD=15厘米,AB=8厘米,四边形OEFG的面积是9平方厘米。
请问:
阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底,AB为高,故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60(平方厘米)。
阴影部分面积=(三角形ABD面积+三角形ACD面积)-
(三角形AFD面积-四边形DEFG面积)
=(60+60)-(60-9)=69(平方厘米)。
【小试牛刀】如图所示,
、
、
分别是面积为
、
、
的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为
.若
与
、
与
的公共部分的面积分别为
、
,
、
、
这三张纸片的公共部分为
.求
与
公共部分的面积是多少?
【解析】设
与
公共部分的面积为
,由包含与排除原理可得:
⑴先“包含”:
把图形
、
、
的面积相加:
,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了
次,因此要排除掉.
⑵再“排除”:
,这样一来,三个图形的公共部分被全部减掉,因此还要再补回.
⑶再“包含”:
,这就是三张纸片覆盖的面积.
根据上面的分析得:
,解得:
.
【例11】★★某校五年级有120名学生,订《故事大王》的有85人,订《儿童漫画》的有90人,订《优秀作文选》的有70人,同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人,同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人,同时订这三种杂志的有21人,此外,还有5名学生没有订任何杂志,问:
恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人?
【解析】设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有X人,有120-85-90-70+62+46+X-21=5,X=43,所以恰好只订《故事大王》和《儿童漫画》的有43-21=22人。
容斥原理中的最值问题
【例12】★★★在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水,已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆,请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆?
【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少,那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多,那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆,那么接下来就变成乙浇了45盆,丙浇了50盆,丁浇60盆了,这时共有
盆花,我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少,这就是简单的容斥原理了,恰好被3个人浇过的花最少有
盆.
【小试牛刀】甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆,乙浇了68盆,丙浇了58盆,那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【解析】只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都浇过的最少为:
78+68-100=46盆,此时甲单独浇过的为78-46=32盆,乙单独浇过的为68-46=22盆;欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时,应将丙浇过的花尽量分散在两端.于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆.
【小试牛刀】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆?
【解析】100盆花共被浇水275次,平均每盆被浇
次,为了让被浇1次的花多,我们也需要被浇4次的花尽量多,为30盆,那么余下70盆共被浇155次,平均每盆被浇
次,说明需要一些花被浇3次才可以.我们假设70盆都被浇3次,那么多出55次,每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次,所以本题答案为27盆.
课后作业
1.某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语,34人懂日语,两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师?
【解析】把懂英语和懂日语的人数加起来得35+34=69人,但是,两种语言都懂的21人被统计过两次,应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数:
69-21=48人。
2.在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后,成为一个宽度为1厘米的方框,把5个这样的方框放在桌面上(如下图)。
请你算一算:
桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米?
【解析】(102-82)×5-12×8=172(平方厘米)
3.张宏、王刚、李立三人练习投篮球,一共投了100次,有43次没投进,已知张宏和王刚一共投进了32次,王刚和李立一共投进了46次,王刚投进了多少次?
【解析】三人投的总次数减去没投进的次数,就是三人共投进100-43=57次。
张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次,这是三人共投进的次数,在加上王刚投进的次数,从中减去共投进的次数,就是王刚投进的次数,列式为78-57=21次,所以王刚投进了21次。
4.育新小学举行各年级学生画展,其中有18幅画不是六年级的,20幅画不是五年级的。
现在知道五、六年级共展出22幅画,请问:
其他年级共展出多少幅画?
【解析】其中18幅不是六年级的,换句话说,一至五年级共展出18幅,20幅不是五年级的,换句话说,就是一、二、三、四、六年级共展出20幅,从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和,一共是18+20=38幅,又因为五、六年级共展出22幅画,,因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。
从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8张。
5.五(4)班的同学中有32人喜欢音乐,27人喜欢美术,音乐和美术都喜欢的有11人,请问:
五(4)班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人?
【解析】通过你自己画图,观察图可以看出:
32+27-11=48人,就表示五(4)班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数。
答:
五(4)班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人。
6.某一个班共有学生50人,参加文艺活动的有28人,参加体育活动的有30人,并且全班每人至少参加一项活动(仅限文艺活动或体育活动),请问:
这个班这两项活动都参加的有多少人?
【解析】30+28=58人表示全班的总人数50人和公共部分重复统计了一次的总数量,58-50=8人,这里的8个人就是这个班这两项活动都参加的人数。
7.分母是385的最简真分数有多少个?
【解析】385=5×7×11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个;被7整除的数有55个;被11整除的数有35个;被77整除的数有5个;被35整除的数有11个;被55整除的数有7个;被385整除的数有1个;最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240个。
8.一次数学小测验只有两道题,结果全班有10人全对,第一题有25人做对,第二题有18人做错。
请问:
两道题都做错的有几个人?
【解析】我们用A圆表示第一题全对的,B圆表示第二题全对的,两圆公共部分表示两题全对的,长方形表示参加考试人数,长方形内两个圆外表示两道题全错的人数。
因为第一题对的有25人,两道题全对的有10人,因此第一题对第二题错的有15人。
又因为第二题18人做错,18人比15人多3人,因此这三人只能是第一题错,第二题也错,即两道题都错的有3人。
9.在1到2004的所有自然数中,既不是2的倍数,也不是3、5的倍数的数有多少个?
【解析】1到2004中是2的倍数的有1002个,3的倍数的有668个,5的倍数的有[2004/5]=400个,6的倍数的有334个,10的倍数的有[2004/10]=200个,15的倍数的有[2004/15]=133个,30的倍数的有[2004/30]=66个。
所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个.(“[]”表示对[]内的数取整.)
10.有50个女孩,她们的皮肤有白的或浅黑色的,眼睛则是蓝色的或褐色的,如果有14个蓝眼睛白肤色,31个是浅黑肤色,18个是褐色眼睛,请问:
褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个?
【解析】建议同学们画一个“统计表”,因为褐色眼睛女孩是18人,所以蓝色眼睛女孩是:
50-18=32人。
又因为蓝眼睛白肤色女孩是14人,所以蓝眼睛浅黑肤色女孩是32-14=18人。
又因为浅黑肤色女孩是31人,所以褐色眼睛浅黑肤色女孩有31-18=13人。
11.一个长方形长
厘米,宽
厘米,另一个长方形长
厘米,宽
厘米,它们中间重叠的部分是一个边长
厘米的正方形,求这个组合图形的面积.
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为
厘米的正方形,如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积
长方形面积之和
重叠部分.于是,组合图形的面积
(平方厘米).
12.学校开展课外活动,共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人?
【解析】两个小组都参加的有25人,因此,至少参加这两种小组的一个小组的人数是84+86-25=144人,所以,这两个小组都不参加的人数是250-144=106人。
13.五年级122名同学参加语文、数学考试,每人至少有一门得优。
已知语文65人得优,数学78人得优,求只有语文一门得优的人数。
【解析】44
14.有128位旅客,其中25人既不懂英语、又不懂法语,有98人懂英语,75人懂法语,请问:
既懂英语、又懂法语的有多少人?
【解析】至少懂一门外语的人数:
128-25=103(人)
既懂英语、又懂法语的人数:
98+75-103=70(人)
15.甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读.已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【解析】考虑甲乙两人情况,有甲乙都读过的最少为:
75+60-100=35个,此时甲单独读过的为75-35=40个,乙单独读过的为60-35=25个;欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时,应将丙读过的书尽量分散在某端,于是三者都读过书最少为52-40=12个.