完整版圆的证明与计算版docx.docx
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《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:
①
求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
知识点一:
判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、
勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直
线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善
于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:
方法一:
若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l
就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B
为切点的切线交OD延长线于F.
求证:
EF与⊙O相切.
.
.
例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.求证:
PA与⊙O相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:
延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
⌒
,
⌒
∴BE=CE
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,
∴∠E=∠1.
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明:
此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用
.
.
.
例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:
DM与⊙O相切.
例4如图,已知:
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证:
DC是⊙O的切线
例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:
PC是⊙O的切线.
.
.
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
求证:
CE与△CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.
证明:
取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二:
若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:
“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何
综合题)
例1:
如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
求证:
AC与⊙D相切.
分析:
说明:
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二
是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有
关.
.
.
例2:
已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.
求证:
CD是⊙O的切线.
证明一:
连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900,O
∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
ACOC
∴.
OBOD
∵OA=OB,
ACOC
∴.
OAOD
又∵∠CAO=∠COD=900,
∴△AOC∽△ODC,
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明二:
连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB,
∴△AOF≌△BOD(AAS)
.
.
∴OF=OD.
∵∠COD=900,
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三:
连结AO并延长,作OE⊥CD于E,取CD中点F,连结OF.
∵AC与⊙O相切,
∴AC⊥AO.
∵AC∥BD,
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B,
∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD,OA=OB,CF=DF,
∴OF∥AC,
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900,CF=DF,
∴OF1CDCF.
2
∴∠2=∠COF.
∴∠1=∠2.
∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线
说明:
证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明
∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2,这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
.
.
课后练习:
(1)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D点,求证:
CD为⊙O
的切线;C
D
AB
O
(2)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于D,点E为BC的中
点,连结DE,求证:
DE是⊙O的切线.C
DE
AOB
(3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE⊥AC于E(或E为CF中点),求证:
DE是⊙O的切线.
A
O
F
E
BDC
(4)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交
AF的延长线于点
D,交AB的延长线于点
C,求证:
CD是⊙O的切线.
A
O
B
F
C
ED
.
.
知识点二:
与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识
的结合,形式复杂,无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);
射影定理:
所谓射影,就是正投影。
其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这
点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这
条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质:
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每
一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
:
(1)(AD)2;=BD·DC,
(2)(AB)2;=BD·BC,(3)(AC)2;=CD·BC。
等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
③构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;
④构造勾股定理模型(已知线段长度);
⑤构造三角函数(已知有角度的情况);
○6找不到,找相似
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图
形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间
的数量关系。
典型基本图型:
图形1:
如图1:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分∠
(2)如图2、3,DE
D
EC
A
O
BAE”;“AD⊥CD”;“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。
等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦
DDD
ECECE
F
F
BAOBAOBAO
EF)。
C
KB
图1
图2
图3
图4
.
.
D
(3)如图(4):
若CK⊥AB于K,则:
EC
①CK=CD;BK=DE;CK=1BE=DC;AE+AB=2BK=2AD;
2
G
②⊿ADC∽⊿ACB
AC2=AD?
AB
A
O
B
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当
BG⊥CD
于E时(如图
5),则:
①DE=GB;②DC=CG;③AD+BG=AB;④AD?
BG=1DG2
=DC2
图5
图形2
:
4
是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC
:
如图Rt⊿ABC中,∠ACB=90°。
点O
于点E,基本结论有:
B
B
B
G
D
D
D
G
F
H
F
C
O
E
A
C
A
C
A
O
E
O
E
图3
图1
图2
(1)在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。
四个论断中,知一推三。
(2)①G是⊿BCD的内心;②CG=GD;③⊿BCO∽⊿CDEBO?
DE=CO?
CE=1CE2;
2
(3)在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
(4)如图(3),若①BC=CE,则:
②AE=1=tan∠ADE;③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;(在
AD2
①、②、③中知一推二)④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
图形3:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切⊙O
E是BC的中点;
D
C
(2)若DE切⊙O,则:
①DE=BE=CE;
E
②D、O、B、E四点共圆
∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,
DE
CD
BC
A
B
R
BD
BA
O
图形特殊化:
在(
1)的条件下
如图1:
DE∥AB
⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;
如图2:
若DE的延长线交AB的延长线于点
F,若AB=BF,则:
C
DE
1
BE
1
C
D
①
E
EF
3
;②
2
R
D
E
A
F
O
B
.
A
O
B
图2
图1
.
图形4:
如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,
基本结论有:
(1)DE⊥ACDE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:
①⊿DFC是等腰三角形;
②EF=EC;③D是BF的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD,产生母子三角形。
C
E
F
D
AOB
图形5:
ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于
E
,基本结论有:
:
以直角梯形
AD
AD
A
D
E
E
G
E
F
O
O
O
F
B
C
B
C
B
C
图1
图2
图3
(1)如图1:
①AD+BC=CD;②∠COD=∠AEB=90°;③OD平分∠ADC(或OC平
分∠BCD);(注:
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
④AD·BC=1AB2=R2;
4
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO∥AE,CO?
AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
图形6:
如图:
直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有:
B
R
EP
B
B
Q
ER
A
B
P
O
Q
E
AP
R
O
Q
O
O
Q
EP
R
(1)PQ=PR
(⊿PQR是等腰三角形);
(2)在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中,知二推一
(3)2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7:
如图,⊿ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心。
基本结论有:
(1)如图1,①BD=CD=ID;②DI2=DE·DA;
AA
③∠AIB=90°+1∠ACB;
2
(2)如图2,若∠BAC=60°,则:
BD+CE=BC.
O
I
D
IE
O
B
E
C
C
B
D
图1
图2
.
.
图形8:
已知,AB是⊙O的直径,C是
中点,CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
基本结论有:
(1)CD=1
BG;BE=EF=CE;GF=2DE
G
F
C
2
(反之,由CD=1BG或BE=EF可得:
C是BG
中点)
H
E
2
A
B
O
D
(2)OE=1AF,OE∥AC;⊿ODE∽⊿AGF
2
(3)BE·BG=BD·BA
(4)若D是OB的中点,则:
①⊿CEF是等边三角形;②BC=CG=AG
范例讲解:
例题1:
△ABP中,∠ABP=90°,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧CF=CB,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.
(1)求证:
CD为⊙O的切线;
(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求EF的值。
AF
例题2:
直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD
交于F.
⑴求证:
CD为⊙O的切线
⑵若BE
3,求
BF的值
AB
5
DF
AD
O
F
BEC
例题3:
如图,AB为直径,PB为切线,点C在⊙O上,AC∥OP。
(1)求证:
PC为⊙O的切线。
(2)过D点作DE⊥AB,E为垂足,连AD交BC于G,CG=3,DE=4,
求DG的值。
DB
.
.
例题4(2009调考):
如图,已知△ABC中,以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为
的中点,AF为△ABC的角平分线,且AF⊥EC。
(1)求证:
AC与⊙O相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长
A
D
E
H
BOFC
家庭练习:
1.如图,Rt△ABC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,BD=DE,过D作AE的垂线,
F为垂足.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=3,⊙O的半径为5,求tanBAC的值.
FC
D
E
AOB
2.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,AD=DC,过D作直线BC的垂
线交直线AB于点E,F为垂足.
F
(1)求证:
EF为⊙O的切线;
D
(2)若AC=6,BD=5,求sinE的值.
C
EAOB
.
.
3.如图,AB为⊙O的直径,半径OC⊥AB,D为AB延长线上一点,过D作⊙O的切线,E为切点,连结CE交AB于点F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)连结AE,若OF=1,BF=3,求tanA的值.
C
AFBD
O
E
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O,⊙O交